Zakres materiału

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Analiza matematyczna – szeregi liczbowe Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

szeregi, definicja, własno´sci, szereg geometryczny, arytmetyczny, kryteria zbie ˙zno´sci szeregów, szeregi bezwzgl ˛ednie zbie ˙zne, szeregi naprzemienne

(wersja: 17 listopada 2020)

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Poj ˛ecia:

(a) szereg liczbowy niesko ´nczony, (b) wyraz szeregu,

(c) wyraz ogólny szeregu, (d) suma cz ˛astkowa,

(e) szereg zbie ˙zny, (f) szereg rozbie ˙zny,

(g) suma szeregu niesko ´nczonego, (h) szereg o wyrazach nieujemnych,

(i) szereg przeminny,

(j) szereg bezwzgl ˛ednie zbie ˙zny, (k) szereg warunkowo zbie ˙zny.

2. Cz ˛esto spotykane typy szeregów:

(a) szereg geometryczny, (b) szereg arytmetyczny,

(c) szereg harmoniczny,

(d) szereg harmoniczny rz ˛edu α, (e) szereg anharmoniczny.

3. Twierdzenia:

(a) twierdzenie o mno ˙zeniu szeregu przez liczb ˛e, (b) warunek konieczny zbie ˙zno´sci szeregu.

4. Kryteria (roz)zbie ˙zno´sci szeregów

(a) dla szeregów o wyrazach nieujemnych

i. kryterium porównawcze (ro)zbie ˙zno´sci szeregów, ii. kryterium d’Alemberta (ro)zbie ˙zno´sci szeregów, iii. wnioski wynikaj ˛ace z kryteriów d’Alemberta,

iv. kryterium Cauchy’ego (ro)zbie ˙zno´sci szeregów,

v. wnioski wynikaj ˛ace z kryteriów Cauchy’ego.

(b) dla szeregów naprzemiennych

i. kryterium Leibniza zbie ˙zno´sci szeregu, ii. kryterium bezwzgl ˛ednej zbie ˙zno´sci szeregów.

Oznaczenia i terminologia

1. Szereg liczbowy niesko ´nczonyPrzez szereg liczbowy niesko ´nczony oznaczony symbolem u₁+u2+. . .+un+. . . lub

∑

un

rozumiemy ci ˛ag sum:

s₁= u₁, s₂=u₁+u₂,

. . .

s_n =u₁+u₂+u₃+. . .+u_n, . . .

2. Wyrazy szereguLiczby u₁, u₂, . . . nazywamy wyrazami szeregu.

3. Wyraz ogólny szereguSymbol{un}nazywamy wyrazem ogólnym szeregu.

4. Suma cz ˛astkowaWyraz ci ˛agu{s_n}nazywamy sumami cz ˛astkowymi szeregu∑^∞n=₁u_n.

5. Szereg zbie˙znyJe ˙zeli ci ˛ag sum cz ˛astkowych{sn}jest zbie ˙zny, czyli ma sko ´nczon ˛a granic ˛e s, to mówimy, ˙ze szereg jest zbie ˙zny∑^∞n=1u_n=s.

6. Suma szeregu niesko ´nczonegoLiczb ˛e s nazywamy sum ˛a szeregu niesko ´nczonego. Na oznaczenie sumy s szeregu u ˙zywa si ˛e tych samych symboli, co na oznaczenie samego szeregu, mianowicie:

u₁+u₂+. . .+u_n+. . . lub

∑

u_n.

7. Szereg rozbie˙znySzereg, który nie jest zbie ˙zny, nazywamy szeregiem rozbie˙znym.

8. Szereg geometryczny

∑

aqⁿ⁻¹, czyli a+aq+aq²+. . .+aqⁿ⁻¹+. . . jest zbie ˙zny, gdy|q| <1, tzn. gdy−1<q<1, i wówczas suma jego wynosi

∑

aqⁿ⁻¹= ^a 1−q. 9. Szereg arytmetyczny

∑

a(1+ (n−1)r), czyli a+ (a+r) + (a+2r) +. . .+ (a+ (n−1)r) +. . . jest rozbie ˙zny, gdy jednocze´snie a6=0 i r6=0. Dla a=0 i r=0, to jest to szereg stale równy 0.

