G Ł Ó W N Y U R Z Ą D S T A T Y S T Y C Z N Y R Z E C Z Y P O S P O L I T E J P O L S K I E J
K W A R T A L N I K STATYSTYCZNY
T O M XI, Z E S Z Y T 1
19 3 4
f ł
W A R S Z A W A
n a k ł a d e m g ł ó w n e g o u r z ę d u s t a t y s t y c z n e g o
WYDAWNICTWA GŁÓWNEGO URZĘDU STATYSTYCZNEGO
Z ło t y c h .. 1 M A ŁY R O C Z N IK STA TY STY C ZN Y 1934. W y d a n ie p o ls k ie . 1,00 O d d zieln e w y d a n ia fran cu sk ie, an g ielsk ie i n iem ieck ie p o . 2,00 II R O C Z N IK ST A T Y S T Y K I M IA ST P O L S K I O sta tn i ro c z
nik za ro k 1930 , . 4,00
III A T L A S STA T Y STY C ZN Y R Z E C Z Y P O S P O L IT E J P O L S K IE J.
W y d a n y w r. 1930 . . . 20,00
IV K W A R T A L N IK STA TY STY C ZN Y
P re n u m e ra ta ro c z n a w k ra ju . 28,00
C en a z e sz y tu o d d zieln eg o w ed łu g k a lk u la c ji k o sz tó w V S T A T Y S T Y K A P R A C Y (k w artaln ik )
P re n u m e ra ta ro c z n a w k ra ju . . . 10,00
Z eszy t o d d zieln y . . . 3,00
VI S T A T Y S T Y K A CEN (k w artaln ik )
P re n u m e ra ta ro czn a w k ra ju . . . 6,00
Z eszy t o d d zieln y . . . 2,00
V II H A N D EL Z A G R A N IC ZN Y (m iesięcznik)
P re n u m e ra ta ro c z n a w k ra ju . , , . . . 32,00
Z eszy t o d d zieln y . . . 3,00
V III W IA D O M O ŚC I S T A T Y S T Y C Z N E (trzy ra z y n a m iesiąc)
P re n u m e ra ta ro c z n a w k ra ju . . . 16,00
Z eszy t o d d zieln y . . . 0,60
IX S T A T Y S T Y K A PO LSK I. W y d a w n ic tw o u k a z u je się zeszy tam i, po- św ięco n cm i poszczególnym zag ad n ien io m . D o r. 1932 z e sz y ty o p a trz o n e b y ły n u m e ra c ją rz y m sk ą , W la ta c h 1932 i 1933 S t a t y s t y k a P o l s k i u k a z y w a ła się w d w óch se rja c h : A i B, o p atrz o n y c h k a ż d a k o lejn ą n u m eracją a ra b s k ą . O d r. 1934 d a w n e se rje z o s ta ły z a m k n ię te i ro z p o c z ę ta z o s ta ła n o w a se ria C (form at zn o rm alizo w an y A„) z k o le jn ą n u m e ra c ją a ra b s k ą .
W s e r j i A S t a t y s t y k i P o l s k i b y ły d ru k o w an e m iędzy in- nem i:
D rugi pow szechny sp is ludności z dn. 9.X H 1931 r. F o rm u la
rz e i in s tru k c je spisow e (tom 1) . . , . . . 6,00 M ałżeń stw a, u ro d zen ia i zgony (tom 27) . . . . 5,00 W s e r j i B S t a t y s t y k i P o l s k i u k a z a ło się m iędzy innem i:
Zesz. 13. M ieszk an ia . D ane ty m czaso w e na p o d sta w ie drugiego
pow szechnego spisu lu d n o ści z dn. 9 X II 1931 1,60
„ 24. P re lim in a rz e b u d ż e to w e zw iązk ó w sam o rząd o w y ch n a 'ro k
1933/34 ... 1,60 S e rja C
Zesz. la . S ta ty s ty k a przem y sło w a 1932 cz. I 3,00
„ 2. P rzy czy n y rozbieżności p o m ięd zy d a n e m i sta ty s ty k i p o lsk iej i obcej w zak resie h a n d lu zagranicznego S ta ty s ty k a życia um ysłow ego i k u ltu ra ln e g o ,
3,00
„ 3. 1,20
„ 6a i b. R ocznik h a n d lu Z agranicznego i W . M. G d ań sk a.
C zęść I i 11, 1933 ... 6,00
„ 7. U bój zw ierząt g o sp o d arsk ich , 1932
„ 10. S ta ty s ty k a pocztow a1, te leg raficzn a i te le fo n ic z n a za
r. 1933 ... 1,00 P e łn y spis w y d aw n ictw ogłoszony z o s ta ł w K a ta lo g u W y d a w n ic tw G łó w n eg o U rzęd u S ta ty sty c z n e g o ,
O d cen w y ż e j p o d a n y c h udziela się, 25% rabatu księgarniom, i n s ty t u cjo m p a ń s tw o w y m i sa m o r z ą d o w y m : d olicza się zaś k o s z ta w y s y łk i , któ r e obcią żają nabywcę, z w y ją t k i e m pren u m era ty, do k t ó r e j k o s z ta w y s y ł k i są ju ż w łączone.
G ŁÓ W N Y URZĄD STATYSTYCZNY RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ
OFFICE CENTRAL DE STATISTIOUE DE LA RŚPUBLIOU| POLONAISE
t r
'% f
K W A R T A L N I K S T A T Y S T Y C Z N Y
REVUE TRIMESTRIELLE DE STATISTIO UE
T O M X I - TO M E XI
1 9 3 4
W A R S Z A W A
N A K Ł A D E M G Ł Ó W N E G O U R Z Ę D U S T A T Y S T Y C Z N E G O
\ ~ / l 8 2 - b ( o
1 1 . 11 /
Et r e d a k c y j n y g ł ó w n e g o u r z ę d u s t a t y s t y c z n e g o
%
ektor
P r z e w o d n i c z ą c y : Gł. U. S t. — E d w a rd Szturm de S ztr
C z ł o n k o w i e : S tefan Szulc — R ed a kto r g łó w n y
K aro l C zern ic k i — Z astępca redaktora głównego W ła d y sła w M alinow ski
J a n D erengow ski — S e k re ta rz redakcji
COMITŹ DE R ŚD A C T IO N DE L'OFFICE C EN TRA L DE ST A T IST IQ U E P r e s i d e n t :
D irecteur de 1'Off. Centr. de Stat. — E d w a rd S zturm de Sztrem M e m b r e s :
S tefan Szulc — R ed a cteu r en chef K aro l C zern ic k i — R e d a c te u r suppleant W ład y sław M alinow ski
J a n D eren g o w sk i — Secrćtaire de redaction
S ek retariat redakcji — tri. 232-79
Z a o p in je w y r a ż o n e w a r t y k u ł a c h d r u k o w a n y c h w w y d a w n i c t w a c h G ł ó w n e g o U r z ą d u S t a t y s t y c z n e g o o d p o w i a d a p o d p i s a n y a u to r.
L e s a r tic łe s in s e r e s d a n s le s p u b lic a tio n s d e 1'Office C e n t r a l d e S t a t i s t i q u e t r a d u i s e n t le s o p in io n s d e s a u te u r s s ig n a n t le s a r tic ł e s .
S P I S R Z E C Z Y
R ok 1934, tom XI
A rtykuły
Z e s z y t S t r.B. E. i L. L. M ożliw ość w y k o rzy sty w an ia o p raco w ań w yników sp isu lu d n o ści d la b a d a ń m o n o g ra
ficznych ...
I
122 F o g e l s o n S. 0 in te rp re ta c ji i z a k re s ie s to s o w a ln o ści m iar k o re la c ji . . . . .
I
1F o g e l s o n S. 0 częstości w y stęp o w an ia siero ctw a
I
96 F o g e l s o n S. i R a j c h m a n A. Je sz c z e o jednejz m atem aty czn y ch te o ry j ,,k o n ju n k tu ry "
III—IV
562 G r u ź e w s k a - M i l i c e r H. Z ag ad n ien ie r o z k ła du c e n ziem i n a c e n y jej sk ła d o w y c h g atu n k ó w
I
39 G r u ż e w s k a - M i l i c e r H. 0 m ia ra c h s ta ty s ty c z n y ch ...
III—IV
544 K o ł o d z i e j c z y k S t a n i s ł a w . 0 p e w n e j k la sie h ip o te z sta ty sty c z n y c h , zw iązan y ch z m e to d ą
n ajm n iejszy ch k w a d r a t ó w ...
III - IV
357 L e w y S t e f a n . M ię d z y n a ro d o w e p o ró w n a n ie cenh u rto w y c h w la ta c h 1923 — 1932 . . . .
III—IV
428 M a l i n o w s k i W ł a d y s ł a w D r . S tr u k tu raro z d z ia łu k re d y tó w b a n k o w y c h w P o lsc e ,
II
189 M i l l e r J u l i u s z 1 n i. N ieb e z p ie c z n e m o m en ty w o rg an izacji i p rz e b ie g u m aszynow ego o p ra
cow ania d an y ch sta ty sty c z n y c h . . . . I 64
P r z y p k o w s k i M i e c z y s ł a w . N ow a k la s y fik a cja to w a ro w a w p o lsk iej s ta ty s ty c e h a n d lu z a
gran iczn eg o ...
