ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook)

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska – Katedra Metod Statystycznych Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet Łódzki

90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r. nr 41/43

RECENZENT Grażyna Trzpiot

SKŁAD I ŁAMANIE Barbara Lebioda

PROJEKT OKŁADKI Barbara Grzejszczak

© Copyright by Uniwersytet Łódzki, Łódź 2013

Wydane przez Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego Wydanie II. W.06022.13.1.S

ISBN (wersja drukowana) 978-83-7525-968-1 ISBN (ebook) 978-83-7969-326-9

Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego 90-131 Łódź, ul. Lindleya 8 www.wydawnictwo.uni.lodz.pl e-mail: ksiegarnia@uni.lodz.pl tel. (42) 665 58 63, faks (42) 665 58 62

Przedmowa ...5

1. Zagadnienia wstępne (Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska)...7

1.1. Elementy logiki...7

1.2. Elementy teorii mnogości ...11

1.3. Relacje ...16

1.4. Liczby rzeczywiste ...18

1.5. Liczby zespolone ...22

1.6. Przestrzenie metryczne ...31

1.7. Własności zbiorów w euklidesowych przestrzeniach metrycznych...35

1.8. Zadania ...43

1.9. Odpowiedzi do zadań ...47

2. Ciągi punktów w przestrzeniach euklidesowych (Dorota Pekasiewicz) ...57

2.1. Ciąg liczbowy i jego własności...57

2.2. Liczba e...65

2.3. Podciągi ciągów liczbowych...68

2.4. Ciągi punktów w wielowymiarowych przestrzeniach euklidesowych...70

2.5. Zadania ...74

2.6. Odpowiedzi do zadań...76

3. Funkcja jednej zmiennej i jej własności (Krystyna Pruska)...77

3.1. Pojęcie i podstawowe własności funkcji jednej zmiennej ...77

3.2. Funkcje elementarne ...82

3.3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej ...89

3.4. Asymptoty funkcji ...101

3.5. Ciągi funkcyjne i rodzaje ich zbieżności ...103

3.6. Zadania ...108

3.7. Odpowiedzi do zadań...111

4. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej (Dorota Pekasiewicz) ...114

4.1. Pochodna funkcji i jej własności...114

4.2. Symbole nieoznaczone i reguła de L’Hospitala...127

4.3. Ekstrema lokalne, wartość najmniejsza i największa funkcji ...130

4.4. Wklęsłość i wypukłość funkcji oraz jej punkty przegięcia ...137

4.5. Badanie przebiegu zmienności funkcji ...143

4.6. Zastosowanie ekonomiczne rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej ...147

4.7. Zadania ...151

4.8. Odpowiedzi do zadań ...155

5. Szeregi liczbowe i funkcyjne (Dorota Pekasiewicz) ...169

5.1. Ogólna charakterystyka szeregów liczbowych ...169

5.2. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych...175

5.3. Szeregi funkcyjne i ogólna charakterystyka ich zbieżności...180

Spis treści

5.4. Szeregi potęgowe...183

5.5. Rozwijanie funkcji w szereg Maclaurina i Taylora ...185

5.6. Zadania ...187

5.7. Odpowiedzi do zadań...190

6. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej (Krystyna Pruska) ...192

6.1. Całka nieoznaczona i jej własności...192

6.2. Podstawowe metody całkowania ...194

6.3. Całka oznaczona Riemanna i jej własności ...206

6.4. Całki niewłaściwe ...218

6.5. Funkcja beta i funkcja gamma ...222

6.6. Zastosowania rachunku całkowego w ekonomii...224

6.7. Zadania ...226

6.8. Odpowiedzi do zadań ...229

7. Funkcje wielu zmiennych (Dorota Pekasiewicz)...232

7.1. Pojęcie funkcji wielu zmiennych ...232

7.2. Granica i ciągłość funkcji wielu zmiennych ...237

7.3. Pochodne cząstkowe i różniczkowalność funkcji wielu zmiennych...242

7.4. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych ...254

7.5. Wklęsłość i wypukłość funkcji wielu zmiennych...257

7.6. Funkcja uwikłana...259

7.7. Ekstrema warunkowe funkcji wielu zmiennych ...263

7.8. Najmniejsza i największa wartość funkcji ...267

7.9. Zastosowanie ekonomiczne funkcji wielu zmiennych...270

7.10. Zadania ...273

7.11. Odpowiedzi do zadań...277

8. Całki funkcji wielu zmiennych (Krystyna Pruska)...284

8.1. Pojęcie całki podwójnej i jej własności ...284

8.2. Zamiana całki podwójnej na iterowaną ...290

8.3. Zamiana zmiennych w całce podwójnej ...294

8.4. Niewłaściwe całki podwójne ...298

8.5. Całki wielokrotne...308

8.6. Zadania ...313

8.7. Odpowiedzi do zadań...315

9. Równania różniczkowe i różnicowe (Krystyna Pruska)...317

9.1. Pojęcie równania różniczkowego ...317

9.2. Równania różniczkowe pierwszego rzędu...319

9.3. Równania różniczkowe drugiego rzędu...332

9.4. Zastosowanie równań różniczkowych w zagadnieniach ekonomicznych...340

9.4. Równania różnicowe...341

9.5. Zadania ...347

9.6. Odpowiedzi do zadań...348

Literatura ...350

Wykaz oznaczeń ...351

Skorowidz nazw ...355

Przedmowa

Niniejszy podręcznik powstał na podstawie wykładów i ćwiczeń z analizy matematycznej i matematyki prowadzonych przez autorki na Wydziale Ekono- miczno-Socjologicznym Uniwersytetu Łódzkiego.

