DER STAHLBAU
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S c h r i f t l e i t u n g :
®r.=3ng. A. H e r t w l g , G eh . Regierungsrat, Professor an der Technischen H och sch u le Berlin, B erlin-C harlottenburg 2, T echnische H ochschule Fernsprecher: C I Steinplatz 0011
Professor W. R e i n , Breslau, T echnische H och schule. — Fernsprecher: Breslau 421 61
B e i l a g e T A I H T ü A T T I T NT T
Fachschrift für das ge-z u r Z e i t s c h r i f t | ) I P , D / A l J x D A y I I 1 \ I l \
sam te B auin gen ieurw esen P reis d es Jahrganges 10 RM und P o stg eld6. Jahrgang BERLIN, 17. Februar 1933 Heft 4
T h e o r ie und Statik p la s tis c h e r T r ä g e r d e s S ta h lb a u e s.
Von K. E is e n m a n n , B raunschw eig.
ln neuerer Zeit mehren sich die A r b e iten '), die der Erkenntnis Rech
nung tragen, daß Baustoffe, w ie Stahl, die b ei ein er bestim m ten Streck- spannung plastisch w erden, in statisch un bestim m ten S ystem en eine größere Sicherh eit b ieten als in statisch b estim m ten . D ie N eu h eit des G egen stan d es bringt es mit sich, daß in ein igen w ich tigen Punkten die M einungen noch auseinan dergehen; im fo lg en d en so llen daher ein ige g ru n d legen d e U ntersuchungen über die B erechnung solcher Träger an
g e ste llt w erden, bei denen die Streckspannung erreicht wird, so daß sich Fließbereich e ausbilden können.
1. A llg e m e in e A n n a h m en .
Bei der B iegu ngsberech nu ng voilw an d iger Träger ist ein e der Grund
annahm en d ie von B e r n o u l l i zuerst au fg e stellte H yp oth ese, nach der eb e n e Q uerschnitte auch nach der B iegu ng eb en b leib en so llen . Nach den bish er vorliegen d en ex p erim en tellen U ntersuchungen kann diese H y p o th ese auch für elastisch -plastische und rein plastische Q uerschnitte aufrechterhalten w erden.
Natürlich trifft das H o o k e s c h e G esetz der Proportionalität zw ischen D ehn un gen und Spannungen bis zur Streckspannung nicht mehr zu, sondern ein v iel kom plizierteres. D ennoch wird d ie verein fach en de A n
nahm e g em ach t, daß das H o o k e s c h e G esetz bis zur F ließ gren ze un
eingeschränkt gilt, daß unm ittelbar darauf F ließen eintritt, so daß trotz Steigeru n g der D eh n u n g d ie Streckspannung konstant bleib t; das Spann un gs
diagramm über ein en Q uerschnitt der F ließ zon e zerfällt daher in ein Diagramm über den elastisch en Kern, für den das H o o k e s c h e G esetz und lin eare Spannun gsverteilung b esteh en , und in die plastischen Rand
flächen, d ie die konstante Streckspannung as haben.
B ezü glich der B ieg elin ie soll angenom m en w erd en , daß sie ent
sp rechend der A nnahm e b ei rein elastisch en Q uerschnitten nur von den H auptspannungen a, d agegen nicht von den Schubspannungen t abhängt.
U nter d iesen V oraussetzu ngen ist das 'g ru n d legen de G esetz zu b e w eisen , daß die B ieg elin ie ein es B alkens, der an b e lieb ig en S tellen F ließ bereiche b esitzen m öge, nur von der V erb iegu n g se in e s elastisch en Kerns abhängt. Zum B ew eise betrachten wir ein en einfachen Balken auf zw ei S tü tz e n , der irgend w ie durch äußere Lasten beansprucht w erd e und dessen innere Spannungen die Streckspannung zunächst ln keinem Punkte erreichen. Um d ie B ieg elin ie d ie se s B alkens zu untersuchen, schn eiden wir aus dem ursprünglichen Balken ein en T eilbalken so heraus, daß die Schw erlinien d es ursprünglichen und d es T eilbalkens zu sam m en fallen ;
*) M a i e r - L e i b n i t z , Bautechn. 1928, H eft 1 u. 2; 1929, H eft 20. — J. F r i t s c h e , Bauing. 1930, S. 851, 873, 888. — H o h e n e m s e r , Ingenieur- Archiv 1931, 4. H eft, S. 472. — F. K a n n , Der M om en tenau sgleich durch
laufender T raggeb ilde im Stahlbau. Berlin 1932. — F. K a n n , R echne
rische U ntersuchungen über die Größe d es F ließ bereich es in stählernen D urchlaufbalken unter B erücksichtigung d es M om en tenau sgleich s. Stahl
bau 1932, H eft 14. — O. K n a c k s t e d t , D o k tor-D iss., Braunschw eig 1932.
führen wir in dieser W eise z w ei horizontale Längsschnitte parallel zur unteren und oberen O berfläche, so sch n eid en wir als T eilbalken ein en Kern heraus, der durch d ie oberen und unteren Schnittflächen F0' und Fa' begren zt wird (Abb. 1). D ieser Kern wird dann nicht m ehr durch äußere Lasten, sondern nur durch d ie in den Schnittflächen F0' und Fu' herrschenden Spannungen <t0' und er,/ beansprucht. Da der Kern d ieselb e Sch w erlin ie w ie der ursprüngliche Balken b esitzt, so m üssen die B icge- lln len der b eid en Balken ü b erein stim m en . Nach dem M o h r sc h e n Satz findet man die B ieg elin ie d es ursprünglichen B alkens als S e illin ie, w enn man b ei g e eig n e ter W ahl d es P olabstandes den Balken m it der redu
zierten M om entenfläche A 4// b elastet, worin A4 und J B iege- und Träg
heitsm om en te d es G esam tquerschnitts im A bstande x vom A uflager A d n a u b ezeich n en . Nach ob en steh en d en V oraussetzungen b esteh t: — = , ,
e u e u
du M dii A4' A4 A4'
worin -— Es ist ferner: — — = , so daß folgt: , == - •
e„ J e u J J J
D ie N u tzan w en d u n g für den M o h r s c h e n S alz ist fo lg en d e: Man findet d ie B ieg elin ie ein es B alkens als S e illin ie nicht nur zur B elastung mit der reduzierten M om entenfläche d es g esa m ten Q uerschnitts M /J, sondern auch eb e n so g u t zur B elastung mit der reduzierten M om en tenfläche M '/J ', worin A4' und J ' die auf ein en ach sen gleichen , so n st b e lieb ig en Kern en tfallen d en B iege- und T rägheitsm om en te b ed eu ten . Wir können diesen Satz auf jed en b e lieb ig en Balken, z. B. auf den durchgehenden Balken auf drei Stü tzen an w en d en , und auch dann, w enn T eile d es B alkens den plastischen Zustand ann eh m en . N ehm en w ir an, daß über der M ittel
stü tze B sich ein e F ließ zon e a u sgeb ild ct hat, so können wir auch jetzt zw ei Längsschnitte an U nter- und O berseite d es B alkens derart führen, daß sie ein en elastisch en Kern sehr dicht parallel der B egren zu n g des v o lle n e lastisch en Kerns h eraussch neid en . W ie oben folgt, daß man auch hier für d iesen elastisch en Kern den M o h r sc h e n Satz anw enden kann, w enn man als reduzierte M om entenfläche M ejJ e also B ieg e- und T rägheitsm om en te des elastischen Kerns verw en d et. Für d ie T eile d e s B alkens, für d ie k ein e F ließzone b esteh t, fallen d ie reduzierten M om en ten- fläch en des G esam tbalkens und d es elastisch en Kerns zusam m en, für die F ließ zon en jedoch nicht.