10. Szereg harmoniczny

∑

1

n, czyli 1+¹

2+ ¹

3+. . .+ ¹ n+. . . , jest rozbie ˙zny do∞.

11. Szereg harmoniczny rz˛edu α

∑

1

n^α, czyli 1+ ¹ 2^α + ¹

3^α +. . .+ ¹

n^α +. . . , gdzie α>0, jest dla α >1 zbie ˙zny, a dla α≤1 jest rozbie ˙zny.

12. Szereg anharmoniczny

∑

(−1)ⁿ⁺¹¹

n, czyli 1−¹

2 +¹

3−. . .+ ¹

2k−1− ¹

2k+. . . , jest zbie ˙zny.

13. Szereg o wyrazach nieujemnychJe ˙zeli wszystkie wyrazy szeregu s ˛a nieujemne, to taki szereg nazywamy szeregiem o wyrazach nieujemnych.

14. Szereg przemiennySzereg przemienny to szereg, w którym wyrazy dodatnie i ujemne wyst ˛epuj ˛a regularnie na przemian.

15. Szereg bezwzgl˛ednie zbie˙znySzereg∑^∞n=1unnazywamy szeregiem bezwzgl˛ednie zbie˙znym, je ˙ze- li szereg∑^∞n=1|u_n|jest zbie ˙zny.

16. Szereg warunkowo zbie˙zny Szereg zbie ˙zny, który nie jest bezwzgl ˛ednie zbie ˙zny, nazywamy szeregiem warunkowo zbie˙znym.

Twierdzenia

1. Mno˙zenie szeregu przez liczb˛e Je ˙zeli szereg ∑^∞n=1u_n jest zbie ˙zny i jego suma równa si ˛e s, a c jest liczb ˛a stał ˛a, to szereg ∑^∞n=1cun jest zbie ˙zny i jego suma jest równa cs. Je ˙zeli szereg

∑^∞n=1u_njest rozbie ˙zny, to przy c6=0 szereg ∑^∞n=1cu_njest te ˙z rozbie ˙zny.

2. Warunek konieczny zbie˙zno´sci szereguWarunkiem koniecznym zbie ˙zno´sci ka ˙zdego szeregu

∑^∞n=1u_njest to, ˙zeby jego wyraz ogólny d ˛a ˙zył do zera:

nlim→_∞u_n =0.

3. Szeregi o wyrazach nieujemnych

(a) Kryterium porównawcze zbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli dla szeregu ∑^∞n=1un, gdzie un ≥ 0, mo ˙zna wskaza´c taki szereg zbie ˙zny ∑^∞n=1v_n, ˙ze pocz ˛awszy od pewnego miejsca N (tzn. dla ka ˙zdego n≥ N) zachodzi nierówno´s´c u_n≤ v_n, to szereg∑^∞n=1u_njest równie ˙z zbie ˙zny.

(b) Kryterium porównwawcze rozbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli dla szeregu∑^∞n=1u_n mo ˙zna wska- za´c taki szereg rozbie ˙zny ∑^∞n=1vn, gdzie vn ≥ 0, ˙ze pocz ˛awszy od pewnego miejsca N (tzn.

dla ka ˙zdego n≥ N) zachodzi nierówno´s´c u_n≥v_n, to szereg ∑^∞n=₁u_n jest równie ˙z rozbie ˙zny.

(c) Kryterium d’Alemberta zbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli w szeregu ∑^∞n=1un o wyrazach dodat- nich pocz ˛awszy od pewnego miejsca N (tzn. dla ka ˙zdego n≥ N) stosunek dowolnego wyra- zu u_n+1 do poprzedzaj ˛acego wyrazu u_n jest stale mniejszy od pewnej liczby p mniejszej od 1, tzn. je ˙zeli

u_n+1

u_n ≤ p<1 dla wszystkich n≥ N, to szereg∑^∞n=1u_njest zbie ˙zny.