Elementy analizy matematycznej występują w programach studiów wszyst- kich kierunków ekonomicznych, ale w różnym zakresie i na ogół w ramach przedmiotu matematyka. Na niektórych kierunkach prowadzony jest przedmiot o nazwie analiza matematyczna.

W podręczniku tym podjęto próbę opracowania takiego zakresu analizy ma- tematycznej, aby mogli z niego korzystać studenci z różnych kierunków ekono- micznych i o różnym stopniu zaawansowania wymagań matematycznych. Czy- telnik sam powinien dokonać wyboru odpowiednich fragmentów tekstu zgodnie ze swoimi oczekiwaniami.

Zagadnienia wstępne zawierają elementy logiki, teorii mnogości i topologii.

Przedstawione są tu także zbiory liczb rzeczywistych i zespolonych oraz relacje.

W kolejnych rozdziałach zaprezentowane są ciągi liczb rzeczywistych i punktów z wielowymiarowych przestrzeni rzeczywistych, rzeczywiste funkcje jednej i wielu zmiennych oraz rachunek różniczkowy w tym zakresie, ciągi funkcji rzeczywistych, szeregi liczb rzeczywistych i funkcji rzeczywistych oraz rachunek całkowy rzeczywistych funkcji jednej i wielu zmiennych. W podręcz- niku zaprezentowane są również równania różniczkowe zwyczajne i metody ich rozwiązywania oraz elementy równań różnicowych.

Książka zawiera rozważania teoretyczne, przykłady o charakterze matema- tycznym i ekonomicznym oraz zadania do samodzielnego rozwiązania przez Czytelnika, do których podane są odpowiedzi.

Mamy nadzieję, że podręcznik ten spotka się z zainteresowaniem środowisk akademickich.

Autorki

1. Z agadnienia wstępne

1.1. Elementy logiki

Logika matematyczna jest działem matematyki, którego przedmiotem jest analiza zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych z wykorzystaniem metod i narzędzi matematycznych. Podstawowymi pojęciami są: zdanie, forma zdaniowa, funkcja zdaniowa i kwantyfikatory.

Definicja 1.1.1. Zdaniem nazywamy każde wyrażenie, któremu można przypisać jedną z ocen: prawdę lub fałsz. Prawda i fałsz to wartości logiczne zdania.

Zdania oznaczamy zwykle małymi literami, np. p, q, zaś wartość logiczną zdania – symbolem „1”, gdy jest ono prawdziwe oraz symbolem „0”, gdy jest fałszywe.

Wśród zdań wyróżniamy zdania proste i złożone. Zdania złożone składają się ze zdań prostych połączonych funktorami zdaniotwórczymi (spójnikami zdaniowymi).

Do najczęściej stosowanych funktorów zdaniotwórczych należą: negacja (), alter- natywa (), koniunkcja (), implikacja ( ) i równoważność ().

Przykłady 1.1.1. Przykładami zdań są następujące wyrażenia:

 Liczba 3 jest niewymierna.

 Romb jest kwadratem.

 Liczba 126 jest podzielna przez sześć i liczba 360 jest podzielna przez sześć.

Pierwsze i drugie wyrażenie to zdania proste, przy czym pierwsze jest prawdziwe, a drugie – fałszywe. Trzecie wyrażenie jest przykładem zdania złożonego, prawdziwego.

Definicja 1.1.2. Zdanie zawsze prawdziwe nazywamy tautologią.

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska Przykładami tautologii są zdania:

1) p   ( p ) (prawo podwójnego przeczenia), 2)  (p  q )  ( p   q) (prawo de Morgana),

3)  (p  q )  ( p   q) (prawo de Morgana), 4) (p  q)  (q   p) (prawo transpozycji), 5) (p  q)  ( p  q) (prawo implikacji), 6) [ (p  q)]  [p  ( q)],

7) (p  q)  [(p  q )  (q  p)].

Istotnym zagadnieniem rachunku zdań jest sprawdzanie, czy dane zdanie jest tautologią. W tym celu rozważa się różne układy wartości logicznych zdań prostych, wchodzących w skład rozpatrywanego zdania i wyznacza się wartość logiczną tego zdania.

Podstawowe zasady określania wartości logicznej zdań złożonych są przed- stawione w tabl. 1.1.1.

Tablica 1.1.1. Wartości logiczne negacji, alternatywy, koniunkcji, implikacji i równoważności zdań p i q

p q  p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 Źródło: opracowanie własne.

Przykłady 1.1.2.

 Zdanie p ~ p jest tautologią. Sprawdzenie wartości logicznej tego zdania związane jest z rozważeniem możliwych wariantów wartości logicznej zdania p, co przedstawione jest w tabl. 1.1.2.

