M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

.

POZIOM ROZSZERZONY

27KWIETNIA2019

C

: 180

Z

1

Z

2

A) nie ma rozwi ˛aza ´n. B) ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie.

C) ma dokładnie dwa rozwi ˛azania. D) ma dokładnie cztery rozwi ˛azania.

Z

3

Wyra ˙zenie 2 sin 4x sin x jest równe

A) cos 3x−sin 5x B) cos 3x−cos 5x C) sin 3x−sin 5x D) sin 3x−cos 5x

Z

4

Na rysunku zaznaczono zbiór punktów płaszczyzny spełniaj ˛acych układ nierówno´sci:

-5 -1 +1 +5 x -10 -5 -1 +1 y A)(2x+y+1 6 0 x+2y−2 6 0 B) (2x+_y+1 6 0 x+2y−2 > 0 C)(2x+y+1 > 0 x+2y−2 > 0 D)(2x+y+1 > 0 x+2y−2 6 0 2

Granica lim x→−∞ √ 5−3x3+8x2 √ 1−12x3+4x

A) nie istnieje. B) jest liczb ˛a dodatni ˛a. C) jest liczb ˛a ujemn ˛a. D) jest równa+_∞.

Punkt M przyprostok ˛atnej BC trójk ˛ata prostok ˛atnego ABC zrzutowano na przeciwprosto-k ˛atn ˛a AB otrzymuj ˛ac punprzeciwprosto-kt N. Wyprzeciwprosto-ka ˙z, ˙ze|∡M AN_{| = |}∡MCN|.

Dany jest niesko ´nczony ci ˛ag okr˛egów (on) o równaniach x2+y2 = 37−n, n > 1. Niech Pk

b˛edzie pier´scieniem ograniczonym zewn˛etrznym okr˛egiem o_2k−1i wewn˛etrznym okr˛egiem o2k. Oblicz sum˛e pól wszystkich pier´scieni Pk, gdzie k > 1.

Udowodnij, ˙ze je ˙zeli α+_β+_γ =_π, to

cos2α+cos2_β+cos2_γ+2 cos α cos β cos γ=1.

Rozpatrujemy wszystkie liczby naturalne dziewi˛eciocyfrowe, w zapisie których mog ˛a wy-st˛epowa´c wył ˛acznie cyfry 0, 1, 2 przy czym ka ˙zda z cyfr wyst˛epuje dokładnie trzy razy. Ile jest takich liczb?

Liczby p i q s ˛a pierwiastkami równania x2

−47x+1 = 0. Wyka ˙z, ˙ze warto´s´c wyra ˙zenia 4

√

p+√4 _qjest liczb ˛a naturaln ˛a.

W pudełku znajduj ˛a si˛e klocki o ró ˙znych kształtach i kolorach. Wiadomo, ˙ze prawdopo-dobie ´nstwo wylosowania klocka, który ma kształt walca lub ma kolor czerwony jest równe 0,6. Prawdopodobie ´nstwo, ˙ze losowo wybrany klocek czerwony jest walcem jest równe 0,25. Wiadomo te ˙z, ˙ze klocki czerwone stanowi ˛a 40% wszystkich klocków. Jakie jest prawdopo-dobie ´nstwo, ˙ze losowo wybrany klocek w kształcie walca jest czerwony?

W trójk ˛acie ABC długo´sci boków AB i AC s ˛a odpowiednio równe 4 i 6. Punkt M jest ´srod-kiem odcinka BC, a długo´s´c ´srodkowej AN trójk ˛ata AMB jest równa 3. Oblicz długo´s´c boku BC.

Dany jest malej ˛acy ci ˛ag geometryczny(a, aq, aq2_{), którego wszystkie wyrazy i iloraz s ˛a}

licz-bami całkowitymi niepodzielnymi przez 3. Je´sli najmniejszy wyraz ci ˛agu zwi˛ekszymy o 18, to otrzymamy ci ˛ag arytmetyczny. Oblicz wyraz aq tego ci ˛agu.

Przedstawiona na rysunku bryła to sto ˙zek ´sci˛ety płaszczyzn ˛a równoległ ˛a do jego płaszczy-zny podstawy. Wysoko´s´c tej bryły jest równa H, a r i R (r < R) s ˛a promieniami podstaw. Oblicz obj˛eto´s´c tej bryły.

R r

Funkcja f jest wielomianem stopnia 3, a jej wykres jest styczny do prostej y = 9₂ w punkcie o odci˛etej x =2 oraz jest styczny do prostej y = −9₂ w punkcie o odci˛etej x = −1. Wyznacz wzór funkcji f .

Z punktu A = −9₂,9₂

poprowadzono styczne do okr˛egu (x+2)2_{+ (y+3)}2 _{= 50. Oblicz}

pole trójk ˛ata ABC, gdzie BC jest odcinkiem ł ˛acz ˛acym punkty styczno´sci.

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworok ˛atne o polu powierzchni cał-kowitej P. Wyznacz wysoko´s´c i długo´s´c kraw˛edzi podstawy tego graniastosłupa, którego obj˛eto´s´c jest najwi˛eksza. Oblicz t˛e najwi˛eksz ˛a obj˛eto´s´c.