I
113 R a d l i c z H a l i n a . U w agi o za lu d n ie n iu w s c h o d n ich w o jew ó d ztw R ze c z y p o sp o lite j P o lsk iej . II 279 W i ś n i e w s k i J a n D r . K rzyw a lo g ary tm iczn a
i jej z a sto so w a n ie ... II 298 W i ś n i e w s k i J a n D r . K ilk a uw ag o m iarach
k o r e l a c j i ... III—IV 535
Kronika, sprawozdania, notatki
Z e » z y t S t r .B u c z y ń s k i B, i F o £ e 1 s o n S. P i zeg ląd o b
cych czaso p ism sta ty s ty c z n y c h . . . . I. 11, III—IV
144, 325 595 P rz e g lą d a rty k u łó w s ta ty s ty c z n y c h w p o ls k ic h c z a so
p ism a c h ... I, II 126, 323 S p r a w o z d a n i a ... III—IV 613 S e k c ja S ta ty sty c z n a T o w arzy stw a E konom istów i S ta
ty s ty k ó w P o l s k i c h ... III—IV 626 IV S e sja M ięd zy n aro d o w eg o T o w a rz y stw a E k o n o m e-
t r y c z n e g o ... I I I - I V 624 XIX S e sja M ięd zy n aro d o w eg o In s ty tu tu S ta ty s ty c z n e
go w M e k s y k u ... ... I 182 N ow a d z ie d z in a d z ia ła ln o ś c i R o y al S ta tis tic a l Society III—IV 627 D ruga S e sja K o m ite tu E k s p e rtó w S ta ty s ty c z n y c h p rz y
L idze N a r o d ó w ... I 185 P ie rw s z a S e sja K o m itetu E k s p e rtó w S ta ty sty c z n y c h
p rz y M ięd z y n a ro d o w e m B iu rz e P ra c y , I 186 P o ls k i I n s ty tu t B a d a n ia Z ag ad n ień L u d n o ścio w y ch I 187 F o g e l s o n S. D r. H. B e rlin e r (1883 — 1934). W sp o
m n ien ie p o ś m i e r t n e ... III—IV 628
U staw y, rozporządzenia, ogłoszenia
O g ło szen ie G łó w n eg o U rzęd u S ta ty sty c z n e g o z d n ia 4.1 1933 r. w sp ra w ie zm ian w W y k azie S ta ty sty czn y m T o w aró w , słu żący m za p o d s ta w ę z g ło
sz e ń sta ty s ty c z n y c h . . . I 188
O g ło szen ie G łó w n eg o U rzęd u S ta ty sty c z n e g o z d n ia 24.XI 1933 r. w sp ra w ie W y k a z u S ta ty sty czn eg o T o w aró w , słu żąceg o jża p o d sta w ę zg ło szeń do
s ta ty s ty k i c e l n e j ... I 188
T A B L E D E S M A T I f i R E S
A n n ee 1934, tom e XI
Articles
F a s c i c u l e P a g eB. E. e t L. L. L a p o ssib ilitć d ’u tilis e r les ć la b o ra tio n s des r ć s u lta ts d u r e c e n s e m e n t d e la p o p u la tio n
p o u r les ć tu d e s m o n o g rap h iq u es . . . . I 122 F o g e l s o n S. S u r 1’in te rp rć ta tio n e t l'a p p lic a b ilitć
d e s m esu res d e c o r r e l a t i o n ... I 1 F o g e l s o n S. S u r la frć ą u e n c e d e I'o rp h e lin a g e I 96 F o g e l s o n S. et R a j c h m a n A. C o n sid ćratio n s
A p ro p o s d 'u n e th ć o rie m a th ć m a tią u e co n cern an t
la „ c o n jo n c tu re " . . . III—IV 562
G r u ź e w s k a - M i l i c e r H. L e p ro b lć m e d e la d ć c o m p o sitio n d e s p rix d es te r ra in s selo n les
p rix des te r re s c o m p o s a n te s ... I 39 G r u ź e w s k a - M i l i c e r H. S u r les m e su re s s ta -
tistiq u e s III—IV 544
K o ł o d z i e j c z y k S t a n i s ł a w . S u r u n e classe d es h y p o th ć s e s sta tis tiq u e s , asso cićcs ä la th ć o
rie des m oindres c a r r ć s ... III—IV 357 L e w y S t e f a n . C o m p araiso n in te rn a tio n a le des
p rix d e gros e n 1923 — 1932 . . . . III—IV 428 M a l i n o w s k i W ł a d y s ł a w D r . L a s tru c tu r e
d e la rć p a r titio n d es c rć d its b a n c a ire s en P o-
logne . . . II 189
M i l l e r J u l j u s z I n g . M o m en ts d a n g e re u x d ans l O rganisation e t la m a rc h e d es tr a v a u x d e d ś-
p o u illem en t m cca n iq u e des don n ćes sta tistiq u e s I 64 P r z y p k o w s k i M i e c z y s ł a w . L a n o u v elle
Classification d es m a rc h a n d is e s d a n s la s ta tis ti-
q u e du co m m erce e x t ć r i e u r ... I 113 R a d l i c z H a l i n a . O b se rv a lio n s c o n c e rn a n t le
p e u p lem en t des d ć p a rte m e n ts de 1'Est d e la R ć-
p u b liq u e P o l o n a i s e ... II 279 W i ś n i e w s k i J a n D r . L a c o u rb e lo g arith m iq u e
e t ses a p p lic a tio n s . ... II 298 W i ś n i e w s k i J a n D r . Q u elq u es re m a rq u e s su r
les m e su re s d e la c o r r ć l a t i o n ... III—IV 535
Chronique, com pte
-rendus, notices
B u c z y ń s k i B. et F o g e l s o n S. R evue des pć-
F a s c i c u l e P« j j e
i —II. 144.325, rio d iq u e s ć t r a n g e r s ... U I-IV 595 R ev u e d es a rtic le s s ta tis tiq u e s d an s les p e rio d iq u e s
p o l o n a i s ... I - I I 126, 323,
C o m p te s-re n d u s . . . III—IV 613
S ectio n s ta tis tiq u e d e la S o cićtć d es ćconom istes e t d es
sta tistic ie n s p o l o n a i s ... III—IV 626 IV -e Session de la S o cićtć In te rn a tio n a le E conom ć-
t r i q u e ... III—IV 624 X lX -e S essio n de ('In s titu t In te rn a tio n a l d e S ta tis tiq u e
ä M ex ico . . . I 182
L e n ouveau d om aine de l'a c tiv itć de la R oyal S ta
tis tic a l S o c i e t y ... 111—IV 627 D eu x ićm e S essio n du C om itć d ’E x p e rts s ta tis tiq u e s
a u p rć s d e la S o cićtć d es N ation« . . . . I 185 P re m ić re S essio n du C om itć d 'E x p e rts s ta tis tiq u e s
a u p rć s du B u re a u In te rn a tio n a l du T ra v a il . I 186 In s titu t P o lo n ais des R e c h e rc h e s su r les P ro b lćm es
d e la P o p u l a t i o n ... I 187 F o g e l s o n S. D r. H. B e rlin e r (1883— 1934). N otice
c o m m ö m o r a t i v e ...
III—
IV 628Lois, dćcrets, arretes
A vis de l'O ffice C e n tra l d e S ta tis tiq u e du 4.1 1933 pu su je t d e s m o d ificatio n s a p p o rtć e s au R ć p e rto ire S ta tis tiq u e des M arch an d ises, se rv a n t de b ase a u x
d ć c la ra tio n s s t a t i s t i q u e s ... I 188 A vis de l'O ffice C e n tra l de S ta tis tiq u e du 24.XI 1933
a u s u je t du R ć p e rto ire S ta tis tiq u e des M a rc h a n dises, s e r v a n t de b a se a u x d ć c la ra tio n s ä la s t a
tis tiq u e d o u a n i ć r e ... I 188
KWARTALNIK STATYSTYCZNY, TOM XI, ZESZYT 1
R E V U E T R I M E S T R I E L L E D E S T A T 1 S T 1 Q U E , T O M E XI, F A S C I C U L E 1
1 9 3 4
*
TŁO CZO N O C Z C IO N K A M I D R U K A R N I P A Ń S T W O W E J. Nr. 70609. 900.
G Ł Ó W N Y U R Z Ą D S T A T Y S T Y C Z N Y R Z E C Z Y P O S P O L I T E J P O L S K I E J
K W A R T A L N I K STATYSTYCZNY
T O M XI, Z E S ZY T 1
19 3 4
W A R S Z A W A
N A K Ł A D E M g ł ó w n e g o u r z ę d u s t a t y s t y c z n e g o
KOMITET R ED A K C Y JN Y GŁÓW NEGO U RZĘDU STA TY STY C ZN EG O P r z e w o d n i c z ą c y :
D y r e k to r Gł. U. St. — E d w a rd Szturm de Sztrem C z ł o n k o w i e :
S tefan Szulc — R ed a kto r g łó w n y
K aro l C zernicki — Zastępca redaktora głównego W ład y sław M alinow ski
J a n D erengow ski — Sekreta rz redakcji
COM ITŚ DE R ED AC TIO N DE L OFFICE C EN TRAL DE ST A T IST IQ U E P r e s i d e n t :
Directeur de 1'Off. Centr. de Sta t. — E d w a rd Szturm de Sztrem M e m b r e s :
S tefan Szulc — R ed a cteu r de chef K arol C zern ic k i — R ed a cteu r suppleant W ład y sław M alinow ski
J a n D erengow ski — Secretaire de redaction
S ek retariat redakcji — tel. 232-79
SPIS RZECZY
S. F O G E L S O N
O in te rp re ta c ji i z a k re sie stosow alności m iar k o re la c ji
Str.