Tablica 1.1.2. Wartości logiczne zdaniap~p

p ~ p p~ p

0 1 1 1 0 1 Źródło: opracowanie własne.

Zdanie p ~ p jest prawdziwe bez względu na wartość logiczną zdania p, czyli jest tautologią.

 Prawdziwość zdania [ (p  q)] [p  ( q)] sprawdzamy analogicz- nie. Wyniki zaprezentowane są w tabl. 1.1.3.

Tablica 1.1.3. Wartości logiczne zdania [ (p  q )]  [p   q)]

p q p  q  (p  q ) ~q p   q [(p  q )]

[p  (q)]

1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0 1

Źródło: opracowanie własne.

Ostatnia kolumna tabl. 1.1.3. świadczy o prawdziwości rozważanego zda- nia bez względu na wartości logiczne zdań p i q, zatem jest ono tautologią.

Definicja 1.1.3. Wyrażenie, któremu nie można przypisać wartości logicz- nej, nazywamy formą zdaniową.

Definicja 1.1.4. Funkcją zdaniową określoną na zbiorze X nazywamy wyra- żenie zawierające zmienne, które staje się zdaniem, jeśli za zmienne podstawimy konkretne wielkości. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji zdaniowej.

Funkcja zdaniowa jest formą zdaniową.

Przykłady 1.1.3.

 Wyrażenie x²13, gdzie xR, jest funkcją zdaniową, której dzie- dziną jest zbiór liczb rzeczywistych R. Dla x



2,2



ma ono wartość lo- giczną 1, a dla x



2,2



– wartość logiczną 0.

 Wyrażenie x²13, gdziexN, jest funkcją zdaniową, której dzie- dziną jest zbiór liczb naturalnych N. Dla x2 ma ono wartość logiczną 1, a dla ^xN\

 

² – wartość logiczną 0.

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska

 Wyrażenie x² y²0, gdzie x, yR to funkcja zdaniowa określona na zbiorze R. Dla

   

x,y  0,0 ma ono wartość logiczną 1, natomiast dla

   

x^,y  ^0,0 – wartość logiczną 0.

W zapisie funkcji zdaniowych wykorzystuje się symbole zwane kwantyfika- torami.

Wyróżniamy:

 kwantyfikator ogólny (duży):  – „ dla każdego…”,

 kwantyfikator szczegółowy (mały):  – „istnieje…”.

Kwantyfikatory umożliwiają skrócenie zapisu funkcji zdaniowych.

Przykłady 1.1.4.

 Funkcję zdaniową „liczba naturalna x jest liczbą parzystą” można zapisać w postaci: (x 2y).

N

y 



 Funkcję zdaniową „liczba rzeczywista x jest liczbą pierwszą” można za- pisać w postaci: ( ).

,, x y z

x z x

yyz R  



 

Rachunek kwantyfikatorów charakteryzuje się następującymi własnościami:

1) p x  p x

X x X

x ~

~    

 

  (prawo de Morgana),

2) ^~



_x^_X ^p

 

^x



^_x^_X

^

^{~ p}

^{ }

^x

^

(prawo de Morgana), 3)



^p

   

^{x q x}



^p

 

^{x q}

 

^x

x X

x X

x    



 ,

4)



p

   

x q x



p

 

x q

 

x

X x X

x X

x      ,

5)



^p

   

^{x q x}



^p

 

^{x q}

 

^x

X X x

x X

x      ,

6)



_x^_X ^p

 

^x



^



_x^_X^q

^{ }

^x



^_x^_X

^

^p

^{   }

^{x q x}

^

^,

7) _x^_X



^p

 

^{x q}

 

^x



^



_x^_X ^p

 

^{x }_x^_X^q

 

^x



^,

8) u

 

x y u

 

x y

X x Y y Y

y X

x , ,







     ,

9) u

 

x y u

 

x y

X x Y y Y

y X

x , ,







    

 ,

10) u

 

x y u

 

x y

X x Y y Y

y X

x , ,







     ,

gdzie p i q są funkcjami zdaniowymi zmiennej x o zakresie zmienności X  oraz u jest funkcją zdaniową zmiennych x i y o wartościach ze zbioru odpowied- nio X  i Y .

Kwantyfikatory znajdują zastosowanie w wielu zapisach matematycznych.

Korzysta się z nich przy formułowaniu definicji i twierdzeń.

1.2. Elementy teorii mnogości

Teoria mnogości jest działem matematyki zajmującym się badaniem ogól- nych własności zbiorów, niezależnie od elementów, z których zbiory te są utwo- rzone.

Zbiór jest pojęciem pierwotnym, niedefiniowanym. Zbiory oznaczamy du- żymi literami (np. A,B,C,) lub przedstawiamy, wypisując ich elementy

 



np. 2,4,6,8



albo podając funkcję zdaniową, którą muszą spełniać ich ele- menty ^np.

 

^{xR:x2 10}

 

. Elementy należące do zbiorów zwykle ozna- czamy małymi literami: a, b, …

Na zbiorach można wykonywać różne operacje matematyczne. Poniżej przedstawione są podstawowe definicje z nimi związane, przy czym zakładamy, że wszystkie rozpatrywane zbiory są podzbiorami pewnego ustalonego zbioru zwanego przestrzenią i oznaczonego symbolem X.