Es mag darauf h in g e w ie se n w erd en , daß H o h e n e m s e r und K n a c k s t e d t entsprechend o b en steh en d en A usführungen verfahren sind; dagegen hat Herr K a n n in sein en V erö ffen tlich u n g en 1) als reduzierte M om enten-
Af A4
fläche , - = y- eingeführt, w o A4 das g e sa m te äußere M om en t und
J e n J
J e = « J das T rägheitsm om ent nur d es elastisch en Kerns b ed eu ten . Herr K a n n vern ach lässigt som it u n b erech tigterw eise den sehr b ed eu ten d en Einfluß d es M om en tes d es plastischen B ereichs. Der K a n n sehe M om en ten a u sgleich ist daher in den G rundlagen verfehlt und unrichtig.
2. D ie G le ic h g e w ic h t s b e d in g u n g e n .
Im fo lg en d en soll w eiter untersucht w erd en, w as d ie G leich g ew ich ts
b ed in gu n gen für Schnitte durch d ie F ließ zon e ein es B alkens b esagen . Wir untersuchen bei ein em b e lie b ig e n Balken ein en Querschnitt mit elastisch em Kern und plastischen R andbereichen. Bei senkrechter B e
lastu n g d es Balkens ergibt d ie B ed in gu n g, daß d ie Su m m e der H orizontal
kom ponenten der inneren Kräfte versch w in d en muß, d ie G leich u n g f a d F = * 0, w o die Integration üb er die elastisch en und plastischen T eile d es Q uerschnitts auszuführen ist. W enn ds die Streckspannung, F und Fa d ie ob ere und untere p lastisch e Q uerschnittsfläche, Fe die elastisch e Kernfläche b ed eu ten (Abb. 2), erhalten wir die G leich ung:
(1) - d s F0 + ds Fu + j a ' d F e = 0.
2 6 E i s e n m a n n , Theorie und Statik plastischer Träger des Stahlbaues
DER STAHLBAU
B eilag e z u r Z e its c h rift »D ie B alltechnik*
Im folgen d en nenn en w ir ein en Q uerschnitt m it vertikaler und hori
zontaler Sym m etrieachse sym m etrisch, d agegen ein Profil m it nur verti
kaler S ym m etrieach se un sym m etrisch. Setzen wir zunächst b elieb ig e unsym m etrische Profile voraus, so dürfen wir nicht anneh m en , d a ß in d e r F l i e ß z o n e d i e N u l l i n l e , a l s o d i e n e u t r a l e F a s e r d e s e l a s t i s c h e n K e r n s , m it d e r S c h w e r l i n i e d e s Q e s a m t b a l k e n s z u s a m m e n f ä l l t . Sind y die a llg em ein en und e m it dem absoluten W erte e die Begrenzungskoordinaten d es elastisch en Kerns von der
Sclnverlinlc an gerech n et, und y ' und e' («') die entsp rech en den Koordi
naten von der N u liinie aus, und ist v der Abstand von N u llin ie und Sch w erlin ie, so b esteh en die B ezieh u n gen :
(2) y — y + v , e' = e + v und für die absolu ten W erte:
(2 a) (2 b) e' — ru + v , s' — t Q — v ,
w o eu und sg d ie unteren und oberen absolu ten W erte der B egrenzun gs
koordinaten d es elastisch en Kerns bezeich n en . Beim unsym m etrischen Q uerschnitt muß die vom Schw erpunkt w eiter entfernte Faser zuerst plastisch w erden, während die and erseitig g e le g e n e noch elastisch b leib en kann. Benutzen w ir die absoluten W erte so erhalten wir d ie G leich ung:
(3) y y = ^ -*
und ein g esetzt ln die Gl. 1 b ei Fortfall d es g em ein sa m en Faktors ds :
(4) f y ' d F e = e ( F 0 - F u).
B ezeichn en wir ferner m it S 0 — |J y d F0j und S u = \f y d Fuj die absolu ten W erte der statischen M om en te der oberen und unteren plastischen Q uerschnittsflächen b ezo g en auf d ie Schw erachse d es G esam t
balken s, so erhalten wir un iversell nach dem Schw erpunktsatz:
(5) f y d Fe — S a — S u.
Nach Gl. 4 ergibt sich unter B erücksichtigung der Gl. 2 a und 5:
f ( y + v ) d F e = ( e u + v ) ( F 0 - F a),
v [F e + F u ~ F o ) = S u — * u F u — ( 5 o - eo F o ) ~ ( * o ~ F 0 - Da hierin e . — e „ — 1 v und ferner:
so wird:
(6) v--
rjn 1 u*F
[ h u F u — h 0 F o )f [ { S u - ‘* F» ) - { S 0 - ‘ o F o ) \ = J i '
H ierin b ed eu ten i]a und ¡¡a d ie A bstände der Schw erpunkte der plastischen F läch en teile von der oberen bzw . unteren B egrenzun g d es elastisch en Kerns. D e r A b s t a n d v d e r n e u t r a l e n F a s e r u n d S c h w e r l i n i e w ä c h s t m it d e r D i f f e r e n z d e r s t a t i s c h e n M o m e n t e d e r p l a s t i s c h e n E l ä c h e n t e i l e b e z o g e n a u f d i e z u g e h ö r i g e n K e r n b e g r e n z u n g e n .
Für sym m etrisch e Q uerschnitte wird v u Fu = V 0 Fo ’ der Abstand v v ersch w in d et nur für sym m etrisch e Q uerschnitte; für d iese fallen Schw er
lin ie und neutrale Faser zusam m en.
Da nach den G leich gew ich tsb ed in gu n gen äuß eres und Inneres M om ent für ein en Punkt x der Balkenachse g leich w erd en, so wird:
M = f y ' a d F — ds f y ' d F u — ds f y ' d Fg + f y ' d' d Fe , und m it Berücksichtigung von Gl. 3:
M = <fs f y ' d Fu ds f y ’ d F0 + "j- f y * d Fe = ds (S'u + S'0 + W'e ).
Nach den T ransform ationsgleichungen 2 erhalten wir dann:
Af 1
— = f y d F a + v F l i - f y d F 0 - V F0 + j r ( f y r d F e + v * F e)
oder, da W f = - V (f y2 d Fe + v 2 Ff) das W iderstandsm om ent d es ela
stisch en Kerns b ezo g en auf die N u llin ie b ed eu tet:
(7) M
= s ll + s 0 + v { F a - F 0) + w ; .
A us dieser G leichung ersieh t man, daß das g esam te M om ent aufgeteilt w erden kann in ein en plastischen und ein en elastisch en A n teil:
(8)
f M = M p + M e M , W f ,
= «s [Sa + S 0 + v { F u - F 0
= / [J e + ^ F e \
a . 0 versch w inden und nach dem Schw erpunktsatz S u ,
= S b esteh en muß, so wird nach Gl. 6: v — 0.
p m ax
Für ein Rechteckprofil erhalten wir
; 2 <*s S .
M,p m ax Für I 25
Gl. 6, 7, 8 g eb en Antwort auf ein e R eihe von Fragen; zunächst w o llen w ir das M om ent M pmsx für den Grenzfall erm itteln, daß die gan ze Q uerschnittsfläche rein plastisch g ew ord en ist. Für diesen G renzfall ver
schw in det das W iderstandsm om ent d es elastisch en Kerns WJ — 0 mit diesem ; denn unm ittelbar vor V ersch w ind en d es Kerns kann man d iesen als ein Rechteck von der H öhe 2 e' und der Breite b' auffassen. Da ferner e„ und
= S0
...
F ü r g a n z b e l i e b i g e Q u e r s c h n i t t e e r h a l t e n w ir d i e s e h r e i n f a c h e G l e i c h u n g :
(9) M p
b h2 4 •
wird (s. M. F o e r s t e r , Bd. 1, S. 680) M p = ds • 462. D ie B estim m ung von Afpmnx zur Erm ittlung der Bruchlast und der Bruchsicherheit maß
g eb en d , w ie später g e z e ig t wird.
Für sym m etrische Profile erhalten wir das G esam tm om ent nach G l. 7, da S u = S 0 :
(7 a) M = ds ( 2 S U + W e).
Nach Gl. 6 u. 7 können andere Größen d es F ließbereich s leicht b e rechnet w erden. S oll z. B. d ie Länge der F ließ zon e x ' über ein em A uf
lager b estim m t w e rd en , so sind in G l. 7 die Größen S u — S 0 = 0, F n = F0 = 0, W f = We e in zu setzen ; man erhält dann:
(10) M ' = d$ W — M .
