Zestaw zadań do zajęć wyrównawczych z matematyki dla IFT s.2
12. Liniowa geometria analityczna
Rozwiąż zadania:
a) znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B, jeżeli A=
(
1, 4 ,−)
B=(
1, 2)
;b) wyznacz równanie prostej równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt P, jeżeli
( )
: 3 5; 2, 4
k y= x− P= ;
c) wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt P, jeżeli
( )
: 2 3 7 0; 2, 4
k x+ y+ = P= ;
d) zaznacz w układzie współrzędnych zbiór tych punktów (x,y), których współrzędne spełniają warunek:
• y=2x+3;
• y≤2x+3;
• y>2x+3;
e) zaznacz w układzie współrzędnych zbiór A, jeżeli:
• A=
{ (x y, )
:x>0∧y<0}
;
• A=
{ (x y, )
:x≤2∧y≥1}
;
• A=
{ (x y, )
:y≥ − − ∧x 1 y≤ − +x 2}
;
• A=
{ (x y, )
:x+ y− ≤3 0∧2x−y≥0}
;
f) zapisz równanie okręgu o środku S i promieniu r, jeżeli:
• S=
(
0,3 ,)
r= ; 5• S=
(
2, 1 ,−)
r=2;g) podaj długość promienia i współrzędne środka okręgu o równaniu:
• x2+ y2 =4;
• x2+ y2−2y=0;
• x2+ y2−4x+6y+ =1 0;
• x2+ y2+3x− y+ =1 0;
h) zbadaj wzajemne położenie okręgów o równaniach:
•
(
x−1)
2+(
y−1)
2=16 i(
x−4)
2+ y2 =1;• x2+ y2−4 2x−120=0 i x2+y2−200=0; i) znajdź punkty przecięcia:
• okręgu x2+ y2−3x+5y−4=0 z prostą x+2y−4=0;
• okręgu x2+ y2−3x+5y−4=0 z osiami układu współrzędnych;
• okręgów x2+ y2−3x+5y−4=0 i x2+ y2+x−7y=0;
j) dana jest prosta k o równaniu y= −2x+3 i prosta l o równaniu x = 3
• sprawdź, czy punkt P=(17,-31) należy do prostej k;
• podaj współrzędne punktu przecięcia prostych k i l;
• znajdź równania prostych przechodzących przez punkt A=(5,-8) i równoległych do danych prostych;
k) prosta o równaniu y=3x+ przecina o5 ś OY w punkcie A, prosta o równaniu 2x−9y−30= przecina o0 ś OX w punkcie B, a obie proste przecinają się w punkcie C
• znajdź punkty A, B i C;
• uzasadnij, że odcinki AB i AC są prostopadłe;
l) przez punkt A=(2,3) poprowadzono prostą odcinającą na półosiach układu współrzędnych odcinki równej długości. Znajdź równanie tej prostej;
m) prosta k przechodzi przez punkt A=(3,2) i przecina dodatnie półosie układu współrzędnych w takich punktach, że iloczyn ich odległości od punktu (0,0) wynosi 25. Znajdź równanie prostej k;
n) punkty A=(3,2) i B=(6,-5) są końcami średnicy koła
• oblicz pole tego koła;
• znajdź równanie stycznej do tego koła w punkcie A;
o) okrąg o środku w punkcie S=(1,1) odcina na prostej x−y+4=0 cięciwę o długości 2 2. Znajdź długość promienia tego okręgu;
p) środek okręgu przechodzącego przez punkty A=(3,0) i B=(0,1) należy do prostej y= x+2. Znajdź równanie tego okręgu;
r) napisz równanie okręgu o promieniu 3 stycznego do prostej x−2y− =1 0 w punkcie A=(3,1);
s) znajdź równania stycznych do okręgu
(
x+1)
2+(
y−1)
2=5 poprowadzonych z punktu A=(2,0);t) znajdź równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x+4y+ =1 0 i stycznej do okręgu o równaniu x2+ y2−4x−2y+4=0.