Definicja 1.2.1. Mówimy, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, co zapisuje- my AB, jeśli dla każdego elementu x zachodzi warunek: xAxB.

Znak „” nazywamy znakiem inkluzji (zawierania).

Definicja 1.2.2. Dopełnieniem zbioru A w przestrzeni X nazywamy zbiór



:



.

' x X x A

A   

Definicja 1.2.3. Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór postaci



x X :x A x B



, B

A      tzn. zbiór elementów należących przynajmniej do jednego ze zbiorów A i B.

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska

Definicja 1.2.4. Iloczynem (mnogościowym) zbiorów A i B nazywamy zbiór postaci AB



xX:xA  xB



, tzn. zbiór elementów, które nale- żą zarówno do zbioru A, jak i do zbioru B.

Definicja 1.2.5. Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór postaci



:



,

\B x X x A x B

A      tzn. zbiór elementów należących do zbioru A i nienależących do zbioru B.

Różnicę zbiorów A i B możemy zapisywać również jako A – B.

Definicja 1.2.6. Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywamy zbiór postaci AB(A\B)(B\A).

Przykłady 1.2.1.

 Niech dane będą zbiory A



^{1,2,3,4,5,6,7,8}



i B



^2,4,6,10



. Wów- czas A B



2,4,6



, A B



1,2,3,4,5,6,7,8,10



, A\B



1,3,5,7,8



,

 

10

\A

B , A B



1,3,5,7,8,10



.

 Niech będą dane zbiory A



xR: 2x13



i ^B



^{xR: x2 90}



^,

czyli A



xR: x2



, B



xR: x3x3



. Wówczas mamy



: 2



' xR x

A , B'



xR: 3x3



, ABR\{xR: 2x3},



 : 3



,



B x R x

A AB{xR: 3x2 x3}, (ponieważ



: 3 2



\B xR  x

A oraz B\A



xR: x3



).

Niech A, B, C, D będą zbiorami zawartymi w tej samej przestrzeni X . Działania na zbiorach charakteryzują się następującymi własnościami:

1) AAB, BAB, 2) ABBA,

3) (AB)CA(BC), 4) ABA, ABB, 5) ABBA,

6) (AB)CA(BC), 7) A(BC)(AB)(AC), 8) A(BC)(AB)(AC), 9) A\BA,

10) (AB)(CD)(A\D)(B\C), Morgana.

de prawa



















' ' )' ( ) 12

' ' )' ( ) 11

B A B A

B A B A

Definicja 1.2.7. Sumą uogólnioną zbiorów A_t, t gdzie T jest pewną T, rodziną (zbiorem) indeksów, nazywamy zbiór postaci t



^:t T t



^.

T

t A  x  xA

 



Definicja 1.2.8. Iloczynem uogólnionym zbiorów A_t, t gdzie T jest T, pewną rodziną (zbiorem) indeksów, nazywamy zbiór postaci



^:t T t



^.

T t

t A  x  xA

 



Symbolem R będziemy oznaczać zbiór liczb rzeczywistych, a symbolem N – zbiór liczb naturalnych.

Przykłady 1.2.2.

 Niech







  

 

 x n

R n x

A_n 1

1

: 1 dla nN, czyli

, 2 1

: 1

1 



   

 x R x

A

2 , 1 3

: 1

2 



   

 x R x

A

3 , 1 4

: 1

3 



   

 x R x

A

………..

Sumą uogólnioną zbiorów A_n, gdzie nN, jest zbiór



^{ :0 1}



^,

 A_t  x R x

N

t zaś iloczynem uogólnionym jest zbiór 

 t

N

t A Ø.

 Niech







   

 

 1

1

: ₂1 x t² R t

x

A_t dla t tzn. R

 

^1,

0 A

, 2 2

: 1

1

1 



   



 A x R x

A

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska ,

5 5 : 1

2

2 



   



 A x R x

A

……….

Sumą uogólnioną zbiorów A_t, gdzie tR, jest zbiór 



 : 0



,

 A_t x R x

R t zaś iloczynem uogólnionym jest zbiór 

 

1

 t

R

t A .

Poza iloczynem mnogościowym zbiorów określony jest iloczyn (produkt) kartezjański zbiorów.

Definicja 1.2.9. Iloczynem kartezjańskim niepustych zbiorów A i B nazy- wamy zbiór postaciAB{(x,y): xA  yB}.

Iloczyn kartezjański nie jest działaniem przemiennym, tzn. ABBA, gdy A B.

Przykłady 1.2.3.

 Niech ^A



^{1, 2, 3}



^{i B}

 

^1,1 . Iloczyny kartezjańskieA i B B są A postaci:

           



1,1, 1,1, 2,1, 2,1, 3,1, 3,1



,



 B

A^{ A}

 

^1,1

 

^{, 1,2}

 

^{, 1,3}

      

^{, 1,1, 1,2, 1,3}



B .

Interpretacja geometryczna tych zbiorów przedstawiona jest na rys. 1.2.1.

i 1.2.2.