(d) Kryterium d’Alemberta rozbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli w szeregu ∑^∞n=1un o wyrazach do- datnich pocz ˛awszy od pewnego miejsca N (tzn. dla ka ˙zdego n ≥ N) stosunek dowolnego wyrazu un+1do poprzedzaj ˛acego wyrazu un jest nie mniejszy od jedno´sci, tzn. je ˙zeli

u_n+1

un

≥1 dla wszystkich n≥ N, to szereg∑^∞n=₁u_njest rozbie ˙zny.

(e) Wnioski wynikaj ˛ace z kryteriów d’Alemberta

i. Je ˙zeli limn→_∞ ^u_uⁿ⁺_n¹ =r <1, to szereg∑^∞n=1unjest zbie ˙zny.

ii. Je ˙zeli lim_n→_∞ ^u_uⁿ⁺_n¹ =s >1, to szereg∑^∞n=1u_njest rozbie ˙zny.

iii. Je ˙zeli lim_n→_∞ ^un_u⁺_n¹ =1, to przypadek jest w ˛atpliwy; nale ˙zy wtedy stosowa´c inne metody badania zbie ˙zno´sci szeregów.

(f) Kryterium Cauchy’ego zbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli dla szeregu∑^∞n=1u_no wyrazach nieujem- nych istnieje taka liczba p<1, ˙ze pocz ˛awszy od pewnego miejsca N (tzn. dla ka ˙zdego n≥ N) zachodzi równo´s´c

√n

u_n≤ p<1, to szereg∑^∞n=1unjest zbie ˙zny.

(g) Kryterium Cauchy’ego rozbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli dla szeregu∑^∞n=1undla niesko ´nczenie wielu warto´sci n (niekoniecznie dla wszystkich) zachodzi nierówno´s´c

√n

u_n≥1, to szereg∑^∞n=1u_njest rozbie ˙zny.

(h) Wnioski wynikaj ˛ace z kryteriów Cauchy’ego i. Je ˙zeli lim_n→_∞ ⁿ

√u_n=r <1, to szereg∑^∞n=1u_njest zbie ˙zny.

ii. Je ˙zeli limn→_∞ ⁿ

√un=s >1, to szereg∑^∞n=1unjest rozbie ˙zny.

iii. Je ˙zeli lim_n→_∞ ⁿ

√u_n=1, to przypadek jest w ˛atpliwy; nale ˙zy wtedy stosowa´c inne metody badania zbie ˙zno´sci szeregów.

(i) Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze ni ˙z kryterium d’Alemberta.

4. Szeregi przemienne

(a) Kryterium Leibniza zbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli w szeregu przemiennym ∑^∞n=1un pocz ˛aw- szy od pewnego miejsca N bezwzgl ˛edne warto´sci wyrazów szeregu d ˛a ˙z ˛a monotonicznie do zera, to znaczy, dla ka ˙zdego n> N spełnione s ˛a jednocze´snie warunki:

|u_n+1| ≤ |u_n|,

nlim→_∞un =0,

to szereg ∑^∞n=1un jest zbie ˙zny. Drugi z warunków jest koniecznym warunkiem zbie ˙zno´sci ka ˙zdego szeregu.

(b) Kryterium bezwzgl˛ednej zbie˙zno´sci szeregów Je ˙zeli szereg ∑^∞n=1|un|, którego wyrazy s ˛a równe warto´sciom bezwzgl ˛ednym wyrazów szeregu∑^∞n=1u_n, jest zbie ˙zny, to i szereg∑^∞n=1u_n jest zbie ˙zny.

Przydatne wzory

1. Dla x∈ (0,^π₂)zachodzi nierówno´s´c: sin x<x <tg x.

2. lim

n→_∞ sin¹_n

1 n

=1,

3. lim

n→_∞ tg¹_n

1n

=1,

4. |sin n| ≤1 dla ka ˙zdego n∈_N, 5. log n<n dla ka ˙zdego n∈_N, 6. wzór Stirlinga: n!≈ √

2πn ⁿ_e
n

dla ka ˙zdego n ∈_N, 7. wniosek ze wzoru Stirlinga: n!> ⁿ_e
ⁿ,

8. a log_cb=log_cb^a.