H. M I L 1 C E R - G R U Ż E W S K A
Z ag ad n ien ie ro z k ła d u cen ziem i n a ceny jej sk ład o w y ch
g atu n k ó w . . . 39
I n i . J U L J U S Z M I L L E R
N iebezpieczne m om enty w o rg an izacji i p rzebiegu m aszyno
wego o p ra c o w a n ia d an y ch sta ty sty c z n y c h . . 64 S. F O G E L S O N
O często ści w ystępow ania siero ctw a . . . 96
M I E C Z Y S Ł A W P R Z Y P K O W S K I
N owa k la s y fik a c ja to w aro w a w p o lsk iej sta ty sty c e h a n d lu
zag ran iczn eg o . . . 113
E. B. i L. L.
M ożliw ość w y k o rzy sty w an ia o p raco w ań w yników spisu
ludności d la b a d a ń m onograficznych . . 122
P rz e g lą d a rty k u łó w sta ty sty c z n y c h w polskich czasopism ach . 126 B. B U C Z Y Ń S K I i S. F O G E L S O N
P rz e g lą d obcych czasopism sta ty sty c z n y c h . . . 144 K R O N I K A
X IX S e sja M iędzynarodow ego In s ty tu tu S taty sty czn eg o
w M eksyku . . . 182
D ruga S e sja K o m itetu E k sp ertó w S ta ty sty c z n y c h p rzy Lidze
N arodów 185
P ierw sza S e sja K o m itetu E k sp e rtó w S ta ty sty c z n y c h przy M iędzynarodow em B iu rze P ra c y . . < • * P o lsk i In s ty tu t B ad an ia Z agadnień L udnościow ych .
U staw y, ro z p o rząd zen ia, o g ło szen ia . . . . 488
TABLE DES MATI
eRES
Page S. F O G E L S O N
S u r 1’in te rp rć ta tio n e t 1‘a p p lic a b ilite des m esures de cor-
rć la tio n . . . 1
II. M I L I C E R - G R U Ż E W S K A
Le p roblćm e de la dćco m p o sitio n des p rix des te rra in s selon
fes p rix de te rre s com posantes . 39
Ing. J U L J U S Z M I L L E R
M om ents d a n g ereu x d a n s l O rganisation et la m arch e des tr a - vaux de d ćp o u illem en t m ecanique des do n n ćes s ta ti-
stiq u es . . . 64
S. F O G E L S O N
S u r la frćq u en ce de 1‘o rp h elin ag e , . . . 9 6 M I E C Z Y S Ł A W P R Z Y P K O W S K I
L a n ouvelle c la ssific a tio n des m arch an d ises d an s la sta ti-
stiq u e du com m erce e x tć rie u r . . . 113
E. B. et L. L.
La p o ssib ilitć d 'u tilis e r les ć-laborations des rć s u lla ls du recen sem en t de la p o p u la tio n p o u r des ć tu d e s m ono-
g ra p h iq u e s . . . 122
R evue des a rtic le s sla tis tiq u e s d an s les p ćrio d iq u es p o lo n ais . 126 B. B U C Z Y Ń S K I et S. F O G E L S O N
R evue des p ćrio d iq u es ć tra n g e rs . 144
C I I R O N I Q U E
X IX -e Session de l'ln s titu t In te rn a tio n a l de S ta tis tiq u e
i M exico . . . . .
Deuxifcme Session du C om itć d E x p e rts sla tistiq u e s de la Societó d es N alio n s
P re m ić re S ession du C om itć d E x p e rts s la tistiq u e s d u B u reau In te rn a tio n a l du T rav ail . In s titu t P o lo n ais des R ecterchea su r les P roblćm es
P o p u la tio n . . . . .
Lois, d ćcrets, a rrć tć s . . . . .
182 au p rć s
185 au p rć s
186 de la
187 188
O interpretacji i zakresie stosow alności miar korelacji
T R E Ś Ć : 1. W s t ę p . 2. R o z m a i t e s f o r m u ł o w a n i a z a d a ń t e o r j i k o r e l a c j i . 3 . M i a r y n i e s y m e t r y c z n e . 4. M i a r y s y m e t r y c z n e . 5. W s p ó ł z a l e ż n o ś ć w i e l o r a k u . 6 . Z a k o ń c z e n i e i w n i o s k i .
1. W stę p
O cena sto p n ia i ro d z a ju w sp ó łzależn o ści 2 lub więcej zm iennych je st n iew ątp liw ie jednem z n a jb a rd z ie j zasad n iczy ch zag ad n ień sta ty sty k i zarów no te o rety czn ej ja k i p ra k ty c z n e j. D zied zin a w zględnie now a, p rz e ży w ała on a w końcu XIX i p o c z ą tk u XX w ieku o kres burzliw ego i g w ał
tow nego rozw oju, przed ew szy stk iem p o d w pływ em p rac P e a r s o n a i Y u 1 e'a. W chw ili obecnej sta ty s ty k a d y sp o n u je już cały m arsen ałem t. zw. m i a r k o r e l a c j i , k tó ry c h zasto so w an ia ro zp o w szech n iły się b a r dzo szeroko. Z asadnicze tru d n o śc i n a tu ry teo rety czn ej zo sta ły p rzezw y cię
żone, is tn ie ją zarów no ro z d z ia ły w now oczesnych p o d ręczn ik ach sta ty sty k i, pośw ięcone te o rji k o re la c ji, jak i sp e c ja ln e m o n o g rafje l, w k tó ry c h w y k ład
1 D o n a j l e p s z y c h p r a c m o n o g r a f i c z n y c h , p o ś w i ę c o n y c h s p e c j a l n i e t e o r j i k o r e l a c j i , z a l i c z y ć n a l e ż y k s i ą ż k ę A . A . C z u p r o w a ( T c h u p r o f f ) : ( .tr u n d b e p r iffe u n d G r u n t/p r o b le r n e dp i K o r r e l a t i o n s t h e o r i e , L e i p z i g — B e r l i n , 1925. H a r d z i e j e l e m e n t a r n y f p r a k t y c z n i e z o r
i e n t o w a n y w y k ł a d z n a l e ź ć m o ż n a u M . K z v k i e 1 o , M e th o d s o f C o r r e la t io n A n a l y s i s , N e w Y o r k a n d L o n d o n , 193 0, a l b o u I I . R i c h t e r - - A l l s c h l i f f e r n , T h e o r ie u n d T e c h n ik d e r K o r r e l a t i o n s a n a 'v n e , S c h r i f t e n r e i h e d e s I n s t i t u t s f ü r L a n d w i r t s c h a f t l i c h e M a r k t f o r s c h u n g , H e f t 5 , B e r l i n 1932. Z o g ó l n y c h p o d r ę c z n i k ó w s t a t y s t y k i m a t e m a t y c z n e j b a r d z o d o b r y , a c z k o l w i e k b a r d z o k r ó t k i , w y k ł a d t e o r j i k o r e l a c j i z a w i e r a z b i o r o w a k s i ą ż k a p o d r e d a k c j ą I I . L . R i c t z a , H a n d b o o k o f M a fh e m a t i c a l S t u 'i s t i c i , C o m b r i g d c ( M a s s X 1934, r o z d z i a ł y V I I I ( H . L . R i e t z i A . R . C r a t h o r n e ) i I X ( T . L . K e 1 1 e y ) . I s t n i e j e r ó w n i e ż p r z e k , d n i e m i e c k i p o d r e d a k c j ą B a u r a . O d p o w i e d n i r o z d z i a ł w c z ę ś c i p o ś w i ę c o n e j s t a t y s t y c e m a t e m a t y c z n e j , Z a w i e r a r ó w n i e ż d o s k o n a ł y p o d r ę c z n i k r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e ń s t w a R . v . M i s c s a ( o b . n i ż e j ) , j e s t o n j e d n a k ż e d o s t ę p n y t y l k o d l a c z y t e l n i k u , d o s t a t e c z n i e o b e z n a n e g o z m a t e m a t y k ą i ś c i ś l e z w i ą z a n y z e s p e c j a l n e m p o d e j ś c i e m R . v . M i l e s a d o r a c h u n k u p r a w d o p o d o b i e ń s t w a .