Rysunek 1.2.1. Interpretacja geometryczna zbioru1,2,3  1,1

Źródło: opracowanie własne.

Rysunek 1.2.2. Interpretacja geometryczna zbioru ^1,1 ^{ 1,2,3}

Źródło: opracowanie własne.

 Niech A{xR:1x4}i B{yR: 3y5}. Iloczyny karte- zjańskie AB i B mają postaci: A

}, 5 3 4 1 : )

,

{(       



B x y R R x y

A

}.

4 1 5 3 : )

,

{(       



A x y R R x y

B

Interpretacje geometryczne zbiorów A i B B przedstawione są od-A powiednio na rys. 1.2.3 oraz 1.2.4.

Rysunek 1.2.3. Interpretacja geometryczna zbioru } 5 3 : { } 4 1 :

{xR x  yR y

Źródło: opracowanie własne.

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska Rysunek 1.2.4. Interpretacja geometryczna zbioru

} 4 1 : { } 5 3 :

{xR x  yR  y

Źródło: opracowanie własne.

1.3. Relacje

Podzbiór A ustalonej przestrzeni X można utożsamiać z własnością, którą posiada każdy element tego podzbioru i której nie posiada żaden element prze- strzeni X nienależący do zbioru A. Wówczas zamiast pisać xA, gdzie

, X

A piszemy A(x) i mówimy, że „x ma własność A”.

Na przykład, jeśli X jest zbiorem liczb całkowitych, a symbol A oznacza zbiór liczb podzielnych przez pięć, to zamiast „x ” możemy powiedzieć A

„x jest liczbą podzielną przez pięć”.

Własność, jaką posiada każdy element wyróżnionego zbioru, identyfikujemy z tym zbiorem.

Definicja 1.3.1. Relacjami jednoczłonowymi (jednoargumentowymi) w prze- strzeni X nazywamy podzbiory tej przestrzeni.

Definicja 1.3.2. Relacjami dwuczłonowymi (dwuargumentowymi) w ilo- czynie kartezjańskim X gdzie X i Y są pewnymi przestrzeniami, nazywamy Y, podzbiory tego iloczynu kartezjańskiego.

Niech  będzie relacją dwuczłonową w iloczynie kartezjańskim X Jeżeli Y. ,

) ,

(x y  to zapisujemy to w postaci xy i odczytujemy jako „x jest w relacji  z y”.

Definicja 1.3.3. Parę

 

x, y , gdzie xA, y nazywamy parą uporząd-B, kowaną, jeśli istotna jest kolejność jej elementów. Pierwszy element (x) nazy- wamy poprzednikiem, a drugi element (y) nazywamy następnikiem.

Definicja 1.3.4. Zbiór poprzedników par uporządkowanych

 

x,y należą- cych do relacji  nazywamy dziedziną tej relacji.

Definicja ta oznacza, że dziedziną relacji  jest zbiór takich elementów x zbioru X, dla których istnieje y taki, że Y xy.

Definicja 1.3.5. Przeciwdziedziną relacji XY nazywamy zbiór na- stępników par uporządkowanych należących do .

Oznacza to, że element y należy do przeciwdziedziny relacji Y XY wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x takie, że X xy.

Przykłady 1.3.1.

 Relacją dwuczłonową w iloczynie kartezjańskim N jest zbiór N

=



^{(x,y)NN: yx3}



^, tzn. punkt xN jest w relacji  z punktem x³.

 Relacją dwuczłonową w iloczynie kartezjańskim ^R



^R

 

⁰



^,

gdzie R^ to zbiór liczb rzeczywistych dodatnich, jest zbiór



^{(x,y)RR }

 

^{0 : yx4}



 ^

 .

Uogólnienie pojęcia relacji dwuczłonowej prowadzi do definicji relacji wie- loczłonowej (wieloargumentowej).

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska

Definicja 1.3.6. Relacjami k-członowymi w iloczynie kartezjańskim ,

1 ... Xk

X   gdzie X ...,₁, X_k są dowolnymi niepustymi zbiorami, nazywamy podzbiory tego iloczynu kartezjańskiego.

Definicja 1.3.7. Relacjami k-członowymi w X (kN), gdzie X jest dowol- nym niepustym zbiorem, nazywamy podzbiory iloczynu kartezjańskiego

,

1 ... Xk

X   gdzie X₁ ...X_k X.

W przypadku relacji k-członowych w iloczynie kartezjańskim X₁ ...X_k wprowadza się pojęcie i-tej dziedziny.

Definicja 1.3.8. Niech X₁...X_k. Zbiór tych x_iX_i, dla których istnieją x_jX_j, gdzie j ,i i,j1,...,k, takie że (x₁,...,x_k), nazywamy i-tą dziedziną relacji ρ.

Relacje mogą charakteryzować się różnymi własnościami. Przedstawione są one w literaturze przedmiotu (np. Kasprowicz A., Romański J. (1984)).