A us dieser G leich ung kann m an, da M ' ein e Funktion von x ' Ist, die Länge der F ließ zo n e berechnen, w as erstm alig von Herrn K n a c k s t e d t für sym m etrische Profile durchgeführt w orden ist. Für unsym m etrische Profile b esteh en an der oberen und unteren Faser v ersch ied en e Längen der F ließ zon en ; nach G l. 10 b erech n et man die Länge der größeren F ließ zo n e. Ist die obere F ließ z o n e klein er, so sind zu ihrer B erechnung in Gl. 7 die mit dem Index o g ek e n n zeich n eten Größen zu streichen; man erhält für d ie B erechnung der k leineren F ließzone die G leichung:
(11) M " = ds (S u + v F u) + a s W f ^ M .
Schwerachse
Ü
Abb. 3.
Am einfachsten erhält man d ie Größen der F ließ zon en grap h isch , w enn man d ie M om en teniinie von einer horizontalen N u llin ie aus aufträgt und im A bstand e M ' bzw . M "
ein e P arallele zur N u ll
lin ie zieh t; der Schn itt
punkt der P arallelen m it der M om en teniinie ergibt sofort die F ließ län ge (Ab
bild. 3) vom A uflager an gerech net.
Man erhält w eiter d ie B egrenzungskurven der F ließb ereich e g e g en die elastisch en . D enn man erkennt, daß d ie rechte S e ite der Gl. 7 ein e reine Funktion der B egrenzungsordinate e d es F ließbereich s Ist, während d ie lin ke S eite M /d $ ein e reine Funktion der zugeh örigen A b szisse x ' ist.
Wird z. B. ein Freiträger von rechteckigem Q uerschnitt in der E ntfernung l von der Einspannung mit der E inzellast P belastet, so erhält man nach Gl- 7: — P ( l — x') = ds b -e- - j , woraus fo lg t: e2 = h? + • y
3 P x ’
— - — Di e B egrenzun gsku rve des F ließbereich s ist dem nach ein e Parabel. Wird ein einfacher Balken von Rechteckprofil mit E inzellasten b elastet, so ist d ie B egrenzun g eb enfalls e in e Parabel.
Es so ll schließlich noch der Verlauf der neutralen Faser in der F ließ z o n e untersucht w erden, indem der A bstand v der neutralen Faser von der Schw erlin ie nach G l. 6 bestim m t wird. Für sym m etrische Q uerschnitte wird stets v = 0, d ie neutrale Faser lieg t in der Schw erachse des B alkens.
Betrachten wir jetzt ein en unsym m etrischen Q uerschnitt (Abb. 3), b ei dem die g e zo g e n e n Fasern zuerst plastisch w erd en , so berechnen wir v nach Gl. 6. Für die rein elastisch en Q uerschnitte fällt die neutrale Faser w e g en v — 0 in die Schw erachse. Erst an dem Q uerschnitt, der durch den A nfang der größeren F ließ zon e g e le g t wird, b egin n t v zu w achsen.
S o w eit noch kein oberer Fließbereich b esteht, wird:
(12) eu Fu hu
J a h rg a n g 6 H e ft 4
17. F e b ru a r 1933 E i s e n m a n n , Theorie und Statik plastischer Träger d e s Stahlbaues 2 7
Da v ein e p ositive Größe ist, so w eicht die neutrale Faser von der Schw erlin ie nach ob en ab, als ob sie vom Fließbereich e ab gestoß en würde.
Der Abstand der neutralen Faser w ächst dem nach m it dem statischen M om ent d es unteren plastischen B ereichs, bis auch an der oberen Faser das F ließbereich beginnt. Dann nähert sich d ie neutrale Faser w ieder der Schw erach se und erreicht d iese s te ts, w enn der Q uerschnitt rein plastisch gew ord en ist. Der M axim alw ert von v lieg t an dem Beginn der kleineren F ließzon e. D ie vier unbekannten W erte y 0, iiu, v , e berechnet man nach G l. 5 , 6, 7 und der vierten G leich ung:
h = 2 e + 2 j]n + 2 >ig , oder auch /¡ = 2«' + rju + ilu’ + t1(J + tj0'.
3 . F lie ß g e le n k e ; s ta tis c h b e s tim m t un d s t a t is c h m e h r fa c h z u s a m m e n h ä n g e n d e S y s t e m e .
An den höchstbeanspruchten S te lle n ein es Baikens, z. B. über dem M itteliager ein es durchlaufenden Trägers, bilden sich bei g en ü g en d großer B elastung F ließ b ereich e aus. Der in d iesem F ließbereich am höchsten beanspruchte Q uerschnitt g e h t schließ lich in den rein plastischen Zustand über und kann dann als H öchstbetrag ein M om ent aufn eh m en , d essen Wert M p mox = 2 d s S nur vom gew äh lten Profil abhängt. B ei w eiterem A nw achsen der B elastung kann dieser Q uerschnitt e in e w eitere V ergrößerung d es M om en tes nicht mehr aufn ehm en ; sein Schw erpunkt, der w ie b ew iesen stets m it der neutralen Faser zusam m enfallen muß, wirkt daher statisch genau w ie ein G elen k — wir nennen es F ließ g e le n k — , das durch das plastische M om ent M p nl0X, das als äußeres am elastisch en Kern w irkend aufgefaßt w erd en kann, verspannt ist. Wir w o llen zunächst d ie B ieg e
lin ie im F ließ gelen k untersuchen und w äh len ein F ließ g elen k über der M ittelstütze ein es durchlaufenden Trägers. A ls D ifferentialgleichu ng der B leg eiin ie erhalten wir q — E - - P - ■ M achen wir für den versch w inden
den elastisch en Kern im F ließ g elen k ein en G renzübergang, so können wir für jed es b elie b ig e Profil den Q uerschnitt d ie se s Kerns als ein Recht
eck von der B reite b' und der H öhe 2 e auffassen; wir erhalten dann:
P = « ' - - y -
ß
W enn also e versch w in det, so muß auch der K rüm m ungshalb m esser n versch w inden; die B ieg elin ie hat im F ließ g elen k ein e ver
sch w in d en d e Krümmung.
W ill man die Bruchlast ein es b e lieb ig en statischen S y stem s bestim m en , so kann man die B elastung so la n g e steigern, bis an einer gefährdeten S te lle der Bruch eintritt. Um für d ie B elastung ste ts nur ein e ein zig e V ariable zu erhalten, w o llen wir annehm en, daß bei m ehreren Lasten Pi> P*> P s das A nw achsen verh ältn lsglclch g esch eh e, so daß:
(13) a 4 P 4 + a2 P2 + a 3 P 3 = p i -f- a2 p 2 + a 3 p 3) P = p P = Ai0 g e se tz t w erd en darf, worin p v p.2, p 3, p K onstanten, und P die ein zige Variable bedeuten.
Su ch en wir zunächst d ie Bruchlast ein es statisch bestim m ten S ystem s, so wird b e i w achsen der B elastung an der S te lle d es größten positiven oder n egativen äußeren M om en tes ein F ließ g e le n k auftreten, wodurch das System b ew eglich wird und zusam m enbricht. D ie Bruchlast erhält man aus der G leich ung: M 0 — 2 d s S , P b p 0 = “2<ts S . Für ein en einfachen Balken aus St 37 von 10 m Länge, der in der M itte durch ein e E inzeliast b elastet wird, erhalten wir b ei Annahm e e in es 1 2 0 : P b • ~ = 250 • 2400, P b = 2400 kg und für ein en Freiträger, der in 10 m Abstand von der Ein
spannung durch ein e E inzellast P beansprucht wird: P b • 1000 = 250 • 2400, P b = 600 kg.
_____ l, '
A bb. 4.
