M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

.

POZIOM ROZSZERZONY

C

: 180

Z

1

Równanie||x−1| −3| =4 ma dokładnie A) dwa rozwi ˛azania rzeczywiste.

B) jedno rozwi ˛azanie rzeczywiste. C) cztery rozwi ˛azania rzeczywiste. D) trzy rozwi ˛azania rzeczywiste.

Z

2

A) jest równa−∞ B) jest równa+∞ C) nie istnieje D) jest równa 0

Z

3

Liczba 17! jest podzielna przez

A) 71 B) 61 C) 51 D) 41

Z

4

Dane s ˛a punkty A = (−3, 4) i B = (−13, 9). Punkt C nale ˙z ˛acy do odcinka AB i taki, ˙ze AC = 1₄CBma współrz˛edne

A) C_{= (−}10, 5) B) C= (−2, 1) C) C= (−7, 6) D) C = (−5, 5)

Z

5

Funkcja f jest okre´slona wzorem f(x) = _3xx₊₆ dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x 6= −2. Wów-czas pochodna tej funkcji dla argumentu x =√2−2 jest równa

A) √_√2+3

2 B) 13 C)−1 D) 23

Pole trójk ˛ata ABC jest równe S, a długo´sci jego boków AC i BC s ˛a odpowiednio równe b i a. Na bokach AC i BC zbudowano kwadraty o ´srodkach odpowiednio D i E.

A B C D E Wyka ˙z, ˙ze DE2 = a 2_+b2 2 +2S. 3

Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste x ∈ h0, 2πi, dla których cos x 3 +  cosx 3 2 +cos x 3 3 + · · · =1. 4

Udowodnij, ˙ze je ˙zeli a, b > 0, to prawdziwa jest nierówno´s´c a3+b3 2 >  a+b 2 3 . 5

Na bokach AB, BC i CA trójk ˛ata ABC wybrano odpowiednio punkty D, E i F. Wyka ˙z, ˙ze okr˛egi opisane na trójk ˛atach ADF, BED i CFE przecinaj ˛a si˛e w jednym punkcie.

Ci ˛ag(an)jest okre´slony rekurencyjnie w nast˛epuj ˛acy sposób

( a1 =3

an+1 =an+2n+3 dla n > 1

Oblicz ile wyrazów tego ci ˛agu jest mniejszych ni ˙z 2018.

Wyka ˙z, ˙ze 1−cos2 3π 5 (cos3π₅ −1)2 =tg 2 π 5. 8

Spo´sród liczb naturalnych sze´sciocyfrowych wybieramy jedn ˛a liczb˛e. Jakie jest prawdopo-dobie ´nstwo wybrania liczby, której iloczyn cyfr jest podzielny przez 9, je ˙zeli wiadomo, ˙ze ka ˙zda cyfra wylosowanej liczby jest wi˛eksza od 1?

Wyka ˙z, ˙ze punkt o współrz˛ednych−√₂2,√46−4√2 2



jest wierzchołkiem kwadratu opisanego na okr˛egu o równaniu

x2+y2−2x√2+4y√2+2=0.

Na ´srodkowej AD podstawy ABC ostrosłupa trójk ˛atnego ABCS wybrano punkty E i F w ten sposób, ˙ze|AE| = |EF| = |FD|. Przez punkty E i F poprowadzono płaszczyzny równoległe do ´sciany SBC. Oblicz stosunek pól otrzymanych w ten sposób przekrojów ostrosłupa.

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie x3+ (m−1)x−m=0

ma dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste. Dla otrzymanych warto´sci m wyznacz te pier-wiastki.

Rozpatrujemy prostok ˛aty ABCD, których dwa wierzchołki le ˙z ˛a na osi Oy, jeden wierzcho-łek le ˙zy na paraboli okre´slonej równaniem y= 9₄x2+1, jeden wierzchołek le ˙zy na wykresie funkcji f(x) = √x okre´slonej dla x > 0. Oblicz pole tego z tych prostok ˛atów, który ma najmniejszy mo ˙zliwy obwód.

x y

A

_B

C

D