1.4. Liczby rzeczywiste

Wraz z rozwojem matematyki następowało rozszerzenie pojęcia liczby. Po- czątkowo wykorzystywano liczby naturalne, czyli liczby postaci: 1, 2, 3, … Potem wprowadzone zostały liczby wymierne, a następnie niewymierne i zero oraz liczby ujemne. Kolejne rozszerzenie stanowiły liczby zespolone.

Liczby wymierne to ilorazy liczb całkowitych, przy czym dzielnik nie może być zerem.

Definicja 1.4.1. Liczby wymierne to liczby mające rozwinięcie w ułamek dziesiętny skończony lub nieskończony okresowy, a liczby niewymierne – w ułamek dziesiętny nieskończony nieokresowy.

Definicja 1.4.2. Liczba rzeczywista to liczba wymierna albo liczba niewy- mierna.

Zbiór liczb rzeczywistych (R), jest sumą mnogościową zbioru liczb wymier- nych (W) i zbioru liczb niewymiernych (NW).

W zbiorze liczb rzeczywistych R określone są dwa działania: dodawanie (x dla y x,yR) oraz mnożenie (x lub xy dlay x, yR), które posiadają następujące własności:

1) x y y x

R y

x   



, (przemienność dodawania),

2) xy yx

R y

x 



, (przemienność mnożenia),

3) ( ) ( )

,

, x y z x y z

R z y

x      

 (łączność dodawania),

4) ( ) ( )

,

, xy z x yz

R z y

x  

 (łączność mnożenia),

5) x y z xy xz

R z y

x    

 ( )

,

, (rozdzielność mnożenia względem dodawania), 6) istnieje moduł (element neutralny) dodawania i jest nim liczba 0, czyli

,

0 x 0 x

R x

R   

 



7) istnieje moduł mnożenia (inny niż moduł dodawania) i jest nim liczba 1,

czyli 1 ,

1 x x

R x

R   

 



8) dla każdych dwóch elementów x,yR istnieje element z zwany R, ich różnicą y taki, że x yxz, czyli ,

, y x z

R z R y

x   





9) dla każdych dwóch elementów x,y gdzie R, x0, istnieje element ,

w zwany ich ilorazem R y :x taki, że yxw, czyli ,

0

, y x w

R w R y x

x







 



10) dowolne dwa różne elementy x,yR znajdują się w relacji mniejszo- ści, tzn. x albo y y x,

11) jeżeli zbiór liczb rzeczywistych R podzielimy na dwa podzbiory A i B tak, że każda liczba rzeczywista należy do jednego z tych podzbiorów oraz każda liczba należąca do zbioru A jest mniejsza od każdej liczby należącej do zbioru B, to wówczas albo w zbiorze A znajduje się liczba największa, albo w zbiorze B znajduje się liczba najmniejsza (aksjomat ciągłości Dedekinda).

W przypadku dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych można stosować symbole uogólnionej sumy i iloczynu. Są one zdefiniowane następująco:

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska

2 ,

1

1 n

n

k ak a a  a



 

2 ,

1

1 n

n

k ak a a a





gdzie a₁, a₂,,a_nR.

Z własności dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych wynika, że dla R

c a a a

a₁, ₂,, _n, ,  oraz m,nNi 1mn zachodzi:

1 ,

1

1

 













 ⁿ

m

k k

m

k k

n

k ak a a

,

1

na

n a

k







,

1

1





 

 ⁿ

k k

n

k cak c a

,

1 n n k

c c





.

1

1





 

 ⁿ

k k

n k n k

a c a c

Definicje sumy i iloczynu uogólnionego możemy stosować na przykład

do zapisów: 1 2 ,



1









 ⁿ

k

k

 n 2 4 6 (2 ) (2 ) 2 .

1

1





 











 ⁿ

k n n

k

k k

 n

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada wielkość zwana modułem tej liczby.

Definicja 1.4.3. Niech a Moduł liczby a określony jest wzorem: R.









 

. 0 gdy ,

, 0 gdy ,

a a

a a a

Twierdzenie 1.4.1. Moduł liczby rzeczywistej posiada następujące własności:

1) a  a, 2)  a a a, 3) ab  a b,

4) a b  a b  ab  a b, 5) a bbab,

6) a b



ab  ab



, 7) ab  ab,

gdzie a,b R.

W odniesieniu do interpretacji geometrycznej liczby rzeczywistej można wykazać, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej, czyli na prostej, na której obrano dwa punkty: punkt zerowy O i punkt jednostkowy J. Odległość punktu odpowiadającego liczbie rzeczywistej a od punktu O na osi jest równa ,a przy czym jednostką odległości jest długość odcinka OJ.

W zbiorze liczb rzeczywistych wyróżnia się różne podzbiory. Są to wspo- mniane już zbiory: liczb naturalnych (N), wymiernych (W) i niewymiernych (NW). Ponadto, występuje zbiór liczb całkowitych (C) oraz zbiór liczb rzeczywi- stych dodatnich

 

^R i zbiór liczb rzeczywistych ujemnych

 

^R . Rozpatrywane są także przedziały liczbowe.