Um die Bruchlast ein es statisch un bestim m ten S y stem s zu berechnen, m üssen wir ein en n eu en G rundbegriff einführen. Wir unterscheiden e i n f a c h o d e r s t a t i s c h b e s t i m m t z u s a m m e n h ä n g e n d e S y s t e m e u n d S y s t e m e , d i e z w e i f a c h , d r e i f a c h , r r -fa c h Z u s a m m e n h ä n g e n , j e n a c h d e m d u r c h E i n s c h a l t e n v o n e i n e m , z w e i , d r e i o d e r n G e l e n k e n o d e r a n d e r e n e n t s p r e c h e n d e n V o r r i c h t u n g e n e in b e w e g l i c h e s S y s t e m a b g e t r e n n t w e r d e n k a n n . In dem Balken auf fünf Stü tzen der Abb. 4 ist das erste F eld li einfach oder statisch bestim m t zusam m enh ängend m it dem G esam lb alk en , denn durch Ein
schalten e in es G elen k es innerhalb der F eld w eite wird der lin k e B alkenteil b ew eg lich . D ie F eld er / , und l4 sind zw eifach zu sam m enh ängend , das F eld I3 dreifach. Ein b eid erseitig ein gespann ter gerader Balken ist dreifach zusam m enh ängend, da er durch Einschalten dreier G elen k e ein e unendlich k lein e B ew eg lich k eit erhält. Ein b eid erseitig eingespann ter geb o g en er Balken ist d agegen vierfach statisch zu sam m enh ängend , da er erst durch Einschalten von vier G elen k en ein e jetzt en dlich e B ew eg lich k eit erhält.
Der g e w ö lb te Balken kann daher unter U m ständen als System von größerer Sicherh eit a n g eseh en w erd en als der gerade Balken sonst g leich er A n
ordnung. Um die Bruchlast zu berechnen, hat man Ort und Zahl der
F lie ß g elen k e zu erm itteln, d ie das S ystem b ew eg lich m achen; d a g eg en ist es g leic h g ü ltig , in w elch er zeitlich en R eih en folge d iese F ließ g elen k e auftreten. D ie F ließ g elen k e sind stets verspannt durch die m axim alen plastischen M om en te M p mox = 2 S , die nur von der Wahl des Profils abhängen. Es m ag darauf h in g ew iesen w erd en , daß die Lage der F ließ g e le n k e durch d ie Wahl versch iedener Profilquerschnitte bei einem System beeinflußt wird, ja, daß es hierdurch erm öglicht wird, S o llstellen im Balken vorzuschreiben, an den en d ie F ließ g elen k e auftreten so llen . Um ein e in faches B eispiel anzuführen, betrachten w ir den b e id erseits ein gespannten Balken von g leich em Profil in der M itte b ela stet durch e in e E inzellast.
D ie Bruchlast erhält man aus der G leich un g: M == M p m n , worin M
1 16 </r S
M p mox, so ^aß P b — 1--- D ie Bruchlast ist dem nach : / V t -
dop pelt so groß w ie die beim einfachen Balken.
4. S ic h e r h e it g e g e n F lie ß e n und B ruch.
W ill man ein b e lie b ig e s statisch es S ystem d im ension ieren, so wird gefordert, daß d ie Bauglieder ein v o rgesch rieb en es Maß von Sicherheit b esitzen , und zwar für Stahl ein e etw a 1 ,7 1 -fach e Sicherh eit g e g e n das Auftreten der Fließsp ann ung ds. D ie voliw an d igen Balken dim ensioniert man nach der G leich u n g: M = azui W, w o b ei as = n s <rzul g e se tz t wird.
Da d iese Formel nur für v ollk om m en ela stisch e Q uerschnitte g ü ltig bleibt, ihre G eltu n g d agegen verliert, sob ald der Q uerschnitt an irgend einer S telle plastisch wird, so kann allerdings d ie Sicherh eit g eg en Bruch hier
durch nicht berechn et w erd en . D ie se b ish erige Art der D im ensionieru ng hat den N achteil, daß sie d ie groß e Sicherheit, d ie in der M öglichkeit d e s Auftretens von F ließ g elen k en b esteh t, überhaupt nicht berücksichtigt, so daß im B esond eren die m ehrfach zu sam m enh än gend en , also statisch un bestim m ten S y stem e b en ach teiligt w erd en . M a n k ö n n t e w e i t w i r t s c h a f t l i c h e r d i m e n s i o n i e r e n , w e n n m a n a u ß e r d e m e l a s t i s c h e n a u c h d a s p l a s t i s c h e V e r h a l t e n d e s B a u s t o f f e s fü r d i e S i c h e r h e i t h e r a n z ö g e , w e n n m a n a l s o s o w o h l d i e F l i e ß s i c h e r h e i t a l s a u c h d i e B r u c h s i c h e r h e i t u n t e r s u c h e n w ü r d e .
Wir haben erörtert, daß der Bruch eintritt nach A uftreten einer gen ü g en d großen Zahl von F ließ g elen k en , wodurch das System b ew eg lich g e w o r d en ist. Wir errechnen hiernach die Bruchsicherheit nach der M e
th od e der F lie ß g e len k e und untersuchen zunächst für statisch b estim m te S y stem e d ie Fließsicherh eit n s und die Bruchsicherheit n b. Nach der üblichen elastisch en M eth ode erhalten wir: Ai„ ■ W, und für d e n selb en Q uerschnitt nach der M eth od e der F ließ g ele n k e (Gl. 9):
(14) Af0 = 2 . -
■S.
Für statisch b estim m te S y stem e wird daher stets das V erhältnis der Sicher
h eiten g e g en Bruch und g e g en F ließ en:
(15) = 2
S
w '
Berücksichtigt man ferner, daß J /S — s den Abstand der Zug- und Druck
m ittelpunkte b ed eu tet, so wird:
(15a) — = ...
rtj s
und für sym m etrische Profile:
(15 b) = A .
Für I -P r o file z. B. ist h / s = 1,17 ein e nahezu konstante Zahl; setzt man n s = l , 7 l , so erhält man n b — 1. In statisch bestim m t zusam m en h ängen den System en haben dem nach die I -P r o file nach den heu te g elten d en Vorschriften die nach der M eth ode der F ließ g elen k e errechnete Bruch
sicherh eit n b = 2, die stets als ausreichend zu betrachten ist, zum al w enn man bedenk t, daß dann d ie exp erim en telle Bruchsicherheit in folge V er
festigu n g des M aterials nach dem F ließen etw a l ' / 2 mal so groß, also g leich drei sein dürfte.
B el mehrfach zusam m enh ängend en S y stem en ist es m öglich, daß die Bruchsicherheit w e it größer als 2 w ird , auch w enn g leich zeitig die F ließsicherh eit mit n s — 1,71 n ach gew iesen wird. S oll der gefährliche Q uerschnitt ein es solchen S y stem s, in dem das M om en t ein Maximum wird, dim ension iert w erd en , so erhält man nach der elastisch en M eth ode w ied er: Ai — —— - W . D ieser gefährlich e Q uerschnitt ist zugleich der, in dem das erste F ließ gelen k auftreten m uß; für den Bruch jedoch ist der Q uerschnitt m aßgebend, in dem das letzte F ließ gelen k auftrltt, der das System b ew eg lich macht. In ein em m-fach zusam m enh ängend en S ystem erhalten wir das M om en t in d iesem Q uerschnitt für den Bruch nach dem Su p erp osition sgesetz:
M = M 0 b — °‘i 'VC I — «2 Ai™ x (16)
Pj
A4m ax = A/I
1 p tn — 1 p mox
2 8 E i s e n m a n n , Theorie und Statik plastischer Träger des Stahlbaues
DEK STAHLBAU
B eilag e z u r Z e its c h rift »D ie B a u tc clin ik *
M ob b ed eu tet hier das M om ent, in dem durch die F ließ g ele n k e statisch bestim m t gew ord en en S y s tem , w enn d ie verspannen den plastischen M om ente nicht wirken w ürden; aus ihm kann die Bruchlast errechnet w erd en . K om m t es nun aber nicht zum Bruch, sondern herrscht in diesem Q uerschnitt nur das M om ent M 0 in folge der w irklichen B elastung, so kön nen wir die Bruchsicherheit definieren als das V erhältnis der Bruch
last P b zur tatsächlichen B elastung P , w o b ei P , w ie in A bschnitt 3 g ezeig t, als ein zig e Variable anzuseh en ist. Wir erhalten dann die Bruchsicherheit:
Ai.ob 2 « ,
S m - 1 + S n 0 7 ) n b = - ~ - = + • • • + « * -1-1 « - 1 ■ -m y D ie K oeffizienten « lassen sich leicht berechnen; so erhalten wir für das M ittelfeld ein es Balkens auf vier Stützen:
, O . .
