Normy i przestrzenie unormowane.

Normy i przestrzenie unormowane.

12. Sprawdzić, że funkcja  : X × X →R₊ określona wzorem

(x, y) = x − y

dla x, y∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan
a, spełnia aksjomaty metryki.

13. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej (X,  ) norma jest funkcja ci
agł
a, jednostajnie
ciagł
a, a nawet spełnia warunek Lipschitza ze stał
a 1 (tzn. dla dowolnych x, y ∈ X mamy

| x − y |  1 · x − y).

14. Wykazać, że relacja równoważności norm z definicji spełnia wszystkie warunki relacji rów- noważności, tzn. jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.

15. Udowodnić, że kula domknieta w przestrzeni unormowanej jest zbiorem wypukłym.

16. Wykazać, że w przestrzeni Rⁿ(_Cⁿ) zachodza nierówności:

x^₂  x₁ √ n^x^

2,

x^_∞  x₂ √ n^x^

∞,

x ∞ x₁  n x_∞ dla x∈Rⁿ(Cⁿ), czyli normy te sa równoważne.

17. Niech  ₁ i ₂ bed
a dwiema normami w przestrzeni wektorowej X. Wykazać, że każdy ze
wzorów

x = x₁ +x₂,

x = ^x²₁ +x²₂,

x = max {x₁,x₂} ,

również określa norme w pzestrzeni X oraz, że normy te s
a równoważne.

18. Niech   bedzie norm
a w przestrzeni liniowej X, a x
0-ustalonym elementem z tej przestrzeni. Pokazać, że

x − y^∗ =





0, x = y

x − x₀ + x₀− y , x = y generuje metryke w przestrzeni X.

19. W przestrzeni ^R2 zaznaczyć w układzie współrzędnych sferę jednostkową S(0, 1), czyli zbiór Arkusz 3

punktów opisany za pomocą zbioru {(x, y) ∈ R² :||(x, y)||p = 1} dla p = 1, p = 2, p = ∞.

20. Wykazać, że || · || jest normą w ^R2 i wyznaczyć domkniętą kulę jednostkową B(0, 1) = {(x, y) ∈R² :||(x, y)||  1}, jeśli

(i)||(x, y)|| = ^8(x− y)²+ (x + y)²; (ii) ||(x, y)|| = max |x|, |y|, |x − y|;

(iii) ||(x, y)|| =√

4x²+ 5y²+|y|

dla (x, y)∈R².

21. Wykazać, że wzór

||(x, y, z)|| = max ^x²+ y²,|z|

gdzie (x, y, z)∈R³ definiuje normę w R³ i wyznaczyć kulę domknietą B(0, 1) w tej normie.

22. Wykazać, że w przestrzeni skończenie wymiarowej wszystkie normy są równoważne.

23. Niech p ∈ (0, 1) i d :R² → [0, +∞) będzie funkcją określoną następująco:

d(x, y) = (|x|^p+|y|^p)^p1 . Pokazać, że d nie jest normą w R².

24. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = −₁₁^5n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l¹ i ob- liczyć jego normę.

25. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = −₁₃^7n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l² i ob- liczyć jego normę.

26. Niech x = (ξ1, ξ₂, . . . ), gdzie ξ_n = −₁₇^9n dla n = 1, 2, . . . . Sprawdzić, czy x ∈ l^∞ i obliczyć jego normę.

27. Pokazać, że ciąg x =1,_ln2¹ ,_ln3¹ , . . .należy do przestrzeni c₀, a nie należy do przestrzeni l^p dla p 1.

28. Niech xn = _n¹,_n¹, . . . ,¹_n, 0, 0, . . . ,. Sprawdzić, czy ciąg (x_n)^∞_n=1 jest zbieżny w przestrze- niach c₀, l^p dla p 1.

29. Niech X będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Półnormą w tej przestrzeni nazywamy każdą funkcję p : X →R spełniajacą warunki:

P1) p(x) 0,

P2) p(λx) =|λ|p(x),

Arkusz 4

P3) p(x + y) p(x) + p(y)

dla dowolnych wektorów x, y∈ X i λ ∈ K. Wykazać, że (i) jeśli p spełnia warunek P2), to p(Θ) = 0,

(ii) jeśli p spełnia warunki P2) i P3), to spełnia warunek P1), (iii) dla dowolnych x₁, x₂, . . . , x_n ∈ X

p(x₁ + x₂+· · · + x_n) p(x₁) + p(x₂) +· · · + p(x_n), (iv) dla dowolnych x, y∈ X zachodzi |p(x) − p(y)|  p(x − y).

30. Rozważmy przestrzeń Cⁿ([a, b]) funkcji zmiennej rzeczywistej t ∈ [a, b] ciagłych wraz ze
swoimi pochodnymi do rzedu n wł
acznie. Określamy działania w sposób naturalny oraz funkcje:

x = |x(a)| + |x^(a)| + . . . + |x⁽ⁿ⁻¹⁾(a)| + sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|,

x = |x(b)| + |x^(b)| + . . . + |x⁽ⁿ⁻¹⁾(b)| + sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|,

x = max

atbsup |x(t)|, sup

atb|x^(t)|, . . . , sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|



. (i) Wykazać, że funkcje   określaja normy.