N i e p r z y t a c z a j ą c t u o l b r z y m i e j i l o ś c i p r a c s p e c j a l n y c h , p o ś w i ę c o n y c h z a g a d n i e n i o m t e o r j i k o r e l a c j i a r o z s i a n y c h p o c z a s o p i s m a c h s t a t y s t y c z n y c h , w y m i e n i m y j e s z c z e w t e r n m i e j s c u s t a r s z ą j u ż , a l e o d z n a c z a j ą c ą s i ę d u ż ą ś c i s ł o ś c i ą k s i ą ż k ę E . E . S ł u c k i e - g o : T ie o r ja k o r r e l a c ji i e l e m i e n t v u c z e n i j a o k r i w y c h r a s p r e d e l e n i j a , K i j ó w , 1912 ( w j ę z . r o s y j s k i m ) o r a z - - r ó w n i e ż w j ę z y k u r o s y j s k i m — k s i ą ż k ę s t a t y s t y k a p o l s k i e g o R . O r z ę o - k i e g o li c z e b n i k m u t i e m a ti c z e s k o j s l a t i s l i k i , P e t e r s b u r g , 19 14 . ( D a l s z y c i ą g u w a g i n o s t r . 2).
K w a r t a l n i k S t a t y s t y c z n y , z e s z . 1, r o k 1934. 1
sto i n a n ależ y ty m poziom ie ścisłości i p o p raw n o ści. J e d n a k ż e b ard ziej su b teln e i sk om plikow ane w łasności m ia r k o re la c ji, d e c y d u ją c e n ieraz o z a k re s ie ich stosow alności i o n ależ y tej in te rp re ta c ji, nie z o sta ły jeszcze p rz e z ogół sta ty sty k ó w — p ra k ty k ó w d o sta te c z n ie sobie przysw ojone, o czem łatw o się p rz e k o n a ć z bieżącej lite r a tu ry sta ty sty c z n e j. W w ielu w y p a d k a c h zauw ażyć m ożem y m echaniczne, m asow e sto so w an ie n a jb a r d ziej p o p u la rn e j (choć b y n ajm n iej n ie n a jp ro sts z e j.) m iary , m ianow icie k lasy czn eg o już s p ó ł c z y n n i k a k o r e l a c j i (inaczej zw anego sp ó ł- czy n n ik iem B r a v a i s - G a l t o n a ) bez n a le ż y ty c h o stro żn o ści i z a strz e ż e ń , bez n ależy teg o z d aw an ia sobie sp raw y z ograniczonego zak re su sto so w al
n ości tego sp ó łczy n n ik a, a n i te ż z tych m ożliw ości in te rp re ta c y jn y c h , k tó r e on p rz e d sta w ia .
Z d ru g iej stro n y , aczkolw iek tw órcy te o rji k o re la c ji z tru d n o śc i tych zd aw ali sobie d o k ła d n ie spraw ę, ta k że P e a r s o n np,, d la p o d k re ś le n ia stosow alności sp ó łc z y n n ik a k o re la c ji w y łączn ie jak o m iary w spółzależności lin jo w ej, p ro p o n o w ał ścisłe ro zró żn ien ie term inów ,,w sp ó łzależn o ść" lub
„zależn o ść" i „ k o re la c ja " lub „sk o relo w an ie" zm iennych, b ęd ące pew nym b ard zo sp ecjaln y m p rzy p a d k ie m ogólnego p o ję c ia zależności, je d n a k ż e n ie zu p ełn ie ja s n ą b y ła k w e stja in te rp re ta c ji sp ó łczy n n ik a k o re la c ji w p rz y p a d k u zależności nielin jo w ej. In tu ic y jn y lecz b łę d n y po g ląd , że d a je on w tym p rz y p a d k u pew ne chociażby p rzy b liżo n e p o ję c ie o sto p n iu w sp ó ł
z ale żn o ści 2 zm iennych, p o k u to w a ł i p o k u tu je do dziś jeszcze w w ielu p r a cach.
O stateczn e w y jaśn ien ie tej k w estji, d o k ła d n e w y jaśn ien ie s tru k tu r y sp ó łc z y n n ik a k o re la c ji i p rzyczyn, o g ran iczający ch jego sto so w aln o ść, z a w iera n iezm iern ie in te re su ją c a p ra c a znakom itego m atem atyku francuskiego
Z n i e z b y t o b f i t e j p o l s k i e j l i t e r a t u r y t e o r e t y c z n o - s t a t y s t y c z n e j w y m i e n i ć n a l e ż y d z i e ł o n a s l c p u | ą c e , m n i e j l u b w i ę c e j s z c z e g ó ł o w o o m a w i a j ą c e t e o r j ę k o r e l a c j i :
J a n C z c k a n o w s k l , Z a r y s m e / o r f s l a ' v i ' y c z n y c h w z n n to n o w u n in d o a n t r o p o l o g / l ,* ( P r a c e T o w a r z y s t w a N a u k o w e g o W a r s z a w s k i e g o , I I I , N r . 5 ) , W a r s z a
w a , 1 91 3, ( r o z d z i a ł I V );
S t e f a n M o s z c z e ń s k i , P o d s t a w y o r g a n t i a c j l g o s p o d a r s t w w h i s k i c h c z . Z M u io d y s t a t y s t y c z n e ( W y d a w n i c t w o M i n i s t e r s t w a R o l n i c t w a 1 D ó b r P a ń s t w o w y c h , s e r j o A , N r . 15) , W a r s z a w a , 1924 ( r o z d z i a ł V) ;
P r z e k ł a d p o l s k i z n a n e g o p o d r ę c z n i k a a n g i e l s k i e g o G . U . Y u I e . W s tę p d o t e n r / l s t a t y s t y k i f / n t r o d u e t l o n I o Ilie T h t o r v oZ S t a t i s t i c a l . W a r s z a w a , 1921, p i ó r a p r o f . Z . L i m a n o w s k i e g o ( r o z d z i a ł y I X — X I I ) , D z i e ł o p o w y ż s z e z a w i e r a m . I n o b s z e r n ą b i b l i o g r a f i e t e o r j i k o r e l a c j i .
W r e s z c i e z o g ł o s z o n y c h w j ę z y k u p o l s k i m p r a c m o n o g r a f i c z n y c h , d o t y c z ą c y c h t e o r j i i z a s t o s o w a ń k o r e l a c j i , w y m i e n i ć n a l e ż y :
J e r z y N e y m a n , 0 k o r e t a c / i n o m i f d z y i l o r a z a m i o w s p ó l n y m m i a n o w n i k a , K w a r t a l n i k S t a t y s t y c z n y , 1 93 1 , t . V I I I , z e s z . 4 , s t r . 8 5 7 ....866.
K a r o l i n a I w n s z k i c w i c z ó w n a , U o g ó ln ie n ie k o r e l a c j i c z ą s t k o w e / a a p r z y p n d v k g d y a l/m in o w a n a z m i e n n a / m l n i e m ie r z a ln a , K w a r t a l n i k S t a t y s t y c z
n y , 19 32, t . I X , z e s z . 3, s t r . 165 178;
S t a n i s ł a w K o ł o d z i e j c z y k , O e k s t r e m u m p a r a b o li r e g r e s / / , K w a r t a l n i k S t a t y s t y c z n y , 193 3, t . X , z e s z . 2— 3 , s t r . 3 1 9— 3 24:
M. F r ć c h e t a p. t. S u r le coefficient dii de correlation et sur la co rr i- lation en general, o p u b lik o w an a w R e v u e de 1’I n s tit u i International de Sta- tistiąue, (1933, zeszy t 4, str. 16 — 25) 1.
W p ra c y n in iejszej p o d ajem y , obok stre sz c z e n ia w yników F r ć c h e t a , p ró b ę sy stem aty czn ej a n a liz y form alnej n ajw a ż n ie jsz y c h m iar k o re la c ji i zw iązków , pom iędzy niem i zach o d zący ch , n a stę p n ie u zu p ełn iam y w yniki F rć c h e ta p rzez z in te rp re to w a n ie w prow adzonej p rz e z niego now ej m iary w p o staci t. zw. sp ó łc z y n n ik a linjow ości, w reszcie p o d a je m y uogólnienie ty ch w yników n a p rz y p a d e k k o re la c ji w ielo rak iej.
Z aznaczyć n ależy , że nie b ęd zie m y zu p ełn ie p o ru szać p ro b a b ilisty c z nej stro n y te o r ji k o re la c ji, t. zn. całego kom pleksu zag ad n ień zw iązanych z em p iry czn em szaco w an iem sp ó lczy n n ik ó w a p rio ry c z n y c h i t. d. W zw iązku z tern operow ać będziem y w szędzie liczebnościam i w zg lęd n ie częstościam i em pirycznem i, nie o d ró żn iając ich od p ra w d o p o d o b ie ń s tw (częstości teo rety czn y ch ) s. P om iniem y ró w n ież tru d n o ści, zw iązan e sp e c ja ln ie ze stosow aniem te o r ji k o re la c ji do s z e r e g ó w c z a s o w y c h ; ciek a w ą a n a lizę ty ch tru d n o śc i zn ale ść m ożna u Y o u 1 e ’a 3. F r ć c h e t w w yżej c y to w anej p ra c y k w est jonu je w ogóle sensow ność sto so w an ia m iar k o re la c ji do szeregów czasow ych, słu szn ie w sk azu jąc na to, że m ożna tu ty lk o m ówić o b a d a n iu k s z t a ł t u w spółzależności, a nie o jej w ykryw aniu.
