Rachunek Prawdopodobieństwa 2
Zestaw zadań nr 9
Termin realizacji: 16 I 2008
1. Tasowanie kart jest łańcuchem Markowa, w którym startując z dowolnie ułożonej talii n kart, w każdym kroku wybieramy losowo, z równym prawdopodobieństwem, liczbę j ∈ [n], a następnie j-tą kartę (licząc od góry) przekładamy na wierzch talii. Przy pomocy sprytnego sprzeżenia pokazać, że
(a) dTV (µ(m), π) ≤ ², gdy m = n log n + n log(1/²), gdzie π jest rozkładem stacjonarnym na zbiorze wszystkich n! uporządkowań talii;
(b) µ(M ) = π, gdzie M jest pierwszym momentem czasu, do którego każda karta została przełożona co najmniej raz.
2. Udowodnij, stosując, być może, teorię spacerów losowych po prostej, że czas mieszania łańcucha q-kolorującego graf G (tzn. probierza Gibbsa poznanego na wykładach), jest wielomianowy względem k = |V (G)| i log(1/²) nawet, jeśli q = 2∆(G).
1
