Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Denicja Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje s¡siedztwo S(x0, y₀)takie, »e dla dowolnego punktu (x, y) ∈ S(x0, y₀)zachodzi nierówno±¢

f (x, y) > f (x₀, y₀).

Analogicznie, mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x0, y0)maksimum lokalne wªa±ciwe, gdy istnieje s¡siedztwo S(x0, y0)takie, »e dla dowolnego punktu (x, y) ∈ S(x0, y0)zachodzi nierówno±¢

f (x, y) < f (x0, y0).

Uwaga 1. Je±li w powy»szej denicji zast¡pimy ostre nierówno±ci przez sªabe (tzn. f(x, y) ≥ f (x₀, y₀)lub f(x, y) ≤ f(x0, y₀)), to mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x0, y₀)minimum lokalne lub maksimum lokalne.

2. Maksima i minima lokalne funkcji (wªa±ciwe lub niewªa±ciwe) nazwywamy ekstremami lokalnymi.

Przykªady Korzystaj¡c z denicji zbada¢, czy podane funkcje maj¡ ekstrema lokalne we wskaza- nych punktach.

1. f(x, y) = 5 |x| + |y + 1| w punkcie (0, −1), 2. f(x, y) = x²− 2y² w punkcie (0, 0).

Twierdzenie (warunek konieczny istnienia ekstremum)

Je±li funkcja f ma w punkcie (x0, y0)ekstremum lokalne i istniej¡ pochodne cz¡stkowe ∂f

∂x(x0, y0) oraz ∂f

∂y(x0, y0), to











∂f

∂x(x0, y0) = 0,

∂f

∂y(x₀, y₀) = 0.

Uwaga

1. Punkty, w których obie pochodne cz¡stkowe si¦ zeruj¡ nazywamy stacjonarnymi (krytycznymi).

2. W powy»szym twierdzeniu implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Zerowanie si¦ obu pochod- nych cz¡stkowych pierwszego rz¦du funkcji nie gwarantuje istnienia ekstremum lokalnego! Przy- kªadowo, funkcja f(x, y) = −x³speªnia warunki ∂f

∂x(0, 0) = 0,∂f

∂y(0, 0) = 0, ale nie ma w punkcie (0, 0)ekstremum lokalnego.

Fakt Funkcja mo»e mie¢ ekstreum lokalne tylko w punkcie stacjonarnym lub w punkcie, w którym przynajmniej jedna pochodna nie istnieje.

Twierdzenie (warunek wystarczaj¡cy istnienia ekstremum)

Niech funkcja f ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du na otoczeniu punktu (x0, y₀)oraz niech

∂f

∂x(x0, y0) = 0,∂f

∂y(x0, y0) = 0.

Je±li wyznacznik, zwany hessjanem,

H(x₀, y₀) =          

∂²f

∂x²(x0, y0) ∂²f

∂y∂x(x0, y0)

∂²f

∂x∂y(x₀, y₀) ∂²f

∂y²(x₀, y₀)          

> 0,

to funkcja f ma w punkcie (x0, y₀)ekstremum lokalne wªa±ciwe.

Je±li ∂²f

∂x²(x0, y0) > 0, to w punkcie (x0, y0)funkcja ma minimum lokalne wªa±ciwe.

Je±li ∂²f

∂x²(x0, y0) < 0, to w punkcie (x0, y0)funkcja ma maksimum lokalne wªa±ciwe.

Uwaga Je±li hessjan H(x0, y₀) jest ujemny, to funkcja f nie ma ekstremum lokalnego w punkcie (x0, y0). Je±li hessjan H(x0, y0) = 0, to badanie istnienia ekstremum w punkcie (x0, y0) musimy przeprowadzi¢ innymi metodami (np. z denicji).

Przykªady Znale¹¢ wszystkie ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych:

1. f(x, y) = xe^−y+1

x+ e^y, 2. f(x, y) = xy + ln y + x², 3. f(x, y) = 8 x+x

y + y.

Ekstremum warunkowe funkcji f(x, y) przy warunku g(x, y) = 0 to lokalnie najwi¦ksza lub naj- mniejsza warto±¢ tej funkcji na zbiorze punktów speªniaj¡cych ten warunek. Formalnie zapiszemy to nast¦puj¡co:

Denicja (ekstrema warunkowe)

Mówimy, »e funkcja f ma w punkcie (x0, y0)minimum lokalne wªa±ciwe z warunkiem g(x, y) = 0, gdy g(x0, y0) = 0oraz istnieje s¡siedztwo S(x0, y0)takie, »e dla dowolnego punktu (x, y) ∈ S(x0, y0) speªniaj¡cego warunek g(x, y) = 0 zachodzi nierówno±¢

f (x, y) > f (x0, y0).

Analogicznie, funkcja f ma maksimum warunkowe, gdy zachodzi odwrotna nierówno±¢, tzn. f(x, y) <

f (x₀, y₀).

Ekstremów lokalnych funkcji f dwóch zmiennych z warunkiem g(x, y) = 0 mo»na szuka¢ nast¦pu- j¡co:

1. Krzyw¡ Γ : g(x, y) = 0 dzielimy na ªuki, które s¡ wykresami funkcji postaci y = h(x), gdzie x ∈ I lub postaci x = p(y), gdzie y ∈ J.

2. Szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej f(x, h(x)) na przedziale I lub funkcji f(p(y), y) na przedziale J.

Przykªady Wyznaczy¢ ekstrema podanych funkcji, których argumenty speªniaj¡ podane warunki:

1. f(x, y) = x²+ y², xy = 4, 2. f(x, y) = x²− 2xy, x − y²= 0, 3. f(x, y) = 2x + 3y, x²+ y²= 1.