also a, =
x
l ' 5 , = S 2 — S 3
von S gleich (18) so folgt:
(19)
hat das S ystem ein konstantes Profil, so wird . = S ; se tze n wir ferner die Sum m e der K oeffizienten X = «! + «2 + . . . + _ 1 + 1,
■ 2 x d, s
und für sym m etrisch e Profile:
(2 0a) n b h
s
Für den Balken auf vier Stü tzen m it gleich m ä ß ig v erteilter Last erhält man bei D im ensionieru ng des M ittelfeld es mit I -P r o file n das Verhältnis der Sicherheiten: = 2-
h M
AL 2 • 1,17 • 0,8 = 1,87,
Für konstante Profile erhält man das V erhältnis der Sicherh eiten g eg en Bruch und F ließen:
(20) n— = 2 : S M
S " ‘ " o
n b = 1,71 • 1,87 = 3,18. Der durchlaufende Balken hat dem nach ein e B ruchsicherheit, w ie s ie b ei statisch bestim m ten S y stem en niem als er
reicht w erden kann. U n t e r d e r V o r a u s s e t z u n g , d a ß g l e i c h z e i t i g e i n e B r u c h s i c h e r h e i t n b = 2 n a c h g e w i e s e n w i r d , e r s c h e i n t e s g e r e c h t f e r t i g t , d a ß e i n e g e r i n g e r e F l i e ß s i c h e r h e i t a l s d i e z u r Z e i t v o r g e s c h r i e b e n e z u g e l a s s e n w ir d . A l l e r d i n g s w i r d m a n fü r d i e F l i e ß g r e n z e e i n e u n t e r e G r e n z e , e t w a n s = 1,3, f e s t s e t z e n m ü s s e n , d i e n i c h t u n t e r s c h r i t t e n w e r d e n d a r f.
D ie statisch bestim m ten S y stem e w ürden also w ie bisher ein e F ließ sicherheit n s = 1,71 b eib eh a lten ; für statisch mehrfach zu sam m enh ängend e S y stem e d agegen wäre ein e M indestbruchsicherheit n b = 2 vorgesch rieb en , aus der man die F ließ sich erh eit zu berechnen hätte; erhält die F ließ
sicherh eit ein en W ert größer als 1,3, so so llte die D im en sionieru n g zu g ela ssen w erden, die gün stiger ist als die bish er statthafte.
Z a h l e n b e i s p i e l : Der Balken auf vier Stützen habe ein e g leiche F eld w eite / = 1 0 m und ein e g leich m äß ig verteilte B elastu n g <7 / = 8,4 t je F eld . Nach der bish er z u g eia sse n en D im ensionieru ng erhalten wir bei V erw en d u n g von St 37: Af = 1400 IV, I V = • j^qq = 600 cm 3;
gew ä h lt 1 29. Nach der v o rg esch la g en en D im ensionierung setzen wir zunächst die F ließsicherh eit « = 1 , 3 und errechnen nach Gl. 20a n b — 1,3 ■ 2 • 1,17 • 0,8 = 2,43. Da d ie B ruchsicherheit größer als 2 ist, ist die F ließsicherh eit n — 1,3 zu lä ssig ; für d ie z u g ela sse n e Spannung erhält
? 4 0 f )
man dann d . = - y - „ - = 1850, w esh alb nach der G eichun g Ai = 1 8 5 0 IV 1| 0
dim ensioniert w erd en dürfte; wir erhalten l V = 4 5 3 cm 3; gew ä h lt 1 2 7 .
Aue Rechte j)je H allen für d ie A u to m o b ilfa b r ik in N i s h n j - N o w g o r o d .
Von Prof. ®r.=3ng. K ulka, H annover, und D ipl.-Ing. L. S c h m itz , Köln.
(Schluß aus H eft 3.)
3. P r e ß w e r k . Durch die H alle E F führt ein S chienenstrang, in den G ieb el w änden Das Preßw erk ist ein e fünfschlfflge H alle (das fünfte Schiff ist in E isen- befinden sich daher entsprechende Tore,
beton ausgeführt) von 19 400 m2 Fläche, rd. 3000 t Stah lgew icht, also ein em Der statische Charakter des B auw erkes ist w ieder ein System von G ew icht von rd. 76 k g /m2 G rundfläche bei 8,3 k g /m3 um bautem Raum. B indern, die mit den Stützen b ieg u n g sfest verbunden sin d , während
Eisenbeton
C\ . iSOOO °< 1S000 f t , 1S000 f l 1 8 0 0 0 * " ' " ' f A bb. 14. Schnitt a — a (s.
D ie Länge der H alle beträgt in sgesam t 432 m , die B reite 5 x 18 = 90 m;
B inderentfernung ebenfalls 6 m, Stü t
zen en tfernun g 12 m (Abb. 14 bis 16).
Mit Rücksicht auf d ie Größe der H alle ist nach je 60 m ein e A u sd eh nun gs
fuge ein gesch altet, w o stets Doppel
binder angeordnet sind, deren A chsen in Entfernung von 0,61 m stehen.
Drei der Stah lhallen haben e in e lichte
H öh e unter Binderunterkante von 9 m, ein e H alle von 12,5 m. D ie G ieb cl- w ände sind te ilw e is e durch E isenb etonb auten ab gesch lossen . Für d ie A uflagerung der Z w ischenbinder sind die in 12 m E ntfernung befindlichen Säu len m iteinander durch b eson d ere U nterzü ge verbunden.
d ie Stützen in die F undam ente fest ein g espan nt sind. A b w eichend von den bisher b eschrieben en H allen sind die Stützen als Fachw erkstützen a u sg e
b ild et. D ie S tie le tragen in ihrem oberen T eil Walzträger, w elch e die Kranbahn tragen (Abb. 16).
D ie B eleuch tu n g der H allen w eich t von der der bisher beschrie
ben en H allen dadurch ab, daß in den laternenartigen A ufsätzen nicht nur die vertikalen F läch en, sondern auch d ie unter 45 0 g e n e ig ten Steilflächen m it G las ein ged eck t sind.
In der Stützenreihe B lieg en die Binder nicht auf den Stü tzen auf, sondern auf den E isen b eton k on solen der benachbarten E isenb etonh alle.
Abb. 15. Dachgrundriß d es Preßw erkes.
Abb. 16. Schnitt b— b (s. Abb. 15).
J a h rg a n g 6 H e it 4
17. F e b r u a r 1933 K u l k a u. S c h m i t z , Die Hallen für die Automobilfabrik in N is h nj-N ow gorod 2 9
Abb. 17. Längsansicht der Federnfabrik.
D ie Kranbahnen b esteh en aus I-T rä g ern und haben ein e S tü tzw eite von 6 m mit A u sn ahm e der nörd
lichsten Kranbahn, die 12 m S tü tzw eite hat und als B lechträger a u sg eb ild et ist.
An der S eite der Eisen- bcton h alle sind die Kran
träger eb en falls auf die K onsolen der E isen b eton halle g e le g t.
In den Endfeldern sind Prellb öck e in die Kranbahn ein geb aut. A ls Kranschic- nen sind durchw eg E isen
bahnschienen verlegt. W ie bereits erwähnt, sind U n terzü ge von 12 m S tü tzw eite für die Zw ischenbinder angeordnet. D ieselb en sind als Fachwerkträger a u sgeb ild et und er
halten ihre B elastung durch die Binder und die Kranlasten, da ja die Kranträger in der M itte der U n terzü ge nochm als unterstützt sind. Infolge des exzentrischen
Kraftangriffs der Kranträger en tsteh en in den M ittelpfosten der Binder
un terzüge große B iegu n gsm om en te. Zur Aufnahm e derselb en sind diese Pfosten m it den Zw ischenbindern zu steifen Rahmen v erb u n d en , so daß die Kranbahnen in den 6 tu -P u n k ten , w o keine Stützen vorhanden sind, auch seitlich geh alten sind.
