Zestaw zadań do zajęć wyrównawczych z matematyki dla IFT
3. Funkcja kwadratowa
1. Funkcja kwadratowa i jej wykres
1.1 Proszę narysować wykres funkcji f
( )
x =ax2+bx+c oraz omówić jej podstawowe własności w zależności od wartości parametrów a, b i c.1.2 Proszę zapisać w postaci iloczynowej (o ile to możliwe) oraz kanonicznej następujące funkcje:
a) f
( )
x =x2+2x+1; b) f( )
x =2x2−3x+1; c) f( )
x =x2+x+1;d) f
( )
x =−3x2+7x+1; e) f( )
x =x2−1.2. Równania i nierówności kwadratowe 2.1 Rozwiąż równania:
a) x2+2x+1=0;
b) 8
1 4 1 20 1 2 1
+ +
= + + +
+ x x x
x ;
c) a a
x 1x 1
+
=
+ ;
d)
( )
( )( )
33 2 1
2 3 3 1
1 3 4
+
− +
−
= − +
− +
x x x
x x
x
x ;
e)
3 2
3 5
3 2
−
=
− x
x x
x .
2.2 Rozwiąż nierówności:
a) x2+3x+7>0; b) x2−8x+15<0;
c) 2
3 1≥ +
− x
x .
3. Równania kwadratowe z parametrem
Dla jakich wartości parametru a równania posiadają dwa, jedno bądź nie posiadają rozwiązań:
a) ax2+2x+1=0; b) x2+ax+1=0;
c) x2+2x+a=0.
4. Rozwiąż dowolną metodą układy równań:
a)
=
= +
12
2 25
2
xy y
x ;
b)
( ) ( )
( ) ( )
=
−
−
−
= +
− +
3 2
45 4
2 2
y x y
x
y x y
x ;
c)
=
−
= +
−
− +
0
0 4 2
2 4
2
x y
y x y
x .
5. Rozwiąż następujące zadania tekstowe:
a) Rozłożyć liczbę 270 na dwa czynniki, tak żeby ich suma była równa 33.
b) Parowiec przepłynął z biegiem rzeki 48 km i tyle samo przeciw prądowi zużywając na całą podróż 5 godzin. Znaleźć prędkość parowca w wodzie stojącej, jeżeli wiemy, że prędkość prądu rzeki wynosi 4 km/h.
c) Obserwator usłyszał odgłos uderzenia kamienia o dno szybu po upływie tc s od chwili rzucenia go. Wyznaczyć głębokość szybu przyjmując prędkość dźwięku równą vd. Oszacować głębokość szybu dla tc = 4 s i vd = 330 m/s.
6. Wyprowadź związki ogólne na (wzory Viete’a):
a) postać iloczynową funkcji kwadratowej;
b) sumę i iloczyn pierwiastków równania drugiego stopnia.