2. R o zm aite sfo rm u ło w a n ia z a d a ń te o r ji k o re la c ji
Z anim p rzejd ziem y do om ów ienia p ra c y F r ć c h e t a i pew nych jej uogólnień, poczynim y p a rę uw ag w stępnych, d o ty czą cy ch m ierzen ia w sp ó ł
zale żn o ści w ogóle.
O g ra n ic z a ją c się n a ra z ie do ro z k ła d ó w dw uw ym iarow ych ro zró żn ić n a le ż y p rz e d e w sz y stk ie m d w a p o d ejścia do zag a d n ie n ia : m ożna m ów ić z je d n e j stro n y , o w s p ó ł z a l e ż n o ś c i 2 zm iennych, tr a k tu ją c obie zm ienne w sposób sy m etry cz n y ; p o d e jśc ie ta k ie z n a jd u je w y ra z w tak ich m iarach , ja k s p ó ł c z y n n i k k o r e l a c j i , ś r e d n i a z b i e ż n o ś ć k w a d r a t o w a , (m e a n squar e c o ntingency) i t. p. Z drugiej stro n y , m ożna m ówić o z a l e ż n o ś c i jed n ej zm iennej od d ru g iej — w ted y d la zach o w ania sy m e trji niezbędnem jest w p ro w ad zen ie 2 m iar o drazu, je d n e j, w y ra-
i O b . r ó w n i e ż C o m p le t h R e n d u s d e s S i a n c e s d c 1 ' A c a d ć m i c d e s S c i e n c e s d e P a r i s , t . 197 (1933) o r a z Lea tn d ic e e s t a t i s t i q u e s d e d ó p e n d a n c e f o n c t i o n n e l ie , B a r o - m e t r o E c o n o m i c o , 1934, N r . 4 , s t r . 2 3 1 — 2 .
* B n r d / . o s z c z e g ó ł o w y w y k ł a d t e j s t r o n y t e o r j i k o r e l a c j i z n a l e ź ć m o ż n a w w y ż e j c y t o w a n e j k s i ą ż c e C z u p r o w a.
i W / i y d o w e tfe t S o m e t i m e e C o n s e n s e C o r r e la t io n e b e tw e e n T im e - S e r i e s,
• J o u r n a l o i t l i c R o y a l S t a t i s t i c a l S o c i e t y , v o l . L X X X I X , 192 6, p a r t . I .
ż a ją c e j zależność zm iennej y od x, drugiej — zm iennej x od y ; lakierni m iaram i są np. s p ó ł c z y n n i k i r e g r e s j i , s t o s u n k i k o r e l a c y j n e f correlation ratios) P e a r s o n a i t, p.
Z aczniem y od pro stszeg o m ery to ry c zn ie u ję c ia niesym etrycznego.
P o zw ala ono sform ułow ać zag ad n ien ie zależności rów nież w odm ienny nieco sposób, m ianow icie w term in a c h s z a c o w a n i a . O k reślo n ej i u stalo n ej w arto ści jed n ej zm iennej m oże m ianow icie o d p o w iad ać albo je d n a o k reślo n a w artość d ru g iej zm iennej (zależność fu n k c jo n a ln a ), albo w iele ta k ic h w a r
tości, w y stę p u ją c y c h z o kreślonem i częstościam i, b ąd ź to n iezależn em i od u sta lo n e j w a rto śc i pierw szej zm iennej (niezależność), b ąd ź te ż zale żn em i od niej (zależność s to c h a s ty c z n a ); otóż zad a n ie te o rji k o re la c ji m ożna sfo r
m ułow ać ja k o s z a c o w a n i e w arto ści zm iennej z ale żn ej, na po d staw ie zn an y ch w arto ści zm iennej n iezależnej i ocenę d o k ła d n o śc i tego szaco w ania.
T ak ie p o d e jśc ie do zag ad n ien ia o d p o w iad a n ajcz ęstszem u jego sfo r
m ułow aniu, p o leg ającem u na stw ierd zen iu m ożliw ości 3 zasad n iczy ch w ypadków : niezależn o ści zu p ełn e j, zależności fu n k c jo n a ln e j i zależności sto ch asty cz n ej, p rzyczem m iara k o re la c ji pow inna pozw olić na ro z s trz y g nięcie, k tó ra z ty ch 3 ew entualności zachodzi i jed n o cz eśn ie — je ż e li ma m iejsce zależność sto c h a sty c z n a — ocenić stopień jej ,,sztyw ności" ( S t r a m m heit). T en schem at logiczny w y d aje się je d n a k ż e zby tn io uproszczonym . W rz e c z y w isto śc i ty lk o w p rz y p a d k u n ieza leżn o ści z u p e łn e j w y sta rc z a ją c e m je st sam o stw ierd zen ie jej istn ien ia; w p rz y p a d k u zaś zależn o ści jednej cechy od d ru g iej w ażny je st zarów no c h a ra k te r sto ch asty cz n y tej z a le ż ności (sto p ień sztyw ności w zględnie zależność fu n k c jo n a ln a ), jak rów nież i jej te n d e n c ja , p rzebieg ogólny. Innem i słowy, należy rozbić zag ad n ien ie n a 2 e ta p y i zap y ty w ać: 1) czy is tn ie je w ogóle zależność zm iennej y od x, 2) jeżeli istn ie je , to: a) ja k i je s t jej c h a ra k te r — czy je st to zależność fu n k cjo n aln a, czy też sto ch asty cz n a i ja k i je st jej sto p ień sztyw ności, oraz b) ja k i je st p rzebieg ogólny y p rz y zm ianie x.
W ten sposób o trzy m u jem y ja k g d y b y k rz y ż u ją c y się schem at logiczny, z którego łatw o je st w yw nioskow ać, że ty lk o w p rz y p a d k u n ie zależności zu p ełn ej je d n a ja k a ś c h a ra k te ry s ty k a liczbow a może d ać o d pow iedź w y czerp u jącą, w inn y ch zaś p rz y p a d k a c h niezb ęd n e b ę d ą c o n aj- m niej 2 ta k ie c h a ra k te ry sty k i, je d n a d la oceny sztyw ności zw iązan ia obu zm iennych, d ru g a — d la zo b razo w an ia p rzebiegu zm ian jed n ej zm iennej w zależn o ści od d ru g iej.
Ścisłe i s k ru p u la tn e ro zró żn ien ie zag ad n ień 2a) i 2b), sta n o w ią cych jak b y dw ie ró żn e stro n y zjaw isk a zależn o ści sto ch asty cz n ej lub fu n k cjo n aln ej, je st n a jb a rd z ie j istotnym w arunkiem p raw id ło w eg o p o d ejścia do zag ad n ien ia k o re la c ji; b ra k lego ro zró żn ien ia lub n ie d o stateczn ie w y
ra ź n e jego p o d k re ś le n ie sta n o w i w łaśn ie je d n ą z n a jb ard ziej szkodliw ych n iejasn o ści i n ied o m ó w ień w te o rji k o relacji, o k tó ry c h w spom inaliśm y na p o c z ą tk u . W p ro w a d z e n ie sp ó łc z y n n ik a k o relacji, jak o śre d n ie j g e o m e try c z nej obu sp ółczynników reg resji, by ło oczyw iście m ożliw em w y łączn ie na gruncie n ie d o s ta te c z n e j d y sk ry m in acji ty ch dw u o d rę b n y c h zag ad n ień . J a k się zd aje , F r ć c h e t b y t pierw szym , k tó ry zw rócił uw agę n a tę dw oistość zag ad n ien ia w sp ó łzależn o ści i w yraźnie sform ułow ał obie stro n y z a g a d n ie nia (w p ra c y o statn io ogłoszonej w Barom etro Eco nomico ).
P rzy lak iem pod ejściu do zag a d n ie n ia m iara sy m e try c z n a m oże z o stać w p ro w a d z o n a ty lk o jak o p e w n a s y n te z a z m iar n iesy m e try c z n y c h (spółczyn- n ik k o re la c ji ja k o śre d n ia g e o m e try c z n a dw u sp ó łczy n n ik ó w regresji). B ez
p o śre d n ie w p ro w a d z e n ie sy m etry cz n ej m iary w sp ó łz a le ż n o śc i m ożliw e jest ty lk o p od w a ru n k ie m zu p ełn e g o po m in ięcia z a g a d n ie n ia sza c o w a n ia w a r
to ści jed n ej zm iennej na p o d staw ie w a rto śc i drugiej zm iennej. P rzy tem zw ró cić n a le ż y jeszcze uw agę na tę okoliczność, że p o jęcie zale żn o ści fu n k cjonalnej w sta ty s ty c e jest w ęższe i b ard ziej sp ecjaln e niż w m a te m a ty c e : im plicite rozum ie się zaw sze zależn o ść fu n k c jo n a ln ą w s ta ty sty c e jak o z a leżność j e d n o z n a c z n ą ; otóż p rzy b ezp o śred n iem sym etrycznem u jęciu zag ad n ien ia k o re la c ji m usim y p rz y ją ć , źe zależność ta je s t rów nież j e d n o z n a c z n i e o d w r a c a l n a ; ty lk o w tym p rz y p a d k u zale żn o ść fu n k c jo n aln a y od x pociąga za sobą zależn o ść fu n k c jo n a ln ą x od y. W y n ik a stąd o d ra z u pew n a w spólna w ada w szy stk ich sy m etry cz n y ch m iar k o re la c ji, ta m ianow icie, że ta k ie zależn o ści fu n k cjo n aln e, ja k y = x ®, m uszą one t r a k tow ać jak o zależności sto ch asty cz n e (jed n ej w arto ści y o d p o w ia d a ją 2 w a r
to ści x ).