Ähnlich w ie in den ändern H allen sind V erbände in den Obergurt
eb en en und den O berlichtern angeordnet, und zwar als Rundstahlverbände, während die H orizontalverbände in den Binderuntergurten aus W ink el
profilen konstruiert sind. L etztere V erbände dienen zugleich zur V erteilu ng der E inzellasten quer zur H alle auf m ehrere Rahmengruppen.
Abb. 19. Schnitt a - (s. Abb. 18).
¡_ . . _ m . ■ Abb. 20. Schnitt b— b
(s. Abb. 18).
4. F e d e r n fa b r ik . D ie Federnfabrik ist ein e ein schiffige H alle von 28,9 m Breite und 210 m Länge. D ie G rundfläche beträgt 6300 m 2, das G e w icht 780 t; das ergibt etw a 124 k g /m2 bebau ter Fläche und 9,9 k g /m3 um bauten Raum es. D ie Konstruktion der H alle u n terscheidet sich nicht w esen tlich von der der beschrieb en en H allen.
D ie Anordnung g eh t aus den Abb. 17 b is 2 0 hervor.
Auch hier sind in etw a Entfernung A u sd eh n u n gs
fugen vorgeseh en . D ie Entfernung der Binder beträgt 6 m. V er
bände und Kranbahnen sind an alog den der bereits beschrieb enen H allen durchgebildet. Vs der H alle am ö stlich en Ende ist durch ein e B etonbü hne in z w ei Etagen g eteilt.
60 m
5. M o n t a g e h a lle . '
D ie M ontagehalle ist d ie größte der Fabrikationshallen der A u tom obil
fabrik. S ie hat die auß ergew öhn liche Länge von 546 m und ist im Q uer
schnitt als sechssch iffige H alle von 6 X 1 8 = 1 0 8 m konstruiert. D ie Grundraumfläche beträgt 56 000 m 2, das G ew icht etw a 4400 t, das ergibt 79 k g /m2 bebauter Fläche und 8,1 k g /m3 um bauten R aum es. D ie A nordnung geh t aus Abb. 21 b is 23 hervor. D ie H allen sind versch ieden hoch k on
struiert, in den vier H allen A B , B C , D E und E F ist d ie lich te H öhe bis Binderuntergurt 5,25 m, ln den H allen C D und F G 8,85 m. Die W est- und O stabsch lü sse der H alle an den G ieb elw än d en w erden durch
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1! ¡til I jh ii i f i l k t í l í i í
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4 +-t J-f 1-4 j- 1111111 Fj [ 4 ■ A bb. 21. Grundriß der M ontagehalle.
S — ... : Xs
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= = — ; - f ^ ... ; ' : --- : ^ ..
< í j Í _ ---yÁ y/A w M <y/&
5110000
Abb. 22. Längsschnitt a — a (s. Abb. 21).
R echts und links von den A u sd eh n u n gsfu gen sind je z w e i B inderfclder (12 m Breite) m it du rchgehenden h orizontalen und vertikalen V erbänden als Raumtrag
werk konstruiert und b il
den so ein en steifen Träger von 72 m Stü tz
w e ite , der in der Lage
ist, auch die in Längsrichtung der H alle w irkenden Kräfte sow ie etw aige Kranschübe auf m ehrere Reihen Stützen zu übertragen. D ies war d e sw eg e n n ö tig , w ell in den Stützenreihen C, D , E keine bis zu den Fundam enten reich en den vertikalen V erbünde oder Portale ein gebaut w erden konnten. In den G ieb elw änd en sind Stützen aus 1 30 angeordnet.
z w ei m assive G eb ä u d e g e b ildet. D ie A u sd eh nun gs
fugen sind auch hier in etw a 60 m Entfernung an
geordnet. Um aber auch in der Q uerrichtung ein e unbehind erte A u sd eh n un g der H a lle zu erm öglichen, ist neb en der S tü tzen
reihe E e in e A u sd eh n un gs
fuge in der Querrichtung v o rg eseh en . Kranbahnen sind nur in den beid en hoh en H allen C D und F G vorgeseh en . Aus d iesem G runde liegen d ie Binder auch höher.
D ie B eleu ch tu n g der H alle g esc h ieh t durch die Lichtbänder in den Längsw änden, den G ieb elw än d en , durch die vertikalen und schrägen Lichtbänder in den Dachaufbauten.
Abb. 23. Schnitt b — b (s. Abb. 21).
Q /-| DER STAHLBAU
d u K u l k a u . S c h m i t z , D ie Hallen für die Automobilfabrik in N ish n j-N o w g o ro d n e iia e e m Z e its c h rift .D ie B a u te ch n ik '
Abb. 25.
M ontage m ittels Raupenschlepperkranen.
Abb. 27. V erladen der Konstruktionen vom Hafengrundstück der Firma G ollnow , Stettin.
D ie Eindek- kung der H alle ist ganz ähnlich w ie d ie der b is
her besch rieb e
nen H allen m it Ruberoid auf dop
pelter H olzsch a
lung ausgeführt.
Durch die H alle F G läuft ein durchgehen
der Schienen
strang. Außer
dem ist für den Quertrans
port in der Längs
w and G ein e Durchbrechung v o r g ese h en , durch w elch e ein Transport
band läuft.
Stützen und Binder sind ähnlich w ie bei den ändern H allen als Rahm enkonstruktionen verbunden. D ie Stützen selb st sind unten e in gespannt.
Abb. 24 zeigt ein en charakteristischen Q uerschnitt durch die H allen A B und B C.
A u sfü h ru n g d e r A r b e ite n . W ie bereits erw äh n t, lag die A usführung der A rbeiten in den H änden der deut
schen Firmen J. G o l l n o w &
S o h n , Stettin, und der Firma H u m b o l d t - D e u t z - M o t o r e n A .-G ., Kalk b ei Köln. D ie Firma G o l l n o w führte in ihrer Stettiner Werkstatt aus: die G ieß erei, das P reßw erk, die Federnfabrik und die M ontagehalle im G esam tgew ich t von etw a 1 1 0 0 0 t, d ie Firma H u m b o l d t - D e u t z - M o t o r e n A .-G . d ie Schm ied ew erk statt im G esam t
g ew ich t von etw a 2100 t. D ie reibu ngslose A usführung d ie se s g e w altigen B aues stellt den deutsch en Firmen das b este Z eugnis aus. D ie L eistung kann um so höher b ew ertet w erden , w enn man sich an Hand d es Bauprogramms die T erm ine vergegen w ärtigt, zu w elch en die Arbeit geschafft w urde. D ie U n terzeich nu ng d es Schlußprotokolls für den Auf
trag erfolgte am 15. Mal 1930. Der Versand begann am 3. A u gust des gleich en Jahres und um faßte z. B. für d ie Arbeiten der Firma G o l l n o w im A u gust 1 5 0 0 t, im Septem ber 2500 t, O ktober 2 0 0 0 1, N ovem ber 1500 t, D ezem ber 1000 t, Januar 1931 1000 t, Februar 800 t und im März den Rest.
Es wurde also in der W erkstatt rd. 7 M onate an der A bw icklung des A uftrages gearb eitet. D ie vertraglichen V ersandterm ine lagen durch
schnittlich später als die erreichten Term ine. So brauchte z. B. der V er
sand erst am 20. Septem ber begonn en zu w erd en, während er in W irklich
keit bereits A nfang A u gust begann.
D ie M ontage der Konstruktion wurde durch den russischen Auftrag
geb er unter B eih ilfe am erikanischer Ingenieure in kürzester Zeit durch
geführt. B eisp ielsw eise w urde die A u fstellun g der großen M ontagehalle Abb. 24. Q uerschnilt durch die M ontagehalle.
