M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

ZADANIA

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Z

1

Je ˙zeli a >0, to liczbap13 − (a+3)√a+3a jest równa

A)√a−1 B) 1−a√a C) 1−√a D) a√a−1

Z

2

W ilu ´cwiartkach układu współrz˛ednych znajduj ˛a si˛e punkty okr˛egu o równaniu x2+y2+34x−32y+184=0?

A) W jednej. B) W dwóch. C) W trzech. D) W czterech.

Z

3

Liczba 1+sin422, 5◦−cos422, 5◦jest równa

A) 2−√2 2 B) 1 C) √ 2 2 +1 D) 2

Z

4

Zdarzenia losowe A i B zawarte w Ω s ˛a takie, ˙ze prawdopodobie ´nstwo P(A′) zdarzenia A′, przeciwnego do zdarzenia A, jest równe 1₆. Ponadto, prawdopodobie ´nstwo warunkowe P(B|A) = ₁₅2. Wynika st ˛ad, ˙ze

A) P(A∩B) = ₄₅1 B) P(A∩B) = 1₉ C) P(A∩B) = ₂₅3 D) P(A∩B) = 4₅

Z

5

Liczba rzeczywistych rozwi ˛aza ´n równania x4_−3x2_{−3x =0 jest równa}

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

W trójk ˛acie ABC punkt S jest ´srodkiem okr˛egu wpisanego, a punkty M i N s ˛a punktami styczno´sci tego okr˛egu z bokami AB i AC odpowiednio. Wyka ˙z, ˙ze punkt S le ˙zy na okr˛egu opisanym na trójk ˛acie AMN.

Uzasadnij, ˙ze dla dowolnych liczb dodatnich x i y prawdziwa jest nierówno´s´c x y2 + y x2 > 1 x + 1 y. 4

Wyznacz te warto´sci parametru m, dla których równanie  x₋1 x+1   +m =0 z niewiadom ˛a x ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie.

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru a, dla których prosta o równaniu x−8y−5=0 jest

styczna do wykresu funkcji y= 1

x4 +a.

Oblicz, ile jest o´smiocyfrowych liczb naturalnych takich, ˙ze iloczyn wszystkich ich cyfr w zapisie dziesi˛etnym jest równy 1323.

Oblicz miary k ˛atów trójk ˛ata, w którym długo´sci boków tworz ˛a ci ˛ag geometryczny, a miary k ˛atów tworz ˛a ci ˛ag arytmetyczny.

Rozwi ˛a˙z równanie 4 cos 9x cos 3x =2 cos 12x−1 w przedzialeh0, πi.

Wysoko´s´c ostrosłupa prawidłowego trójk ˛atnego jest równa 4, a kraw˛ed´z podstawy ma dłu-go´s´c 1. Ostrosłup przeci˛eto płaszczyzn ˛a, która przechodzi przez kraw˛ed´z podstawy oraz jest prostopadła do przeciwległej kraw˛edzi bocznej. Oblicz pole powierzchni tego przekroju.

Przek ˛atna BD deltoidu zawiera si˛e w prostej o równaniu y+2x −5 = 0 i ma tak ˛a sam ˛a długo´s´c jak przek ˛atna AC. Przek ˛atne te przecinaj ˛a si˛e w punkcie P, takim ˙ze|AP| = 4|CP|. Wierzchołek A ma współrz˛edne(9, 7). Oblicz współrz˛edne wierzchołków B, C i D tego del-toidu.

Trzywyrazowy ci ˛ag(a, b, c₎o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ci ˛ag  ₇ a₊b₊2c, 1 b, 2 9a 

jest geometryczny. Oblicz iloraz ci ˛agu geometrycznego.

Zakład produkcyjny planuje wytwarzanie pojemników o obj˛eto´sci 1728 dm3, które maj ˛a kształt otwartego graniastosłupa prawidłowego czworok ˛atnego (bez górnej podstawy – zo-bacz rysunek).

Koszt produkcji 1 dm2 podstawy tego pojemnika wynosi 0,3 zł, a koszt produkcji 1 dm2 jego ´scian bocznych wynosi 0,2 zł. Ponadto, do kosztu produkcji nale ˙zy doliczy´c niezb˛edne wzmocnienie kraw˛edzi podstawy w cenie 4,2 zł za 1 dm długo´sci. Oblicz jakie powinny by´c wymiary tego pojemnika tak, aby koszt jego produkcji był najmniejszy mo ˙zliwy.