(ii) Udowodnić, że ciag (x
k)^∞_k=1 zbiega do x w przestrzeni Cⁿ([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy x_k(t)→ x(t), x^_k(t)→ x^(t), . . . , x⁽ⁿ⁾_k (t)→ x⁽ⁿ⁾(t) jednostajnie dla a t  b.

31. Rozważmy przestrzeń C ([0, 1]) z norma supremum. Niech g(t) = 2 − t
². Znaleźć (nary- sować) domkniet
a kul
e ¯
B(g, 1/2) o środku g i promieniu 1/2. Co można powiedzieć o tej kuli, jeśli przestrzeć ta wyposażona jest w norme x
₁ =^₀¹|x(t)| dt?

32. Rozważmy przestrzeń C ([a, b]) z normami f _∞ = max_atb|f(t)| i f₁ = ^_a^b|f(t)| dt.

Weźmy f_n ∈ C ([a, b]) , n = 1, 2, . . . określone f_n(t) = (t− a)ⁿ, t∈ [a, b] . Pokazać, że (i)fn_∞ = (b− a)ⁿ, fn₁ = ^(b−a)_n+1ⁿ;

(ii) nie istnieje stała M > 0 taka, że fn_∞ M fn₁;

(iii) dla funkcji g_n = (b− a)⁻ⁿf_n ciag (g
_n)^∞_n=1 jest zbieżny do zera w normie  ₁, ale nie w normie _∞.

Wynika stad, że normy te nie s
a równoważe.

33. Niech f : [0, 4] → ^R będzie określona następująco: f (x) = 3x− 5. Sprawdzić, czy f ∈ L^p i obliczyć normę f dla p = 1, p = 2 i p =∞.

34. Niech f : [0, 1] → ^R będzie określona następująco: f (x) = e^x. Sprawdzić, czy f ∈ X i obliczyć normę f w X, jeśli

(i) X = C([0, 1]);

Arkusz 5

(ii) X = C^k([0, 1]) dla k = 1, 2, . . . ; (iii) X = L^p(0, 1) dla p∈ (1, +∞).

35. Sprawdzić, czy dla X = C²([a, b]), następujace funkcje są normami:

(i)||f||1 = sup_t∈[a,b]|f(t)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)|, (ii) ||f||₂ =|f(a)| + |f(b)| + sup_t∈[a,b]|f^(t)|.

Czy te normy są równoważne?

36. Niech B = {(x, y) ∈^R2 : x²+ y² < r²} . Niech dalej X = C¹(B) będzie podprzestrzenią przestrzeni(B,^R) funkcji, które mają ciągłą i ograniczoną pierwszą pochodną. Sprawdzić, czy następujące funkcje sa normami:

(i)||f||1 = sup_(x,y)∈B|f(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_x^(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_y^(x, y)|, (ii) ||f||₂ =|f(0, 0)| + sup_(x,y)∈B|f_x^(x, y)| + sup_(x,y)∈B|f_y^(x, y)|.

37. Niech X będzie przestrzenią wszystkich wielomianów określonych na [0, +∞), tzn. funk- cji f (x) =
ⁿ_k=0a_kx^k.

(i) Zbadać, czy ||f||1 =
ⁿ_k=0|ak| jest normą.

(ii) Zbadać, czy ||f||2 = sup_x∈[0,∞)|f(x)|e^−x jest normą.

(iii) Czy powyższe normy są równoważne?

(iv) Pokazać, że X nie jest przestrzenią zupełną w żadnej z tych norm.

38. NiechX = C(^R2) będzie przestrzenią funkcji ciągłych takich, że

||f|| = sup

(x,y)∈R²|f(x, y)|e^−(x2+y2) <∞.

Pokazać, żę dla wszystkich k i n naturalnych funkcja f (x, y) = xⁿy^k ∈ X i obliczyć normę tej funkcji.

39. Pokazać, że l¹ i l^∞ są zupełne.

40. Sprawdzić, czy ciągi funkcji fn(t) = tⁿ − tⁿ⁺¹ i g_n(t) = tⁿ − t²ⁿ są zbieżne w przestrzeni C([0, 1]).

41. Sprawdzić, że ciąg fn(t) = tⁿ nie jest zbieżny w przestrzeni C([0, 1]), ale jest zbieżny w L^p(0, 1) dla p∈ [0, 1).

42. Niech M, L > 0. W przestrzeni C([0, M]) funkcji ciągłych f : [0, M] →Rokreślamy

||f||L= max

x∈[0,M]e^−Lx|f(x)|

dla f ∈ C([0, M]). Wykazać, że || · ||L jest normą w tej przestrzeni (zwaną normą Bieleckiego).

Arkusz 6