Definicja 1.4.4. Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi taki- mi, że a b.

a) Przedziałem otwartym (obustronnie) w zbiorze R nazywamy zbiór posta- ci

  

^{a,b  xR: axb}



^lub



^,

 

^{ xR:x}



^.

b) Przedziałem domkniętym (obustronnie) w zbiorze R nazywamy zbiór postaci a,b 



xR: axb



.

c) Przedziałem otwartym lewostronnie (domkniętym prawostronnie) w zbiorze R nazywamy zbiór postaci



^a,^b 



^x^R: ^a^x^b



lub



^,b 



^x^R:^x^b



^.

d) Przedziałem otwartym prawostronnie (domkniętym lewostronnie) w zbiorze R nazywamy zbiór postaci a,b

 

 xR: axb



lub



:



.

)

,  xR ax a

Podzbiory liczb rzeczywistych mogą charakteryzować się różnymi własno- ściami.

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska Definicja 1.4.5. Zbiór A jest R

a) ograniczony z góry, jeżeli a M,

A a R

M  





b) ograniczony z dołu, jeżeli a m,

A a R

m  





c) ograniczony (z dołu i z góry), jeżeli .

, m a M

A a R M

m   





Definicja 1.4.6. Kresem górnym zbioru ograniczonego A nazywamy R najmniejszą z liczb ograniczających ten zbiór z góry i stosujemy oznaczenie sup(A), tzn. supremum (A).

Definicja 1.4.7. Kresem dolnym zbioru ograniczonego A nazywamy R największą z liczb ograniczających ten zbiór z dołu i stosujemy oznaczenie inf(A), tzn. infimum (A).

Przykłady 1.4.1.

 Zbiór liczb naturalnych N jest zbiorem ograniczonym z dołu. Kresem dol- nym jest liczba 1.

 Przedział ^A



^0,5 jest zbiorem ograniczonym, zatem posiada kresy dol- ny i górny: inf(A) = 0, sup(A) = 5.

1.5. Liczby zespolone

W zbiorze liczb rzeczywistych R równanie postaci x²1 nie posiada roz- wiązania. Zdefiniowanie zbioru, w którym równanie to miałoby rozwiązanie, prowadzi do określenia zbioru liczb zespolonych.

Definicja 1.5.1. Niech Z będzie zbiorem postaci ^{Z }

  

^{a,b : aR,bR}



i niech



^a₁^,b₁

 

^{ a}₂^,b₂



^a₁^a₂ ^b₁^b₂^{, gdzie}



^a₁^,b₁

 

^{, a}₂^,b₂



 Zbiór Z ^Z. z określonymi następująco działaniami:



a₁,b₁

 

 a₂,b₂

 

 a₁a₂,b₁b₂



,



^a₁^,b₁

 

^{ a}₂^,b₂

 

^{ a}₁^a₂^b₁^b₂^,a₁^b₂^a₂^b₁



^,

gdzie



a₁,b₁

 

, a₂,b₂



 nazywamy zbiorem liczb zespolonych. Z,

Zbiór Z i określone w nim działania posiadają następujące własności dla dowolnych z₁,z₂,z₃ gdzie Z, z₁ 



a₁,b₁



, z₂ 



a₂,b₂



, z₃



a₃,b₃



:

1) _{1 2 2 1}

,2 1

z z z

Z z

z

z    

 (przemienność dodawania),

2) _{1 2 2 1}

,₂

1

z z z

Z z

z

z  

 (przemienność mnożenia),

3) ( _{1 2}) _{3 1} ( _{2 3})

, ,2 3 1

z z z z z

Z z

z z

z      

 (łączność dodawania),

4) ( _{1 2}) _{3 1}( _{2 3})

, ,2 3 1

z z z z z

Z z

z z

z  

 (łączność mnożenia),

5) _{1 2 3 1 2 1 3}

,

, ( )

3 2 1

z z z z z z

Z z

z z

z    

 (rozdzielność mnożenia względem

dodawania),

6) istnieje element neutralny dodawania i jest nim liczba (0,0), czyli ,

z

Z z

z

Z   

 

 



7) istnieje element neutralny mnożenia i jest nim liczba  (1,0), czyli ,

z

Z z

z

Z   

 

 



8) dla każdych dwóch elementów z₁,z₂Z istnieje element zZ, zwany ich różnicą z₁ taki, że z₂ z₁z₂z,

9) dla każdych dwóch elementów z₁,z₂Z, gdzie z₂ (0,0), istnieje ele- ment zZ, zwany ich ilorazem z₁: z₂ taki, że z₂zz₁.

W zbiorze liczb zespolonych definiuje się pojęcie liczby przeciwnej i od- wrotnej.

Definicja 1.5.2. Liczbą przeciwną do liczby zespolonej z

 

a, b nazywa- my liczbę



a, b



.

Definicja 1.5.3. Liczbą odwrotną do liczby zespolonej z

   

a, b  0,0 na- zywamy liczbę z₀ taką, że zz₀ 

 

^{1,0 .}

Liczbę odwrotną do liczby zespolonej z

 

0,0 wyznacza się, korzystając z powyższej definicji lub następującego twierdzenia.

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska

Twierdzenie 1.5.1. Liczbą odwrotną do liczby zespolonej z

 

a,b i z

 

0,0 jest liczba _{2 2} , _{2 2} .



