Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 11. Estymacja punktowa – zadania do samodzielnego rozwiązania

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 11. Estymacja punktowa – zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 11.1 Z partii kondensatorów wybrano losowo 12 sztuk i zmierzono ich pojemności otrzymując (w pF):

4, 45 4, 40 4, 42 4, 38 4, 44 4, 36 4, 40 4, 39 4, 45 4, 35 4, 40 4, 36.

a) Znaleźć oszacowanie nieznanej wartości przeciętnej pojemności kondensatora pochodzącego z danej partii.

b) Znaleźć nieobciążone oszacowanie wariancji pojemności tych kondensatorów.

Zad. 11.2 Zmienne losowe X₁, . . . , X_n mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EX_i = a. Wykazać, że estymatory postaci

T = a₁X₁+ · · · + anX_n a₁+ · · · + a_n ,

n

X

i=1

ai 6= 0, ai ∈ R,

są nieobciążonymi estymatorami parametru a.

Zad. 11.3 Niech X1, X2, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości f (x) = _2a¹ sin^x_a^1_(0,aπ)(x).

Wykaż, że ˆa_n = _π² x¯_n jest zgodnym i nieobciążonym estymatorem parametru a.

Zad. 11.4 Rozważmy estymator

θ(xˆ 1, . . . , xn) = 1 − 1 n

n

X

i=1

1I_(0,1)(xi) parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie E(λ).

a) Czy ˆθ jest zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ?

b) Oblicz ryzyko estymatora ˆθ w punkcie θ.

Zad. 11.5 Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości f (x) = _p²2 x1I_[0,p)(x). Dla próby prostej n-elementowej przyjęto, że ˆθ = ¯X²+ ¯X jest estymatorem parametru θ = ²₃p(²₃p + 1).

Czy jest to estymator asymptotycznie nieobciążony?

Zad. 11.6 Niech ˆp_n: R → R, ˆ

p_n(x₁, . . . , x_n) = 1 n

n

X

i=1

1I{1}(x_i).

Pokazać, że {p_n} jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru p rozkładu geometrycznego z parametrem p ∈ (0, 1). Obliczyć ryzyko estymatora ˆpn w punkcie p ∈ (0, 1).

Zad. 11.7 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu wykładniczego z pa- rametrem λ. Czy

λ : Rˆ ⁿ→ R, λ(xˆ ₁, . . . , x_n) = ¯x − x₍₁₎,

gdzie x₍₁₎ = min(x₁, . . . , x_n), jest asymptotycznie nieobciążonym estymatorem war- tości oczekiwanej?

Zad. 11.8 Rozważmy estymator ˆθ_n : Rⁿ → R,

θˆn(x1, . . . , xn) = exp(−x₁+ · · · + xn

n ).

Uzasadnij, że {ˆθ_n}_n∈N jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ = P (X = 0), gdzie X ∼ P (λ).

Zad. 11.9 Niech X₁, . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu normalnego N (a, σ²). Dobrać stałą k tak, aby estymator

T = k

n−1

X

i=1

(X_i+1− X_i)²

był nieobciążonym estymatorem parametru σ².

Zad. 11.10 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (0, a). Czy estymatory

T₁ = n + 1

n X_(n), T₂ = n

n − 1X_(n) parametru a są

a) nieobciążone,

b) asymptotycznie nieobciążone?

Zad. 11.11 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu gamma G(α, λ) o gęstości f (x) = λ^α

Γ(α) x^α−1e^−λx1I_(0,∞)(x),

gdzie α jest znane, a λ nieznane. Udowodnić, że jeśli nα > 2, to statystyka T = nα − 1

n¯x

jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem parametru λ.