GAL II*
seria 5, na 15.04.2020
Rozwiązania zadań oznaczonych ♦ należy opisać na kartce, dokładnie i czytelnie. Rozwiązania pozostałych zadań wystarczy przygotować tak, żeby móc szybko i czytelnie spisać i przesłać rozwiązanie.
Zadanie 1. ♦
Znajdź rzeczywistą postać Jordana i odpowiadającą jej bazę dla macierzy
A =
1 1 0 0
−2 0 1 0
2 0 0 1
−2 −1 −1 −1
.
Zadanie 2. ♦
Niech A = {(0, 1, 0), (1, 2, 3), (0, 3, 1)} i B = {(4, 1, 2), (2, 3, 7), (1, 0, 0)} będą bazami R3. Przekształcenie φ : R3→ R3 jest dane macierzą
M (φ)BA=
1 0 1
−1 2 2
−1 −2 −4
.
Funkcjonał ψ ∈ (R3)∗ w bazie A∗ ma współrzędne (2, 3, 5).
1. Czy ψ ∈ im φ∗? 2. Czy ψ ∈ ker φ∗?
Zadanie 3.
Znajdź wszystke macierze A ∈ M2×2(R) takie, że
A3=1 −2 2 −3
.
Zadanie 4.
Znajdź wszystke macierze A ∈ M2×2(Z5) takie, że
A5=4 2 4 1
.
Zadanie 5.
Niech V ∈ VectR (nie musi być skończenie wymiarowa), a ϕ1, . . . , ϕn: V → R będą funkcjonałami na V . Definiujemy Φ : V → Rn wzorem Φ(v) = (ϕ1(v), . . . , ϕn(v)). Wykaż, że następujące warunki są równoważne:
1. ϕ1, . . . , ϕn są liniowo niezależne.
2. Φ∗ jest monomorfizmem.
3. Φ jest epimorfizmem.
4. Dla każdego i = 1, . . . , n mamyT
j6=iker ϕj6⊂ ker ϕi.
1
