Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 6. – rozwiązania

Analiza matematyczna 2, WNE, 2018/2019 ćwiczenia 6. – rozwiązania

7 marzec 2019

Zadania

1. Udowodnij, że każda norma generowana przez produkt skalarny spełnia zależność (zwaną regułą równole- głoboku)

ku + vk²+ ku − vk²= 2(kuk²+ kvk²), dla każdych punktów u, v ∈ Rⁿ.

ku + vk²+ ku − vk²= hu + v, u + vi + hu − v, u − vi = 2hu, ui + 2hu, vi − 2hu, vi + 2hv, vi =

= 2hu, ui + 2hv, vi = 2(kuk²+ kvk²).

2. Udowodnij, że każdy produkt skalarny h·, ·i oraz norma k · k generowana przez niego spełnia następującą zależność:

hu, vi = 1

4(ku + vk²− ku − vk²), dla każdych punktów u, v ∈ Rⁿ.

ku + vk²− ku − vk²= hu + v, u + vi − hu − v, u − vi = 2hu, vi + 2hu, vi = 4hu, vi.

3. Udowodnij Twierdzenie Jordana-von Neumanna, że każda norma, która spełnia regułę równoległoboku jest generowana przez pewien produkt skalarny (wskazówka: poprzednie zadanie).

Niech

hu, vi = 1

4(ku + vk²− ku − vk²), oczywiście funkcja ta jest symetryczna ze względu na u i v.

Mamy też

hu, ui = 1

4(ku + uk²− ku − uk²) = 4kuk²/4 = kuk²­ 0, oraz równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy u = 0.

Mamy też:

kx + z + yk²+ kx + z − yk²= 2(kx + zk²+ kyk²) oraz

kx − z + yk²+ kx − z − yk²= 2(kx − zk²+ kyk²) odejmując je od siebie mamy:

−kx − z + yk²− kx − z − yk²+ kx + z + yk²+ kx + z − yk²= 2(−kx − zk²+ kx + zk²) a zatem (z definicji h·, ·, i)

hx + y, zi + hx − y, zi = 2hx, zi.

Wstawiając x = (u + v)/2, y = (u − v)/2 oraz w = z dostaję precyzyjnie, że hu, wi + hv, wi = hu + v, wi.

1

To wielokrotne stosowanie implikuje, że dla a ∈ Z,

hau, vi = ahu, vi,

co za to przy odwrotnej aplikacji daje, że

hau, vi = ahu, vi,

dla a ∈ Q. Teraz dla dowolnych u, v, niech f (a) = ahu, vi oraz g(a) = hau, vi. Obie te funkcje są ciągłe oraz zgadzają się na liczbach wymiernych, więc muszą się zgadzać dla każdego a ∈ R.

Wtedy kuk =p4kuk²/4 =q

1

4(ku + uk²− ku − uk²) =phu, ui.

4. Udowodnij, że kula jednostkowa względem dowolnej normy jest wypukła.

Niech x, y ∈ B, gdzie B jest kulą jednostkową. Wtedy dla każdego t ∈ [0, 1] mamy

kx + t(y − x)k = k(1 − t)x + tyk ¬ k(1 − t)xk + ktyk = (1 − t)kxk + tkyk ¬ (1 − t) + t = 1.

5. Niech W ⊆ Rⁿ będzie zbiorem wypukłym takim, że:

a) dla każdego v ∈ Rⁿ, istnieje t ∈ R, że v ∈ tW = {tw : w ∈ W }, b) dla każdego w ∈ W oraz r ∈ [−1, 1], rw ∈ W ,

c) istnieje R > 0, że dla każdego (w1, . . . , w_n) ∈ W , w₁²+ . . . + w²_n¬ R.

Udowodnij, że

kvk = inf{t > 0 : tv ∈ W } definiuje normę na Rⁿ.

Rzeczywiście jeśli kvk = 0, to v ∈ {0} (bowiem mamy trzeci warunek), a zatem v = 0.

Mamy tav ∈ W wtedy i tylko wtedy, gdy t|a|v ∈ W , zatem kavk = |a|kvk.

Jeśli u ∈ tW oraz v ∈ tW , to u + v = 2u/2 + 2v/2 ∈ 2tW z wypukłości W . Zatem ku + vk ¬ kuk + kvk.

2