Zestaw zadań do zajęć wyrównawczych z matematyki dla IFT s.2
9. Geometria
1. Wykazać, że:
a) pole trójkąta równa się iloczynowi połowy obwodu trójkąta przez promień okręgu wpisanego w ten trójkąt;
b) stosunek długości boku trójkąta do sinusa kąta położonego naprzeciw tego boku równa się średnicy okręgu opisanego na trójkącie (twierdzenie sinusów);
c) kwadrat długości boku trójkąta równa się sumie kwadratów długości dwu pozostałych boków minus podwojony iloczyn długości tych boków przez kosinus kąta zawartego między nimi (twierdzenie kosinusów).
2. Rozwiąż zadania:
a) w trójkącie ABC miara kąta A jest o 20o większa od miary kąta B i trzy razy mniejsza od miary kąta C. Oblicz miary kątów trójkąta ABC;
b) prosta k jest równoległa do jednego z boków trójkąta ostrokątnego i przecina pozostałe dwa boki. Kąty rozwarte, jakie tworzy prosta k z bokami trójkąta, mają miary 110o i 130o. Oblicz miary kątów trójkąta;
c) dwa kąty trójkąta mają miary 30o i 50o. Oblicz miarę kąta, jaki tworzy dwusieczna trzeciego kąta z wysokością poprowadzoną z wierzchołka tego kąta;
d) obwód trójkąta równobocznego ABC jest równy 9. Punkt K należy do boku BC i |BK|=2.
Oblicz tangens kąta BAK;
e) stosunek długości przekątnych rombu o boku 17cm jest równy 5:3. Oblicz pole rombu;
f) kąt ostry równoległoboku ma miarę 45o. Punkt wspólny przekątnych równoległoboku jest oddalony od boków o 2√2 i 2. Oblicz pole równoległoboku oraz długości jego przekątnych;
g) suma długości boku kwadratu i jego przekątnej jest równa1. Oblicz długość przekątnej kwadratu;
h) w trapezie ABCD, w którym AB||CD, przedłużono boki BC i AD do przecięcia w punkcie O. Oblicz długość odcinka OC, jeżeli |AD|=12, |OD|=15, |BC|=13;
i) na trapezie równoramiennym o podstawach 2 i 6 opisano okrąg. Oblicz pole trapezu, jeśli dłuższa podstawa jest średnicą tego okręgu;
j) odcinek łączący środki ramion trapezu opisanego na okręgu o promieniu 1 ma długość 4.
Oblicz obwód i pole tego trapezu;
k) na kwadracie, którego bok ma długość 2, opisano okrąg i w kwadrat ten wpisano okrąg.
Oblicz pole pierścienia wyznaczonego przez te okręgi;
l) w kole o środku S poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt A dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11 i 29. Odcinek AS ma długość 15. Oblicz promień tego koła;
m) promień okręgu wpisanego w wycinek koła o kącie środkowym 60o ma długość 2. Oblicz pole tego wycinka;
n) pylony mostu wiszącego Akashi-Kaikyo (Japonia, 1993r.) zostały tak ustawione, aby ich osie skierowane były dokładnie w kierunku środka Ziemi. Każdy z pylonów ma wysokość 283m, a odległość między ich podstawami, mierzona wzdłuż linii prostej, wynosi 1990m.
Oblicz, o ile odległość między wierzchołkami pylonów jest większa od odległości między ich podstawami (promień Ziemi wynosi ok. 6371 km);
o) drabina o długości 10m oparta jest o ścianę. W pewnym momencie drabina zaczyna się zsuwać w ten sposób, że jej górny koniec pokonuje w czasie t odległość g(t) określoną wzorem g(t)=0.5t. Niech d(t) oznacza odległość o jaką przesunął się dolny koniec drabiny w czasie t. Znajdź wzór funkcji d i określ jej dziedzinę.
