Szeregi potęgowe.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14

Ćwiczenia 21.01.2014: zad. 659-676

Kolokwium nr 13 — 27.01.2014 (poniedziałek, 13:15-14:00): materiał z zad. 1-691

Szeregi potęgowe.

Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

659.

∞

X

n=1

10ⁿxⁿ

n¹⁰ 660.

∞

X

n=1

xⁿ

n · 10ⁿ⁻¹ 661.

∞

X

n=0

50ⁿx²ⁿ⁺⁵ 662.

∞

X

n=1

xⁿ n(n + 1) 663.

∞

X

n=1

x²ⁿ

√n²+ n − n 664.

∞

X

n=1

4ⁿ⁺⁵x³ⁿ⁺⁷

n · 6²ⁿ 665.

∞

X

n=1

(2n)!xⁿ

(n!)³ 666.

∞

X

n=1

2ⁿ⁺⁷x⁶ⁿ

√n

667.

∞

X

n=1

n!x²ⁿ 668.

∞

X

n=1

(54n + 1)ⁿx³ⁿ

(81n + 2)ⁿ 669.

∞

X

n=1

10ⁿ²xⁿ³ 670.

∞

X

n=1

_3n

n

xⁿ

n² Obliczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

671.

∞

X

n=1

n!

nⁿxⁿ⁺⁷ 672.

∞

X

n=0

4n n

!

xⁿ 673.

∞

X

n=0

n!xⁿ² 674.

∞

X

n=0

n + 10 n

!

xⁿ 675.

∞

X

n=0

n!(3n)!

(2n)!(2n)!xⁿ

676. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞ X

n=0

8

· n

n

+ 1 · x

.

Konwersatorium

Obliczyć sumy szeregów potęgowych 677.

∞

X

n=0

xⁿ 678.

∞

X

n=0

x²ⁿ

2ⁿ 679.

∞

X

n=1

nxⁿ

680. Podać przykład szeregu potęgowego o promieniu zbieżności 2 i sumie równej 7 dla x = 1.

681. Podać przykład dwóch szeregów potęgowych o promieniach zbieżności 1, których suma jest szeregiem potęgowym o promieniu zbieżności 2.

Zadania do samodzielnego rozwiązania.

682. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞ X

n=1

(n + 35)

· x

n

.

683. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞ X

n=1

x

√ n · 5

.

Lista 9 - 95 - Strony 95-96

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14

684. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

n! · 2ⁿ· x³ⁿ nⁿ·^3n_n^ .

685. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

(n + 3) · 3ⁿ· x³ⁿ n²+ 10 .

686. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego

∞

X

n=1

n²ⁿ· xⁿ (2n)! .

687. Podać przykład szeregu potęgowego, którego przedziałem zbieżności jest prze- dział ^−√

2,√ 2ⁱ.

688. Podać przykład takiego szeregu potęgowego ^P∞

n=0

a_nxⁿ zbieżnego na całej prostej rzeczywistej, że

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 5 dla x = 1 oraz

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 20 dla x = 2 .

689. Podać przykład takiego szeregu potęgowego ^P∞

n=0

a_nxⁿ zbieżnego na całej prostej rzeczywistej, że

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 2 dla x = 1 oraz

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 18 dla x = 3 .

690. Wyznaczyć przedział zbieżności szeregu potęgowego

∞ X

n=1

2

· x

n

.

691. Podać przykład takiego szeregu potęgowego ^P∞

n=0

a_nxⁿ o promieniu zbieżności równym 2, że

∞

X

n=0

a_nxⁿ= 4 dla x = 1 .

Rozwiązania zadań 682–691 znajdują się na liście 9r.

Lista 9 - 96 - Strony 95-96