M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

(1)

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

5MAJA2018

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

(2)

Z

ADANIE

1

(1PKT)

Liczbap7−4√3+p7+4√3 jest równa

A) 16 B)√14 C) 4 D) 8√3

Z

ADANIE

2

(1PKT)

Wyra ˙zenie cos x−cos 3x jest równe

A) 4 sin2xcos x B) 1−cos 4x C)−2 sin 2x sin x D) 2 cos 2x cos x

Z

ADANIE

3

(1PKT)

Pierwszy wyraz niesko ´nczonego ci ˛agu geometrycznego jest równy −1, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa ilorazowi tego ci ˛agu. Drugi wyraz tego ci ˛agu jest równy

A) −√5−1 2 B) 1− √ 5 2 C) 1+ √ 5 2 D) √ 5−1 2

Z

ADANIE

4

(1PKT)

Granica jednostronna lim

x→2−

x2−x−2

(2−x)2

A) nie istnieje B) jest równa−∞ C) jest liczb ˛a rzeczywist ˛a D) jest równa+∞

Z

ADANIE

5

(1PKT)

Układ równa ´n (

(x+2)2+ (y−1)2 =25

(x−1)2+ (y+2)2 =a z niewiadomymi x, y i parametrem dodatnim a ma dwa rozwi ˛azania, gdy

A)√a>5+3√2 B)|√a−5| < 3√2 C)√a+3√2<5 D)|√a−5| >3√2

(3)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których w´sród rozwi ˛aza ´n równania

|m−5x| =3 s ˛a zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne.

(4)

Wyka ˙z, ˙ze cos 140◦₊_{cos 100}◦₊_{cos 20}◦ ₌_0.

(5)

Na bokach AB, AD i BC rombu ABCD wybrano odpowiednio punkty K, L i M w ten spo-sób, ˙ze odcinki KL i KM s ˛a równoległe do przek ˛atnych rombu. Wyka ˙z, ˙ze odcinek LM prze-chodzi przez punkt przeci˛ecia przek ˛atnych rombu.

(6)

Wyznacz maksymalne przedziały monotoniczno´sci funkcji f(x) = x−3

(x+7)2.

(7)

Rzucamy sze´scienn ˛a kostk ˛a do gry tak długo, a ˙z otrzymamy co najmniej dwie nieparzyste liczby oczek, albo 10 parzystych liczb oczek. Oblicz prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w przeprowa-dzonym do´swiadczeniu otrzymali´smy liczb˛e oczek równ ˛a 5, przy zało ˙zeniu, ˙ze otrzymali-´smy tylko jedn ˛a nieparzyst ˛a liczb˛e oczek.

(8)

Ostrosłup prawidłowy trójk ˛atny przeci˛eto płaszczyzn ˛a, która przechodzi przez kraw˛ed´z podstawy długo´sci a oraz jest prostopadła do przeciwległej kraw˛edzi bocznej. Płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod k ˛atem α. Oblicz obj˛eto´s´c ostrosłupa.

(9)

Rozwi ˛a˙z równanie cos2 π 6 +x +cos2 π 6 −x = 1₂+cos x. 9

(10)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m ∈ R, dla których równanie x2₋_mx₊3 ₌ 0 ma

dwa ró ˙zne pierwiastki x1i x2takie, ˙ze x4₁+x₂4=46.

(11)

Wyznacz trzywyrazowy ci ˛ag geometryczny, w którym suma trzech kolejnych wyrazów jest równa 84, a ich iloczyn jest równy 13824.

(12)

Z punktu A= (7, 1)poprowadzono styczne do okr˛egu(x+3)2+ (y−1)2 =20. Oblicz pole trójk ˛ata ABC, gdzie BC jest odcinkiem ł ˛acz ˛acym punkty styczno´sci.

(13)

W kul˛e o promieniu długo´sci R wpisano sto ˙zek o maksymalnej obj˛eto´sci. Oblicz obj˛eto´s´c tego sto ˙zka.