Abb. 26. Blick in die M ontagehalle.
J a h rg a n g 6 H e ft 4
17. F e b ru a r 1933 K u l k a u. S c h m i t z , Die Hallen für die Automobilfabrik in N ish n j-N ow gorod 3 1
im G ew ich t von etw a 4400 t und ein er G rundfläche von etw a 56 000 m2 in nur 43 Tagen bewirkt. D iese L eistung w urde mit in erster Linie er
reicht durch die V erw en du ng von Raupenschlepperkranen entsprechender Tragkraft und entsp rech en der A u slegerhöh e (Abb. 25), und zwar stand für je d es Schiff der m ehrschiffigen H alle ein derartiger Kran zur V erfügung.
Trotz dieser für d ie h erstellen d en Firm en nicht a ngen ehm en T eilu n g der Lieferung und M ontage v o llz o g sich die A ufstellun g oh n e Reibungen
und oh n e R eklam ationen, w as letzten E nd es auch auf die äußerst sorg
fältige Sign ieru ng zurückzuführen ist, die vom Auftraggeber verlangt wurde.
Abb. 2G zeigt die A u fstellun g der M ontagehalle.
Abb. 27 z eig t das V erladen der K onstruktion vom Hafengrund
stück der Firma J. G o l l n o w & S o h n , S tettin , unm ittelbar auf das Seeschiff.
■ 2 p . R - cos ß ■
folgt:
S = p - b zw . + p ■
Q = P ‘ bzw . = p ■ a
"* vorbci'a"''' S c h a c h tr in g e aus B au stahl St 52.
Von D ipl.-Ing. J. K u se n b e r g , Sterkrade, Prüfingenieur für Statik.
Beim A b teu fen von Schächten für den K ohlenbergbau m üssen v ie l
fach Schw im m sand sch ich ten durchfahren w erden, die nicht nur die Abteuf- arbeiten sehr erschw eren, sondern auch den Bestand der Schachtverkleidung gefährden können.
Bisher hat man in sch w im m en d em G eb irge d ie Schachtverkleidung aus guß eisernen R ingen, sog. T ü b b in gs, h e r g e ste llt, d ie sich im a ll
g e m ein en auch gut bew ährt haben. In den letzten Jahren sind aber versch ied en e katastrophale Z usam m enbrüche von Schachtanlagen zu b e
klagen g e w es en , die auf die U n zu länglichk eit der T übbings gegen ü b er Störungen im gleichm äßigen radialen G eblrgsdruck zurückzuführen w aren.
G u ß eisern e Schachtringe sind vorzüglich g e e ig n e t, ein en hoh en g leic h m äßigen G ebirgsdruck aufzunehm en; sie versagen aber dann, w enn durch Irgendeine U rsache ein e U n gleichm äßigkeit im Druck auf d ie Schacht
w an du ng entsteht, die in dieser nicht nur R ingspannungen, sondern auch größere B iegu n gsm om en te erzeu gt.
Da der Z usam m enbruch einer Schachtanlage den V erlust zahlreicher M en schenleb en m it sich bringen kann und stets ein e große Kapitalanlage zunichte macht, so ist es w oh l angebracht, zu untersuchen, ob nicht durch d ie V erw endung' von Schachtringen aus hochw ertigem Baustahl e in e w e it
g e h e n d e Sicherheit g e g en d ie W iederholung von U n glü ck sfällen der o b en erw ähnten Art geb o ten w erden kann.
ln der n ach steh en d en U n tersuch ung w erd en zunächst für ein en g e sch lo ssen en Ring d ie B iegu n gsm om en te, Achsialkräfte und Querkräfte als Funktionen ein es Z entriw inkels b erech n et, und zwar unter folgen d en A nnahm en:
1. Der Ring ist bis auf ein e durch den Zentriw inkel ß bestim m te B ogenstreck e g leich m äß ig radial von außen b elastet. Auf dieser Strecke ist die gleich m ä ß ig e B elastung ersetzt durch ein e in Strecken
m itte radial nach innen g erich tete E inzellast.
2. D ie gleich m äß ige R ingbelastung feh lt auf z w ei g leich großen, e in ander g eg en ü b erlieg en d e n Strecken, in deren M itten entsprechend große E inzellasten wirken.
D ie E rgebnisse dieser a llg e m ein en U ntersuchung w erd en dann zah len m äßig au sgew ertet unter der A nnahm e, daß die von gleichm äßiger B e
lastun g freien Ringstrecken je Vo d es R ingum fanges groß sind.
Schließ lich wird ein Ringquerschnitt bestim m t, der dem angenom m enen Kräftespiel g ew a ch sen und so geform t ist, daß entsprechend ausgeführte Schachtringe aus B austahl St 52 im Schacht in ä h n lich e rW eise ein geb aut w erden können w ie gu ß eisern e Tübbings.
Ein Ring vom H alb m esser R se i durch ein en radial nach inn en g e richteten gleich m äßigen Druck = p /m U m fan g b elastet. Auf dem Ring
abschnitt b — 2 R ■ ß sei d ie se B elastu n g durch ein e in A bschnittm itte an greifen d e, radial nach innen g erich tete E inzellast P ersetzt (Abb. 1).
D ie A u fgabe ist zw eifach statisch unbestim m t, w enn man sich den Ring durch ein en D urchm esser g e teilt denkt, der m it der Richtung der E inzellast zusam m enfällt, und dann ein e Ringhälfte nach Abb. 2 für sich betrachtet.
A ls statisch unbestim m te Größen w erden zw eck m ü ßigerw eise die v ersetzte Achsialkraft X und das M om ent Y in der R ingm itte angreifend angenom m en.
Nach bekanntem Rechnungsverfahren ergibt sich folgen d e Lösung:
sin 2 ß \ ' 4 J Y = p - R 1 -{n — ß + sin ß) •
7t
D ie Achsialkräfte und Querkräfte ergeben sich nach Abb. 2 w ie R ■ sin ß • sin a + X • cos «
R • (1 — cos ß • co s a) + X - R ■ sin ß • cos « — X ■ sin a R ■ sin « • cos ß — X • sin «.
cos a,
Abb. 3. Abb. 4.
Abb. 1. Abb. 2.
D am it G leich gew ich t im Spiel der äußeren Kräfte vorhanden sei, P = 2 p - R j c o s tp ■ d ip — 1 p • R • sin ß sein .
muß
Es so llen d ie B iegu n gsm om en te M , die Achsialkräfte 5 und die Querkräfte Q berechnet w erd en , die in folge der angenom m enen B elastung auftreten.
Wird auf zw ei einander g eg en ü b erlieg en d en gleich großen R ingstrecken b — 2 R - ß die gleich m äß ig verteilte B elastung p durch ein e E inzellast P = 2 p ■ R • sin ß ersetzt, so ergeben sich für die statisch un bestim m ten Größen X und Y fo lg en d e W erte (Abb. 3 u. 4):
X = p ■ R . cos ß ,
Y = 2 p . R ° - . { s \ n ß — ß + j ) - l ■
Für die Achsialkräfte und Querkräfte gelten die Form eln d es ersten B elastu n gsfalles.
D ie vorsteh en d en a llgem ein gü ltig en Form eln w erd en im folgen d en auf z w e i Son derfälle angew an dt, für die nachsteh en de A nnahm en gelten so llen :
R inghalbm esser R — 3,5 0 0 m, R ingbreite = 1,000 m,
R ingbelastung / > = 1 0 0 t / m (100 m W assersäule), ß — 3 0 ° . Für den 1. B elastungsfall erhält man zunächst
X = 308,4 t; Y = + 1215 tm (abgerundet).
Das größte B iegu ngsm om ent A f = - f l 3 6 t m tritt unter der E inzellast auf. D ie Achsialkraft ist dort S — — 308,4 t und die Querkraft unm ittelbar neben der E in zellast ist Q —- 1 7 5 t .
Das größte n egative M om en t ergibt sich für « = 3 0 ° zu M — — 26 tm.
D ie Achsialkraft für d iesen Ringpunkt ist S — — 354,5 t und d ie Q uer
kraft Q = — 2,6 t (nach außen gerichtet).