P rzyjm ując pow yższe zw ężen ie pojęcia zależn o ści fu n k cjo n aln ej, m oż
n a zb u d o w ać sy m e try c z n ą m iarę ko relacji, o p ie ra ją c się na o d w racaln o ści p o ję c ia niezależn o ści z u p e łn e j: jeżeli zm ienna y jest n ieza leżn a od x, t. zn.
jeżeli ro z k ła d czystości y je st ta k i sam d la k ażd ej w arto ści x, to i n ao d w ró t, zm ienna x je s t niezależną ód y '. W te d y ro z k ła d dw uw ym iarow y p rz e d s ta w ia się jak o iloczyn dw u ro z k ła d ó w jednow ym iarow ych i za m iarę za le ż n o ści m ożna p rz y ją ć w p rz y p a d k u ogólnym o d ch y len ie ro z k ła d u od o d p o w ie
dniego iloczynu. T ak zbudow ana je st ś r e d n i a z b i e ż n o ś ć k w a d r a t o w a , o k tó re j pow iem y p a rę słów później.
3. M iary n ie sy m e try c z n e
P rzy jrzy jm y się bliżej n ajczęściej u ży w an y m n ie sy m etry czn y m m ia
rom zależn o ści, t. zn, sp ó łczy n n ik o m re g re sji i sto su n k o m ko relacy jn y m . N a tu ra ln c m je st z a a ta k o w a n ie z ag ad n ien ia przy pom ocy t. zw. l i n j i r c-
1 D o w ó d t e ) w ł a s n o ś c i o b . n i i c j , n a p o c z ą t k u r o z d z i a ł u 4.
p r e s j i , czyli — jeże li in te rp re tu je m y zm ienne x i y ja k o w sp ó łrzęd n e p u n k tu na p łaszczy źn ie — m iejsca geom etrycznego śre d n ic h w arto ści y, o d p o w ia d a ją c y c h u stalo n y m w arto ścio m x, albo też o d w ro tn ie, p rzy czem obie lin je re g re sji są naogół różne. N aszem u schem atow i logicznem u o d p o w ia d a ją wówczas, aczkolw iek zaw sze z pew nem i zastrzeżen iam i, n a s tę p u ją c e p y ta nia: 1) ja k i je s t p rzebieg lin ji reg resji, t. zn. ja k się zm ienia śre d n ia w a r
tość y w zależn o ści od u sta la n y c h w arto ści x o raz 2) ja k i je s t ro z k ła d w a r
to ści y d o k o ła te j w arto ści śred n iej p rz y danem x l
P rz y p a d k o w i n ieza leżn o ści y o d i o d p o w iad a 1) p r o s t a reg resji, ró w n o leg ła do osi Ox, czyli n ieza leżn a od x w a rto ść śre d n ia y, o raz 2) n ie zm ienny ro z k ła d w a rto śc i y d o k o ła te j śred n iej; p rz y p a d k o w i zależn o ści fu n k cjo n aln ej — dow olny k s z ta łt linji re g re sji oraz z u p e łn y b ra k d y sp ersji zm iennej y (w szystkie w a rto śc i y d la d anego x są rów ne ś r e d n ie jj; p rz y p a d kow i zale żn o ści sto c h a sty c z n e j — w szy stk ie p rz y p a d k i p o śred n ie.
P ow iedzieliśm y w yżej, iż odpow iedniość je s t tu z logicznego p u n k tu w id zen ia n ie z u p e łn ie d o sk o n ała. W arto za trz y m a ć się, chw ilę n ad tą k w estją, ja k się z d a je m ało lub w cale d o ty ch cz as w lite r a tu rz e sta ty sty c z n e j nie p o ruszaną. P rzed ew szy stk iem sch em at logiczny: n iezależn o ść — zależność sto c h a sty c z n a — zale żn o ść fu n k cjo n aln a p rz e d s ta w ia p e w n ą osobliw ość;
jego sk ra jn e człony z a w ie ra ją p ew ien elem en t w spólny, m ianow icie p rz y p a dek, w k tó ry m zm ienna y m a w arto ść s t a ł ą , n ie z a le ż n ą od w arto ści x.
P rz y p a d e k te n m ożna form alnie uw ażać zarów no za p rz y p a d e k krańcow ej n iezależności, ja k i za je d e n z p rz y p a d k ó w zależn o ści fu n k c jo n a ln e j. K la sy fik a c ja p rz y pom ocy lin ji re g re sji d a je tu te sam e w yniki: lin ja ta je st p r o stą, ró w n o leg łą do osi O x i ro z k ła d je s t n ieza leżn y od w arto ści x — a więc m am y p rz y p a d e k n iezależności; z drugiej z a ś stro n y d y sp e rsja y d o k o ła linji re g re sji je s t ró w n ą zeru, m am y więc szczególny p rz y p a d e k zależn o ści fu n k c jo n a ln e j. W y n ik a stą d , że m ożna w sposób c ią g ły p rz e jść od ro z k ła d u czę
stości, w k tó ry m zm ienna y je st n ieza leżn a od x do dow olnej zależności fu n k c jo n a ln e j, p o m ija ją c stan zależności sto c h a sty c z n e j. W y sta rc z y w d o w olnym tak im ro z k ła d z ie n a jp ie rw zm n iejszać w sposób ciąg ły d y sp e rsję do zera, a p otem w dow olny sposób zm odyfikow ać lin ję re g re sji. T a o so b li
w ość schem atu logicznego z n a jd u je z n a tu ry rzeczy sw e od b icie w zach o w a
n iu się k ażd ej m iary zależności lub w spółzależności. J a k o p ro sty p rz y k ła d m oże p o słu ży ć ro z k ła d , w k tó ry m y p rz y b ie ra d la k ażd eg o * 2 w artości, m ianow icie
y , = a + a f (x) - f ß, y a = o + « / (*) — ß,
z rów nem i częstościam i; f ( x) je st tu d o w o ln ą funkcją (jednoznaczną) x ; dla a o m am y niezależność zupełną, zaś d la ß = o i dow olnie m ałego a — zale żn o ść fu n k cjo n aln ą z linją reg resji y = a + (xj.
P rz y uw zględnieniu pow yższych z a strz e ż e ń sto su n ek k o re la c y jn y P e a r s o n a d a je jed n o zn a czn ą, śc isłą i d o k ła d n ą o dpow iedź n a drugie z p ostaw ionych w yżej p y tań , t. zn. na p y ta n ie o sztyw ności zale żn o ści y od x, a częściow o ta k ż e i na p ierw sze. D ow iedziem y tego d la p rz y p a d k u ro z k ła d u ary tm ety czn eg o (n ie c ią g łe g o ); p rzen iesien ie dow odu, ja k i w szy st
kich ro zw ażań p ó źn iejszy ch , n a p rz y p a d e k ro z k ła d u ciągłego nie n a strę c z a ż adnych sp e c ja ln y c h tru d n o ści.
N iech w ięc b ę d ą (xt, yj) p a ry w arto ści m ożliw ych d la zm iennych e w e n tu a ln y c h x, y , A — liczb a zao b serw o w an y ch par, n,y — liczeb n o ści p oszczególnych par. N ieznacznie m odyfikując o zn aczen ia F r ś c h e t a , połóżm y
S n,y = Mj , S n,y = A ( , A = £ A , = E Af;. ;
r . . j y j ,
° = ilV,y "U Xt - ~ Ń lt N l Xt ’ 6 = AŻy "V y/ = l V y 4 ^ >
V = 7 / ^ nzy — o)2 = N ^ Ni (xi — 0)2 -
°ył n/y (Yy - 2= A y M< {y> ~ 6 )2 '
S = yy ^ ntj(x, — o) (yy — ó );
n a stę p n ie w prow adźm y śre d n ie w arto ści x p rzy u sta lo n e j w arto ści y i na- o dw rót, — k tó re w d alszym ciąg u nazw iem y d la k ró tk o śc i śred n iem i r u- c h o m e m i 1.
° l = W . n U x i ' b<= N * " ‘i y i o raz o dpow iednie o d ch y len ia śre d n ie 2 rodzajów , m ianow icie
’ y ( * |a = ni,. - °y) . °< (y>" = a , rtv <y / -
b <)*m ierzące d y sp e rsję jed n ej ze zm iennych przy u sta lo n e j w a rto ś c i d ru g iej, czyli Y
Sk = a y M/ (o/ “ 0)2 • s / = a ; <6Z -
m ierzące d y sp e rsje śred n ich ruchom ych d o k o ła odpow iednich średnich ogólnych,
« C z u p r o w n a z y w a j e i r e d n i c m i u w a r u n k o w a n e m i { b e d in g te M i t t e l w e r t e ), 1. c . » t r . 30.