Do wyznaczenia ekstremum warunkowego mo»na te» u»y¢ metody wspóªczynników (mno»ników) Lagrange'a. Przedstawimy j¡ tutaj dla funkcji dwóch zmiennych.

Metoda mno»ników Lagrange'a

Deniujemy funkcj¦ F (x, y, λ) = f(x, y) − λ g(x, y) i rozwi¡zujemy ukªad równa«:











F_x(x, y, λ) = 0 Fy(x, y, λ) = 0 g(x, y) = 0

Ka»dy punkt speªniaj¡cy ten ukªad równa« jest punktem, w którym mo»e, ale nie musi, istnie¢

lokalne ekstremum warunkowe. Sprawdzenie warunku koniecznego polega na obliczeniu w ka»dym punkcie stacjonarnym hessjanu obrze»onego czyli:

H = det¯









0 g_x g_y gx Fxx Fxy

gy Fyx Fyy









Je±li ten wyznacznik jest dodatni, to w danym punkcie stacjonarnym jest lokalne maksimum wa- runkowe, a je±li ujemny to lokalne minimum warunkowe.

Przykªady Korzystaj¡c z metody mno»ników Lagrange'a wyznaczy¢ ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x²+ y² przy warunku 3x + 2y = 6.

Przypomnijmy twierdzenie Weierstrassa:

Twierdzenie

Je±li f : [a, b] → R jest funkcj¡ ci¡gª¡, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja f osi¡ga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb c, d ∈ [a, b] zachodzi f(c) ≤ f(x) ≤ f(d) dla ka»dego x ∈ [a, b].

Uwaga Równie» w przypadku funkcji dwóch zmiennych twierdzenie Weiestrassa zachodzi i ka»da

ci¡gªa funkcja okre±lona na zbiorze domkni¦tym i ograniczonym w R² przyjmuje warto±ci ekstre- malne.

Denicja Niech A b¦dzie niepustym podzbiorem dziedziny funkcji f.

1. Mówimy, »e liczba m jest najmniejsz¡ warto±ci¡ funkcji f na zbiorze A, gdy istnieje punkt (x0, y0) ∈ A taki, »e f(x0, y0) = m (czyli warto±¢ m jest w tym punkcie realizowana) oraz dla ka»dego (x, y) ∈ A zachodzi nierówno±¢ f(x, y) ≥ m. Piszemy wtedy f_min= m.

2. Mówimy, »e liczba M jest najwi¦ksz¡ warto±ci¡ funkcji f na zbiorze A, gdy istnieje punkt (x₀, y₀) ∈ A taki, »e f(x0, y₀) = M (czyli warto±¢ M jest w tym punkcie realizowana) oraz dla ka»dego (x, y) ∈ A zachodzi nierówno±¢ f(x, y) ≤ M. Piszemy wtedy fmax= M.

Algorytm szukania ekstremów globalnych na obszarze domkni¦tym:

Warto±¢ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ funkcji f dwóch zmiennych na ograniczonym obszarze domkni¦- tym znajdujemy, post¦puj¡c wedªug algorytmu:

1. Na obszarze otwartym szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstremum lokalne.

2. Na brzegu obszaru szukamy punktów, w których funkcja mo»e mie¢ ekstremum warunkowe.

3. Porównujemy warto±ci funkcji w otrzymanych punktach i na tej podstawie ustalamy najmniejsz¡

i najwi¦ksz¡ warto±¢ funkcji f na danym obszarze.

Przykªady Znale¹¢ najmniejsze i najwi¦ksze warto±ci podanych funkcji na wskazanych obszarach.

1. f(x, y) = x²+ y², D : |x| + |y| ≤ 2,

2. f(x, y) = xy²+ 4xy − 4x, D : −3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 0.

Przykªady zagadnie« ekstremalnych w geometrii, zyce i technice:

1. W trójk¡cie o wierzchoªkach A = (−1, 5), B = (1, 4), C = (2, −3) znale¹¢ punkt M = (x0, y0), dla którego suma kwadratów jego odlegªo±ci od wierzchoªków jest najmniejsza.

2. Jakie powinny by¢ dªugo±¢ a, szeroko±¢ b i wysoko±¢ h prostopadªo±ciennej otwartej wanny o pojemno±ci V , aby ilo±¢ blachy zu»ytej do jej zrobienia byªa najmniejsza?

3. Znale¹¢ odlegªo±¢ mi¦dzy prostymi sko±nymi:

k :

(x + y − 1 = 0,

z + 1 = 0. oraz l :

(x − y + 3 = 0, z − 2 = 0.

4. Prostopadªo±cienny magazyn ma mie¢ obj¦to±¢ V = 216 m³ . Do budowy ±cian magazynu u»ywane s¡ pªyty w cenie 30 zª/m², do budowy podªogi w cenie 40 zª/m², a sutu w cenie 20 zª/m². Znale¹¢ dªugo±¢ a, szeroko±¢ b i wysoko±¢ h magazynu, którego koszt budowy b¦dzie najmniejszy.

5. Firma produkuje drzwi wewn¦trzne i zewn¦trzne w cenach zbytu odpowiednio 500 zª i 1500 zª za sztuk¦. Koszt wyprodukowania x sztuk drzwi wewn¦trznych i y sztuk drzwi zewn¦trznych

wynosi

K(x, y) = 100 1

2x²+ 2xy + y²

 [zª].

Ile sztuk drzwi ka»dego rodzaju powinna wyprodukowa¢ rma, aby osi¡gn¡¢ jak najwi¦kszy zysk?