Rysunek 1: Zale ˙zno´sci mi ˛edzy warto´sciami funkcji trygonometrycznymi zobrazowane na wykresie.

Zadania

1. Zbada´c zbie ˙zno´s´c szeregu korzystaj ˛ac z kryterium porównawczego

(a) ∑^∞n=1 n!

nⁿ, (b) ∑^∞n=1

√n+1−√ n

n ,

(c) ∑^∞n=1tg_n¹, (d) ∑^∞n=1sin_n¹,

(e) ∑^∞n=1 √1 nsin¹_n, (f) ∑^∞n=1 1

ntg^√1_n , (g) ∑^∞n=2 1

n log n, (h) ∑^∞n=2 1

(log n)^{log n},

(i) ∑^∞n=1 1 2n−1, (j) ∑^∞n=1 ⁿ

q1 n, (k) ∑^∞n=₁^{log n}_n3 , (l) ∑^∞n=1 n+2 2n³−1,

(m) ∑^∞n=12ⁿsin₃^πn, (n) ∑^∞n=2 1

log n, (o) ∑^∞n=1

log n 2ⁿ . 2. Zbada´c zbie ˙zno´s´c szeregu korzystaj ˛ac z kryterium d’Alemberta

(a) ∑^∞n=16ⁿ n!, (b) ∑^∞n=1 n!

nⁿ,

(c) ∑^∞n=1 (n!)²·5ⁿ

(2n)! , (d) ∑^∞n=0 n!

100ⁿ,

(e) ∑^∞n=1 1 n 3

5

n

, (f) ∑^∞n=0

(n+1)5ⁿ 2ⁿ·3ⁿ⁺¹. 3. Zbada´c zbie ˙zno´s´c szeregu korzystaj ˛ac z kryterium Cauchy’ego

(a) ∑^∞n=₁ⁿ

3

2ⁿ, (b) ∑^∞n=0 2n+1

3n+1

¹₂n

,

(c) ∑^∞n=1 b an

n

, przy czym lim

n→_∞an = a > 0 oraz a6=b i an>0,

(d) ∑^∞n=1

(arc tg n)ⁿ 2ⁿ . 4. Zbada´c zbie ˙zno´s´c szeregu korzystaj ˛ac z kryterium Leibniza

(a) ∑^∞n=1(−1)^{n+1 1}_n, (b) ∑^∞n=1(−1)ⁿ⁺¹(√ⁿ

3−1),

(c) ∑^∞n=1(−1)ⁿ(√ⁿ 2−1), (d) ∑^∞n=1(−1)ⁿ⁺¹n ³₄
n−1

,

(e) ∑^∞n=2 (−1)ⁿ n log n.

5. Zbada´c zbie ˙zno´s´c szeregu korzystaj ˛ac z kryterium bezwzgl ˛ednej zbie ˙zno´sci.

(a) ∑^∞n=1(−1)^12n(n+1)₃¹_n, (b) ∑^∞n=1(−1)^{n 3n}_4n⁺₊¹₁
ⁿ, (c) ∑^∞n=1sin n 3ⁿ .

6. Wykaza´c, ˙ze dla poni ˙zszych szeregów nie jest spełniony warunek konieczny zbie ˙zno´sci szeregu.

(a) ∑^∞n=1cos¹_n, (b) ∑^∞n=1 ⁿ

q1

n, (c) ∑^∞n=1 eⁿn!

nⁿ . 7. Obliczy´c, jak ˛a warto´s´c liczbow ˛a przedstawia ułamek okresowy

(a) 0,(45), (b) 0, 4(90).

Bibliografia

1. Analiza matematyczna w zadaniach cz. I W. Krysicki, L. Włodarski