Für den 2. B elastungsfall erh ält man unter den gleich en A nnahm en X = 3 0 3 ,1 t; Y = 1206 tm.
Das größte B iegu n gsm om en t M = + 145 tm tritt w ieder unter den E in zel
lasten auf. D ie Achsialkraft ist d aselb st 5 = — 303,1 t und d ie Querkraft unm ittelbar neb en den E in zellasten ist ( ? = 175 t.
3 2 K u s e n b e r g , Schachtringe aus Baustahl St 52 DER STAHLBAU B eilag e z u r Z e its c h rift .D i e B n u te c h n lk "
Der Größtwert d es negativen M om en tes, M = — 19 tm, ergibt sich für a = 3 0 ° bis 1 5 0 ° ; ist er für d ie se Ringstrecke g leich b leib en d . D ie Achsialkraft ist hier S = — 350 t und die Querkraft Q — 0.
Der Verlauf der B iegu ngsm om en te und Achsialkräfte für b eid e Be
lastun gsfälle ist in Abb. 5 u. 6 dargestellt.
Für die Q uersch nittsgestaltung von Schachtringen aus Baustahl sind beson ders zw ei G esichtspun kte m aßgebend.
Betrachtet man ein un versteiftes Stück des S ch ach t-M an telb lech es als e b e n e Platte, d ie am Rande n ach gieb ig ein gespannt ist, so ergibt sich d ie größte B iegungsspannung in folge einer g leich m äßig v erteilten B elastung
— p kg/cm nach der Forme!
= ' 2 • ( / - F W ^ = ° ’56)’
w enn a und b die S eiten län gen der Platte sind und a > b , b : a = s ist.
Nach Abb. 8 kann 17 = 37,8 c m , b = 46,4 cm g e se tz t w erd en ; | ist also = 0 , 8 1 5 , £ 2 = 0,664.
, , n cc 3 7 ,82 35
Man erhält d = 0,56 • g • ^ + Q>664)
= 935 kg/cm 2.
D ie größte Beanspruchung des M antelb lech es ergibt sich unter den gem ach ten A nnahm en zu
tfmn* = — 1,167 — 0,935 = — 2,102 t/cm 2.
D ie ob en berechneten Randspannungen z eig en , daß d ie M antelb lech e ste ts auf Druck beansprucht w erden und daß ein Span n u n gsw ech sel Innerhalb d es R ingquerschnitts erst in rd. 32,5 cm Abstand von der M antelaußenfläche stattfindet. Unter der V oraussetzu ng, daß die Stirnflächen der ein zelnen R ingstücke m aschinenm äßig so bearbeitet w erden, daß ein e unm ittelbare Druckübertragung gew ä h r
leistet ist, gen ü g en zur V erlaschung der g e zo g e n e n Q uersch nittsteile S teglasch en innerhalb der äußeren G urtw inkel und Laschen für d ie inneren Gurt
w ink el.
Abb. 5. Abb. 6.
D ie Q uerschnittsform muß so gew ä h lt w erd en , daß der Zusam m enbau ein zeln er R ingstücke zur g e sc h lo ssen e n Schachtw and k ein e Schw ierigk eiten macht, und daß in den äußeren R ingteilen stets beträchtlich große Druck
spannungen auftreten.
Der in Abb. 7 d argestellte Q uerschnitt hat ein e G esam tfläche
F = 630,2 cm 2.
D ie W iderstandsm om ente d es durch N iet
oder Schraubenlöcher gesch w äch ten Q uer
schnitts sind
W f = 2 1 1 2 0 cm3 (Außenfaser), 117" = 6 3 5 0 cm3 (Innenfaser).
D ie Randspannungen für d iesen Quer
schnitt ergeben sich w ie folgt:
1. B elastungsfall: M = + 13600 tem; S = — 308,4 t.
308.4 1 3 600 ,
” “ 630,2 21120 “ 1», 33 t/cm , 308.4 , 13600
T100-150-1U
| (L 130-130-n
/ n o o - w P ] '■ — onn.-rß
'■soo-w Abb. 7.
a = —
' 630,2 +
6350 “ + Für M — — 2600 tem und S = — 354,5 t
ri’ —- — 354,5 4- 2600 ü ——
' 630,2 i 21120
,, 354,5 2600
" 630,2 6350 2. B elastungsfall; A f = + 1 4500 te m ; 5 =
303,1 :
d’ - -
' 630,2 21120 “ 303,1
+ 14500 a" = —
' 630,2 6350 “ + Für Ai = — 1900 tem und 5 = — 350,0 t
, 350,0 1 1900
O = —
630,2 21120 “
350,0 1900
ö" = —
630,2 “ 6350 '
0 ,440 t/cm 2,
0 ,972 t/cm 2.
= — 303,1 t.
1,167 t/cm 2,
1,805 t/cm 2.
erhält man 0,465 t/cm 2,
0,854 t/cm 2.
Zu den oben erm ittelten Druckspannungen in der äußeren Faser des M an telb lech es kom m en noch örtliche B iegu ngsspannu ngen hin zu , die durch d ie E inzellast P erzeu gt w erden.
Da d iese, en tg eg en der bish erigen V oraussetzu ng, w ed er in einem Punkte noch in einer Linie wirken kann, so wird die A nnahm e gem acht, sie w erd e durch die etw a 0,40 m starke Betonschicht, d ie beim Schachtbau zw isch en G eb irge und Schachtm antel eingebracht wird, auf ein e Fläche von 1 ,0 - 1 ,0 m v erteilt. Auf d iese F läche wirkt dann ein e Last von
3 5 0 0 0 0 , , „ p = lo o o o = 35 kg/cm '-
In Abb. 8 ist d ie V erlaschung ein es R ingstoßes dargestellt. Bei ihrer A u sbildu ng wurde voraus
g e s e tz t, daß an der S to ß stelle das G rößtm om ent und die größte Querkraft wirksam sind.
D ie zur V erbindung zw eier R ingstücke dien end en N ieten bzw . Schrauben sind in der Z eichnung markiert. Man erkennt, daß die Her
stellu n g der V erbindung im Schacht keinerlei Schw ierigk eiten macht.
A us der A b bildun g ist ferner zu e rseh en , daß die m aschinenm äßige Bearbeitung der ein zeln en Ringstücke in ähnlicher W eise erfolgen kann,
Schnitt c-d ! j Schnitt a -b
F ü r d ie S c h riftle itu n g v e ra n tw o r tlic h : G eh. R e g ie ru n g s ra t P ro f. A. H e r t w l g , B e rlin -C h a rlo tte n b u rg . V e rla g von W ilhelm E r n s t & S o h n , B erlin W 8.
D ru ck d e r B u c h d ru c k e re i G e b rü d e r E rn s t, B erlin SW 68.
A bb. 8.
w ie die guß eiserner T ü b b in gs, eb en so ihr Z usam m enbau zur g e sch lo ssen en Schachtw and.
Die Belastungsannahm en für die durchgerechneten B eisp iele sind zwar gan z w illk ürlich, und e s ist fraglich, ob sie einigerm aßen den Störungen im gleichm äßigen Gebirgsdruck en t
sp rech en , d ie in der Natur auftreten können; die gem ach ten V oraussetzungen
sind jedocli w oh l als recht u n gün stig a n zuseh en . Jed en falls z eig t die vorsteh en d e U n tersu ch ung, daß bau liche Sch w ierigk eiten der Ver
w end un g von B austahl-Schachtrin gen nicht im W ege steh en und daß der Ersatz guß eiserner Tübbings durch Schachtringe aus Baustahl St 52 die Sicherheit einer Schachtanlage im Schw im m sand geb iet ganz außer
ordentlich erhöhen würde.
I N H A L T : T h e o rie u n d S ta tik p la s tis c h e r T r3 g e r d e s S ta h lb a u e s . — Die H a lle n f ü r d ie A u to m o b ilfa b rik in N is h n j- N o w g o r o d . (S c h lu ß .) — S c h a c h trin g e a u s B a u s ta h l S t 5 ‘2.
Schnitt e - f