O znaczm y w reszcie przez
0 (xp = y t 7 M y ° y ( * ) * = ^ 7
H (y)2 = A ? ^ ° ' (y)8 = "W J nV (yf - 6' )3
śre d n ie o d ch y len ia k ażd ej ze zm iennych od odpow iedniej lin ji reg resji i z a uw ażm y zn an e zw iązki
(1) 0/ = H(x)2 + sx2 , oy = OiyJ* + sy 2
L in ją re g re sji y w zględem x b ęd zie tu ła m an a o w ierzch o łk ach w p u n k tach ( x — x t, y = bt), lin ją reg resji x w zględem y łam an a (x = a y = y . ) . S tosunki k o re la c y jn e w y rażą się w zoram i
> - * ' .
c y
k tó re możem y, w ślad za F r ć c h e t e m , n ap isać w p o staci
a 1
v = jj+ w r = ' ’• v - ij+Wx? =
1 + V 1 + v
Ze w zorów ty ch w idocznem jest, że n a p rz y k ła d sp ó łczy n n ik v]vx jest, p rzy stałem ov, tern w iększy, im w iększa je st d y sp e rsja śred n ich ru chom ych y, i m oże być rów nym z eru w ted y i ty lk o w tedy, gdy d y s p e rs ja ta będ zie ró w n ą zeru, czyli gdy lin ja re g re sji b ęd zie p ro s tą , ró w n o leg łą do osi Ox.
Rów ność — f\yx — o je s t więc w arunkiem koniecznym (ale nie w y
sta rc z a ją c y m ) zu p ełn e j niezależn o ści zm iennej y od x. Z d ru g iej stro n y p rzy stałem oy sp ó łczy n n ik m oże w zrastać ty lk o w ten sposób, że sy p o
w iększa się, zaś <"• y ) m aleje, czyli ty lk o w p rz y p a d k u , w k tó ry m w z ra sta sztyw ność p o w iązan ia y z x-em , i p rz y b ie ra sw ą w a rto ść g ran iczn ą 1 w tedy i ty lk o w tedy, gdy Uf y) - - o, czyli gdy s ta le m am y y;. br t, zn. w p rz y p a d k u zależności fu n k c jo n a ln e j,
In te re su ją c e m je st zachow anie się sp ó łc z y n n ik a k o re la c ji w p r z y p a d ku, o k tó ry m w spom inaliśm y w yżej, gdy y m a w arto ść sta łą , n ieza leżn ą od x. M am y w ted y sy ny = o, czyli rjyx jj .
P rz y p a d e k ten m ożem y je d n a k ż e uw ażać za p rz y p a d e k g raniczny n ie zależności y od x-a ; poniew aż d la niezależn o ści mam y, jak w idzieliśm y w y
żej, t\yX o, p rz e to rów nież i w p rz y p a d k u y const pow inniśm y mieć V) = o. A le z d ru g iej stro n y p rz y p a d e k ten m ożna o trzy m ać rów nież ja ko p rz y p a d e k g ran iczn y zależności fu n k cjo n aln ej (m ianow icie przez w y p ro
sto w an ie lin ji re g re sji), w k tó ry m to p rz y p a d k u m am y zaw sze 8 (y) = o, S y = 3 y . r\yx = 1. W te n sposób osobliw ość naszego sch em atu logicznego z n a jd u je sw o ją o d pow iedniość w dw uw artościow ości sto su n k u k o relacy jn eg o .
P o m ija ją c te n p rz y p a d e k m ożem y stw ierd zić, iż sto su n ek ten rz e c z y w iście pozw ala na d o k ła d n e o d ró żn ien ie zależn o ści sto ch asty cz n ej od z a le ż ności fu n k c jo n a ln e j, i to zu p ełn ie n ieza leżn ie od k s z ta łtu lin ji re g re sji. Co w ięcej, pozw ala on na d o k ła d n ą ocenę sto p n ia sztyw ności zale żn o ści s to c h a sty czn ej. N a jła tw ie j b ęd zie stw ierd zić to, jeżeli w p row adzim y zam iast zm iennych ew en tu aln y ch x, y zm ienne zn o rm alizow ane
ta zam ian a zm iennych sp ro w ad za się geo m etry czn ie do zm iany p o czątk u u k ła d u i zm iany sk a li i je s t m ożliw a zaw sze, o ile ty lk o ?x i av nie są zeram i, co m oże mieć m iejsce ty lk o w w yżej om ów ionym p rz y p a d k u o sobli
wym. O d ró ż n ia ją c p rz y pom ocy k resk i u góry w szy stk ie w ielkości, d o ty czące now ych zm iennych, będziem y m ieli, ja k łatw o spraw dzić,
a = 6 — o i a* = °y = 1 i
1 v 3
• - n * ” </ y> ” 5 ~ ę 6 , - 6
o; W M y )
e / w * 1 o - iy) = i — i
1-1 M
5 (x) = H (y)
e ( y ) = " T ~
8 ( * ) 2 + « * 2 = 8 ( y ) " + sy 2 = 1 ; V = V = 7 y =
V = V = »% = / 1 — <-y*/
Z o sta tn ic h 2 w zorów w idać, że np. Yj yx je s t tern w iększy, im m n ie j
szą je st d y s p e rs ja y d o k o ła lin ji re g re sji, czyli im szty w n iejszą je st z a leżność,
O d ró żn ien ie zależn o ści sto ch asty cz n ej od n iezależn o ści p rzy pom ocy Yjyg p rz e d sta w ia się już gorzej. Ł atw o sp raw d zić, że ^ y x o zaw sze, o ile
lin ja re g re sji je s t p ro stą, ró w n o leg łą do osi 0x (sv = o), n ieza leżn ie od d y s p e rsji y d o k o ła tej linji, a w ięc w aru n ek te n nie w y sta rc z a do stw ie r
dzen ia zu p ełn ej n iezależn o ści y od x. A le p rz y u ję c iu niesy m etry czn em p a m iętać n a le ż y o tern, że stw ierd zen ie zu p ełn ej n ieza leżn o ści sensu stricto w ym aga stw ie rd z e n ia zu p ełn ej id en ty czn o ści w szy stk ich ro z k ła d ó w c z ę sto ści y, o d p o w ia d a ją c y c h o k reślo n y m w artościom x ; id en ty czn o ść ta n ie może być stw ie rd z o n ą w żad n y m w y p a d k u na po d staw ie rów ności ja k ie jś jednej c h a ra k te ry s ty k i liczbow ej ty ch rozkładów , i w y czerp u jąceg o k ry te rju m d la niej szukać n ależ y n a innej d rodze.
M ożna je d n a k ż e ro zszerzy ć nieco p o jęcie n ieza leżn o ści i p o p rz e sta ć n a p rz y k ła d , po stw ierd zen iu p ro sto lin jo w o ści re g re sji i rów noległości jej do osi O x, n a w ym aganiu h o m o s c e d a s t y c z n o ś c i ro z k ła d u , to znaczy n ieza leżn o ści o d c h y le ń śred n ich p rz y u stalo n y ch w arto ściach x, 0/ ( y ) , od i.
J a k o k ry te rju m m ogłoby tu p o słu ży ć zn ik an ie śred n ieg o o d ch y len ia ty ch w y rażeń , czy li w y rażen ia
(4)
V
= N 7 N, — o, W = w(y)a — ’ 0(y)2 -1 V
gdzie o (y) = ^ , Al a; (y) .
Po n iew aż w in te re su ją c y m nas p rz y p a d k u s y = o , H(y) = i ( y ) , m ożem y w aru n ek te n n ap isać w p o staci
(5) V = V — M y ) 1 = ° -
zaś d la zm iennych zno rm alizo w an y ch w p ro stszej jeszcze form ie
i6) aoW = L
Z auw ażm y d a le j, że o / y ) " o w ted y i ty lk o w ted y gdy w szystkie a,(y) są rów ne z e ru (poniew aż są one zaw sze n ieu jem n e), czyli w p rz y p a d k u zależn o ści fu n k c jo n a ln e j; a le w ty m p rz y p a d k u m am y rów nież w ( y ) — 0, a w ięc i ,')v = 0; w aru n ek (5) je s t więc sp ełn io n y w obu p rz y p a d k a c h s k ra jn y c h i n ie m oże g rać żad n ej ro li sam o d zieln ej, lecz ty lk o po
m ocniczą, po u sta le n iu w arto ści f\yX ,
O czyw iście, tak sam o m ożna sform ułow ać pow yższy w aru n ek w z a sto sow aniu do zależn o ści zm iennej x od y.