 









 a b

b b

a a

D o w ó d:

 

, , _{2 2} , _{2 2}

 

1,0

2 2 2

2 2

2 















 



 









 

b a

ab ab b

a b a b

a b b

a b a

a . ■

W zbiorze liczb zespolonych działanie odejmowania i dzielenia wykonuje- my jako, odpowiednio, dodawanie liczby przeciwnej i mnożenie przez liczbę odwrotną:



a1^,b1

 

 a2^,b2

 

 a1^,b1

 

 a2^, b2



^,



,

 

: ,

 

,



, ₂ .

2 2 2

2 22

22 1 2 1 2 2 1

1 











 

 a b

b b

a b a a b a b a

Analogicznie jak w zbiorze liczb rzeczywistych przyjmujemy, że

.



 n

n z z z

z    

Przykłady 1.5.1.





^{1, 2}

 

^{ 1,2}



^{(3,5)}



^{14, 22}



^{(3, 5)(3, 4)(3, 5)}

).

1 , 6 ( 





     





 



 









 5

, 2 5 2 1 , 1 2 , 1 : 2 ,

1



1,0



.

5 2 5 , 2 5 4 5

1  



 



   

Oznaczmy liczbę (0, 1) symbolem i. Liczba ta posiada własność: i² 1. Zauważmy, że dla (a,b)Z zachodzi:

. ) 0 , ( ) 0 , ( ) 1 , 0 ( ) 0 , ( ) 0 , ( ) , 0 ( ) 0 , ( ) ,

(a b  a  b  a  b   a  b i

Liczby zespolone postaci (a ,0), gdzie a są utożsamiane z liczbami R, rzeczywistymi. Zamiast (a ,0) wygodniej jest czasem pisać a. Wówczas liczbę zespoloną z( ba, ) można przedstawić w postaci zabi, gdzie i(0 ,1). Definicja 1.5.4. Postacią kanoniczną liczby zespolonej z(a, b) nazywa- my wyrażenie: zabi. Wielkość a to część rzeczywista, zaś b - część urojona liczby zespolonej z.

Część rzeczywistą i część urojoną liczby zespolonej z oznaczamy, odpo- wiednio, zre oraz imz.

Postać kanoniczna liczby zespolonej ułatwia przeprowadzanie działań. Wy- konujemy je tak, jak w zbiorze wielomianów. Przypadek mnożenia liczb zespo- lonych przedstawiony jest poniżej:



















 _{2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2} ² _{1 2}

1

1, ) ( , ) ( ) ( )

(a b a b a ib a ib a a iab iba i bb

















a₁a₂ ia₁b₂ ib₁a₂ b₁b₂ (a₁a₂ b₁b₂) i(a₁b₂ b₁a₂)



a₁a₂ b₁b₂, a₁b₂ a₂b₁



.



Twierdzenie 1.5.2. W zbiorze liczb zespolonych równanie z² 1 ma dwa rozwiązania z₁ i, z₂ i.

Liczbę zespoloną z(a, b) interpretujemy graficznie jako punkt ( ba, ) w kartezjańskim układzie współrzędnych, w którym oś OX nazywana jest osią rzeczywistą, zaś OY osią urojoną.

Definicja 1.5.5. Wartością bezwzględną (modułem) liczby zespolonej bi

a

z  nazywamy wielkość z  a² b².

Wartość bezwzględną liczby zespolonej z(a ,b) interpretuje się jako od- ległość punktu (a , b) od początku układu współrzędnych.

Definicja 1.5.6. Liczbą sprzężoną do liczby zespolonej zabi nazywa- my liczbę postaci zabi.

Związek między wartością bezwzględną a sprzężeniem liczby zespolonej z określa poniższe twierdzenie.

Twierdzenie 1.5.3. Dla dowolnej liczby zespolonej z prawdziwa jest rów- ność: zz z².

D o w ó d. Dla dowolnej liczby zespolonej z abi zachodzi:



^{a bi}

 

^{a bi}



^{a2 b2i2 a2 b2 z2}

z

z          . ■

Dorota Pekasiewicz, Krystyna Pruska

Twierdzenie to możemy wykorzystać przy dzieleniu liczby zespolonych:

2 .

2 2 1 2 1

z z z z

z 



Przykłady 1.5.2.

 Na rys. 1.5.1. w kartezjańskim układzie współrzędnych przedstawiona jest liczba z(2,3), liczba do niej sprzężona z (2,3) i moduł z  13, czyli długość odcinka łączącego punkty (0, 0) i (2, –3).

Rysunek 1.5.1. Graficzna prezentacja liczby zespolonej z(2,3) oraz z i z

Źródło: opracowanie własne.

 Zbiór liczb zespolonych



^{zZ: imz0 z 2}



można przedstawić graficznie w kartezjańskim układzie współrzędnych. Rozwiązując układ nie- równości:













2 0

2

2 b

a

b , gdzie a, b oznaczają odpowiednio część rzeczywi-

stą i część urojoną liczby zespolonej z otrzymujemy następującą postać zbio- ru:



^{zZ: z}

 

^{a,b R2  b0  a2 b2 4}



. Graficzna ilustracja tego zbioru przedstawiona jest na rys. 1.5.2.