Zadania z teorii pola I (zestaw 1 - środa 06.10.2010) Zgodnie z konwencją przyjęta na wykładzie przyjmujemy syganturę metryki: (-,+,+,+). W tym zestawie

Zadania z teorii pola I (zestaw 1 - środa 06.10.2010)

Zgodnie z konwencją przyjęta na wykładzie przyjmujemy syganturę metryki: (-,+,+,+).

W tym zestawie 𝑔 oznacza metrykę w czasoprzestrzeni Minkowskiego.

1. Niech 𝑔(𝑢, 𝑢) < 0, tzn. 𝑢 jest wektorem czasowym. Proszę pokazać, że jeśli 𝑣 ∕= 0 i 𝑔(𝑢, 𝑣) = 0 to 𝑔(𝑣, 𝑣) > 0, tzn. 𝑣 jest wektorem przestrzennym.

2. Proszę pokazać, że relacja zdefiniowana dla wektorów czasowych wzorem 𝑢 ≈ 𝑣, jeśli 𝑔(𝑢, 𝑣) < 0 jest relacją równoważności, która posiada dokładnie dwie klasy. Proszę też pokazać, że jeśli 𝑢 ≈ 𝑣, to dla dowolnego wektora zerowego 𝑛 zachodzi sign(𝑔(𝑢, 𝑛)) = sign(𝑔(𝑣, 𝑛)).

3. Proszę rozważyć jednostajnie przyspieszoną cząstkę, która porusza się w płaszczyźnie (𝑡, 𝑥) w przestrzeni Minkowskiego, tzn. 𝑔(𝑤, 𝑤) = 𝑎 ² = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, gdzie 𝑤 ^𝛼 = ^𝑑𝑢 _𝑑𝑠

jest wektorem przyspieszenia, 𝑢 - (cztero-)prędkością, 𝑠 - czasem własnym (założyć, że 𝑡(0) = 0, 𝑥(0) = 1/𝑎 i 𝑑𝑥/𝑑𝑠(0) = 0). Proszę pokazać, że linia świata tej cząstki jest hiperbolą

𝑡(𝑠) = 𝑎 ⁻¹ sinh(𝑎𝑠), 𝑥(𝑠) = 𝑎 ⁻¹ cosh(𝑎𝑠).

4. Foton z pędem 𝑘 odbija się (prostopadle) od lustra, które porusza się z (cztero-)prędkością 𝑢.

Proszę znaleźć pęd fotonu po odbiciu.

5. Proton zderza się centralnie z fotonem o temperaturze 3K. Jaka jest progowa energia protonu na zajście reakcji

𝑝 + 𝛾 = 𝑛 + 𝜋 ⁺ .

Proszę zastanowić się, jak ten efekt może wpływać na obserwowane spektrum energii promieni kosmicznych.

6. Definiujemy następujący izomorfizm pomiędzy przestrzenią 𝑉 - wektorów wodzących punktów w czasoprzestrzeni Minkowskiego, a przestrzenią 𝐻 - hermitowskich macierzy 2 × 2. Niech wektorowi 𝑥 = 𝑥 ^𝛼 𝑒 𝛼 odpowiada macierz hermitowska

ℎ = 𝑥 ^𝛼 𝜎 𝛼 =

( 𝑥 ⁰ + 𝑥 ³ 𝑥 ¹ − 𝑖𝑥 ² 𝑥 ¹ + 𝑖𝑥 ² 𝑥 ⁰ − 𝑥 ³

)

(proszę odczytać stąd postać bazy 𝜎 𝛼 ). Działanie grupy 𝑆𝐿(2, ℂ) (grupa zespolonych macierzy 2 × 2 o wyznaczniku 1) w przestrzeni 𝐻 jest zdefiniowane

𝑆𝐿(2, ℂ) ∋ 𝑈 : 𝐻 ∋ ℎ → 𝑈 ℎ𝑈 ^† ∈ 𝐻.

To działanie indukuje transformację Lorentza w 𝑉 . Proszę znaleźć transformacje Lorentza, które odpowiadają następującym macierzom z grupy 𝑆𝐿(2, ℂ)

𝑈 = ± ( 𝑒 ^𝑖𝜙/2 0 0 𝑒 ^{−𝑖𝜙/2}

)

i 𝑈 = ± ( 𝑒 ^𝜓/2 0 0 𝑒 ^−𝜓/2

) ,

gdzie 𝜙, 𝜓 ∈ ℝ.

7. Proszę pokazać, że istnieją bijekcje pomiędzy następującymi zbiorami: zbiorem hermitow- skich macierzy 2 × 2 o zerowym wyznaczniku, zbiorem zerowych kierunków w czasoprzestrzeni Minkowskiego, 2-wymiarową sferą, ℂ ∪ ∞ (rzut stereograficzny: dla ustalenia uwagi proszę wykonać rzut z bieguna 𝑆 sfery, a płaszczyznę liczb zespolonych ustawić tak aby zawierała równik sfery). Proszę pokazać, że rzut stereograficzny jest przeksztalceniem konforemnym tzn.

zachowuje kąty. Działanie grupy Lorentza (lub grupy 𝑆𝐿(2, ℂ)) indukuje więc bijektywne od-

wzorowanie płaszczyzny liczb zespolonych w siebie. Proszę pokazać, że jest to homofgrafia. Ile

zerowych kierunków może zachowywać opertator Lorentza?

8. Posługując się diagramami czasoprzestrzennymi proszę podać wyjaśnienie paradoksu dylatacji czasu (”dla obserwatora poruszającego się czas biegnie wolniej”) i ”paradoksu bliźniąt”.

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/