D zieląc # v p rz e z i y m ożem y o trzy m ać k ry te rju m h o m o sced asty c z
ności w p o sta c i liczby, z a w a rte j pom iędzy ze re m i jed n o ścią:
i p rz y b ie ra ją c e j w a rto ś ć 0 w ted y i ty lk o w tedy, gdy ro z k ła d je s t hom osce- d asty czn y (y) = cons/), zaś w artość 1 — w ted y i tylko w tedy, gdy mamy jed n o c z e śn ie
s y — o , n .(y) = o ,
czyli w owym w y łam u jący m się z ogólnej k la s y fik a c ji p rz y p a d k u , w k tó rym y m a w arto ść sta łą , n ie z a le ż n ą od x. Z auw ażm y d a le j, że
V + s 2 °y2 — =„ (y)2 E y + r f y x = o'2 - = - ^ 1 .
przyczem ró w n o ść ma m iejsce ty lk o w p rzy p ad k u a0 (y) = o, czyli o, (y) = o czyli w p rz y p a d k u zależn o ści funkcjonalnej, W y n ik a stąd , że w ielkość
( 8 ) m y x ~ V * + V = 1 o y -
może słu ży ć za m iarę zależności y od x, nieco lep szą od sam ego sto sunku k o relacy jn eg o ; p rz y b ie ra ona w arto ść 1, tak sam o ja k ów sto su n ek , w ted y i ty lk o w tedy, g dy m am y do czynienia z zależn o ścią fu n k c jo n a ln ą , w arto ść zaś 0 — ty lk o w ów czas, gdy oprócz rów noległości lin ji re g re sji do osi O x sp ełn io n y je s t jeszcze w aru n ek h o m o scedastyczności ro z k ła d u = , t. zn.
w p rz y p a d k u n iezależn o ści w zn aczen iu szerszemu
O czyw iście kw estja p ra k ty czn ej sto so w aln o ści myx w ym agałoby je szcze zb ad an ia; w k ażd y m razie o b liczan ie tej w ielkości w ym aga o w iele w ię k szego n a k ła d u p ra c y rach u n k o w ej, z uw agi na konieczność u p rzed n ieg o o b li
czenia w szy stk ich ( y ) , i to w p ierw szej potędze, a więc m. in. w ie lo k ro t
nego w y ciąg an ia p ierw iastk ó w k w ad rato w y ch .
Ł atw iejszem do obliczenia k ry te rju m hom oscedastyczności m ogłaby być w ielkość
1
/V ^ (y) — Afy)
nie d a je się ona je d n a k ż e skom binow ać w ta k łatw y sposób z vlyx i mo
głaby być stosow aną ty lk o jak o m iara pom ocnicza; n ato m iast w y rażenie
(9) | V ~ N N 1
I 12
3, (y) — a
y
m oże słu ży ć jak o j e d n o c z e s n e k ry te rju m h o m o scedastyczności i ró w n o leg ło ści lin ji re g re sji do osi Ox, gdyż znika ono w ted y i ty lk o w tedy, gdy w szystkie n( (y) są różne oy, czyli gdy m am y jed n o cz eśn ie o,, (y) — const, a w ięc fl-y = 0 oraz ty = 0 (w o b ec M(y) = 3y ), Na tej w łasności w y ra ż e n ia |J.y 4 o p a r
się Fre chet w ostatniej sw ej p ra c y o sp ó łczy n n ik ach zależności funkcjonalnej, p ro p o n u jąc jako m iarę zależn o ści y od x w ielkość
1,01
y xczyli
(10a) gdzie
N ° y — ( y )
+
= v 2 — =< ( y )V
2 —
W f + %
j i / i V + ' V i / y ,+ y
^ y % I / Fv’ + V r V + 1
T a k sam o jak p o p rz e d n io ła tw o jest sp raw d zić, że w p rz y p a d k u zależn o ści funkcjonalnej (i ty lk o w ów czas), mam y, w obec 3llyj o, f xy — - , — 1 o raz y] |yx= 1, czyli J y;r = 1, zaś w p rz y p a d k u n iezależn o ści w znaczeniu szerszem (i tylko w ów czas) m am y p. = ipy = -r\yx = o, czyli J yx = o. S pó łczy n n ik J yx nie w y m aga do swego o b liczen ia w yciągania p ierw iastk ó w k w ad rato w y ch , ale zato w p ro w ad za do rozw ażania m om enty 4-go rzędu.
W p rzeciw ień stw ie do sto su n k u k o re la c y jn e g o s p ó ł c z y n n i k r e g r e s j i y w zględem x lub n ao d w ró t, m ianow icie
S * - ~a 7 '
zaś d la zm iennych zn orm alizow anych
C = o 2
xy y
C ,IV = c , „ =
y* *ynie je st ż a d n ą m ia rą zależności w p rz y ję ty m p rzez nas sensie, gdyż nie o d z w iercied la z u p e łn ie sto p n ia d y s p e rsji zm iennej d o k o ła o d pow iedniej lin ji reg resji. T y lk o Cy x 0 jest, ta k sam o zresztą jak t)yx = 0, w a ru n k iem koniecznym , ale nie w y sta rc z a ją c y m niezależn o ści y od x. W e w szy stk ich innych p rz y p a d k a c h nie m ożna ze znajom ości sam ego ty lk o sp ó ł- czy n n ik a re g re sji w yw nioskow ać nic poza jego p ie rw o tn ą in te rp re ta c ją jak o sp ó łc z y n n ik a kierunkow ego p ro s te j, m in im alizu jącej sum ę k w a d ra tó w o d chyleń, m ierzonych w k ie ru n k u osi Oy . W tym sensie p ro s ta re g re sji
(11) y — b = Cyx (x *— a)
jest p ew n cm przy b liżen iem rz e c z y w iste j linji reg resji i m oże w o b ec tego służyć d o d rugiego zad a n ia teo rji k o relacji, m ian o w icie do sza c o w a n ia p rz e w id y w an y ch w a rto śc i y przy u sta lo n e j w a rto śc i x.
W idzim y w ięc, że sp ó łczy n n ik reg resji i sto su n e k k o re la c y jn y jak - gdyby w zajem nie się u z u p e łn ia ją . Z ależnie od tego, k tó r e z z a d a ń te o rji k o re la c ji w ysuw am y na p lan pierw szy, m ożem y to sfo rm u ło w ać d w o jak o : 1) s to su n e k k o re la c y jn y o k re ś la szty w n o ść zale żn o ści y od x, n ieza leżn ie od form y tej zależn o ści (co je st oczyw iście jego zale tą), ale te ż nie dając żad n y c h w sk azań co do jej p rzeb ieg u , sp ó łczy n n ik re g re sji zaś d a je p rz y b liżoną inform ację co do teg o p rzeb ieg u w p o sta c i śred n ieg o p rz y ro stu y p rzy p o w ięk szen iu x -a o p rz y ję tą je d n o s tk ę m iary ; 2) sp ó łczy n n ik reg resji p o zw ala o szaco w ać śre d n ią w a rto ś ć y, o d p o w ia d a ją c ą d an ej w a rto ś c i x , nie d a ją c żad n y ch p o d sta w do o ceny szty w n o ści zw iązk u , t. zn. d y sp e rsji y d o k o ła tej śred n iej, zaś s to su n e k k o re la c y jn y p o zw ala ocenić ś re d n ią w arto ść tej d y sp ersji, m ierząc szty w n o ść zale żn o ści y od x . W sz y stk o to n a tu ra ln ie w p rz y p a d k u , gdy z aró w n o f\yx ja k i Cvx są o dm ienne od zera, a w id zie
liśm y, iż musi to zachodzić jed n o cześn ie.
A le n a w e t ró w n o c z e sn e ro z p a try w a n ie obu ty c h m iar nie w y czerp u je z a g a d n ie n ia , lub raczej w y czerp u je je w jednym ty lk o p rz y p a d k u , m ia n o w icie gdy rz e c z y w is ta lin ja re g re sji je st p ro s tą ; m usi ona być w ów czas id e n ty c z n ą z p ro s tą reg resji, o k reślo n ą przez w zór (10). W p rz y p a d k u ogólnym p o w sta je n a tu ra ln e p y ta n ie oceny d o k ład n o ści, z ja k ą p ro s ta reg resji p rz e d sta w ia linję regresji, a jed n o cześn ie — d o k ła d n o śc i sz a c u n k u śred n ich r u ch om ych przy pom ocy w zoru (11). Przy obliczan iu zaś sto su n k u k o re la c y j
nego p o w sta je w ta k i sam sposób u z u p e łn ia ją c e p y ta n ie , d o ty c z ą c e k s z t a ł t u linji reg resji, ch o cia żb y w p o sta c i n ajb ard ziej p ry m ity w n ej — s to p n ia o d c h y len ia tej linji od linji p ro stej.
N a p y ta n ie to d a je o d p o w ied z t. zw. k r y t e r j u m p r o s t o l i n i j n o ś c i r e g r e s j i ( t e s t of lin ea rity) \ o k reślo n e jako śre d n ia k w a d ra tó w o d ch y leń linji reg resji od p ro ste j reg resji, m ierzo n y ch w k ie ru n k u osi Oy — , p o d zielo n a p rz e z k w a d ra t śred n ieg o o d ch y len ia o * .
(12) 3 / = J - i S t y I&, — b — Cyx (x , — n ))- albo, oznaczając p rzez
ß, :■■= b Cyx (x t - a)
rz ę d n e p ro ste j reg resji, o d p o w ia d a ją c e o k reślo n y m w arto ścio m x, t. zn. ś r e dnic ruchom e, szaco w an e przy pom ocy p ro stej reg resji, zaś przez
3, = bt — ß, o d ch y len ia śre d n ic h ru ch o m y ch od ty ch rzęd n y ch ,
(12a) = / y y S ty
1 C z u p r o w , 1. c . , a t r . 55 , 93; I I . L . R i c t z , 1. c . , s t r . 131.
