Zadania z teorii pola I (zestaw 2 - środa 13.10.2010) 9. Niech

Zadania z teorii pola I (zestaw 2 - środa 13.10.2010)

9. Niech n oznacza (cztero-)wektor falowy fotonu (n ⋅ n = 0), a u i u ^′ (cztero-)prędkości obser- watorów inercjalnych 𝒪 i 𝒪 ^′ (u ⋅ u = −1 = u ^′ ⋅ u ^′ ). Częstości fotonu mierzone przez 𝒪 i 𝒪 ^′ wynoszą odpowiednio 𝜔 = −n ⋅ u i 𝜔 ^′ = −n ⋅ u ^′ . Rozkładając: n = 𝜔u + k i u ^′ = 𝛾u + s, gdzie 𝛾 = −u ⋅ u ^′ , proszę sprawdzić, że u ⋅ k = 0 = u ⋅ s oraz 𝜔 ^′ = 𝛾𝜔 − s ⋅ k (efekt Dopplera).

Następnie proszę znaleźć wzór na podłużny efekt Dopplera (tzn. rozważyć przypadek, gdy (cztero-)wektory s i k są proporcjonalne).

10. Proszę pokazać za pomocą bezpośredniej konstrukcji, że dwa układy współrzędnych wystar- czają do pokrycia sfery 𝑆 ² . Wskazówka: przyjąć, że 𝑆 ² dana jest równaniem 𝑥 ² + 𝑦 ² + 𝑧 ² = 1 w przestrzeni euklidesowej i rozważyć rzuty stereograficzne, które odwzorowują punkt 𝑃 na 𝑆 ² w punkt na 𝑅 ² poprzez linię prostą z bieguna północnego (południowego) przechodzącą przez 𝑃 i przecinającą płaszczyznę 𝑧 = 0 w punkcie (𝑥, 𝑦).

11. Proszę rozważyć krzywą w 𝑅 ³ , która we współrzędnych kartezjańskich (𝑥, 𝑦, 𝑧) ma postać 𝑥(𝑡) = cos ² 𝑡, 𝑦(𝑡) = cos 𝑡 sin 𝑡, 𝑧(𝑡) = sin 𝑡 .

(a) Proszę wyliczyć składowe wektora stycznego do tej krzywej w bazie kartezjańskiej.

(b) Proszę wyrazić tę krzywą we współrzędnych sferycznych i wyliczyć składowe wektora stycznego do tej krzywej w bazie sferycznej.

(c) Proszę pokazać bezpośrednim rachunkiem, że wyniki punktów (a) i (b) są związane prawem transformacji wektora.

12. Proszę znaleźć składowe 𝑔 ^𝛼𝛽 i 𝑔 _𝛼𝛽 metryki Minkowskiego 𝑑𝑠 ² = −𝑑𝑡 ² + 𝑑𝑥 ² + 𝑑𝑦 ² + 𝑑𝑧 ² w rotującym układzie

𝑡 ^′ = 𝑡 𝑥 ^′ = (𝑥 ² + 𝑦 ² ) ^1/2 cos(𝜙 − 𝜔𝑡), 𝑦 ^′ = (𝑥 ² + 𝑦 ² ) ^1/2 sin(𝜙 − 𝜔𝑡), 𝑧 ^′ = 𝑧, gdzie tan 𝜙 = 𝑦/𝑥.

13. Mamy dwa pola wektorowe na 𝑅 ² : 𝑢 = (𝑥𝑦, 𝑥 ² + 𝑦 ² ) i 𝑣 = (𝑦 ³ , 𝑥 ³ ) w bazie kartezjańskiej.

Proszę policzyć komutator [𝑢, 𝑣].

14. Minimalizując funkcjnał

𝑆 =

∫ 𝐵

𝐴

√

− 𝑔 𝛼𝛽 (𝑥(𝜆)) 𝑑𝑥 ^𝛼 (𝜆) 𝑑𝜆

𝑑𝑥 ^𝛽 (𝜆) 𝑑𝜆 𝑑𝜆

proszę znaleźć równanie geodezyjnej łączącej punkty 𝐴 i 𝐵, w parametryzacji długością wzdłuż geodezyjnej 𝑠 (tzn. 𝜆 = 𝜆(𝑠), gdzie 𝑑𝑠 =

√

− 𝑔 𝛼𝛽 (𝑥(𝜆)) ^𝑑𝑥 _𝑑𝜆

^{(𝜆) 𝑑𝑥} _𝑑𝜆

^(𝜆) 𝑑𝜆.

15. Niech 𝑔 𝛼𝛽 będzie metryką na rozmaitości 𝑀 (we współrzędnych 𝑥 ^𝛼 ).

(a) Proszę pokazać, że wokół każdego punktu 𝑝 ∈ 𝑀 można wybrać współrzędne 𝑥 ^𝛼

, takie że 𝑔 𝛼

𝛽

(𝑝) (metryka we współrzędnych 𝑥 ^𝛼

) jest diagonalna z elementami diagonalnymi ±1.

(b) Proszę pokazać, że spośród współrzędnych z punktu (a) można wybrać takie współrzędne,

że ∂𝑔 𝛼

𝛽

∂𝑥 ^𝛾

(𝑝) = 0.

Wskazówka: Bez ograniczenia ogólności możemy przyjąc, że 𝑥 ^𝛼 (𝑝) = 0, a następnie rozważyć transformacje

𝑥 ^𝛼

(𝑥 ^𝜇 ) = 𝑏 ^𝛼 _𝜇

𝑥 ^𝜇 + 𝑐 ^𝛼 _𝜇𝜈

𝑥 ^𝜇 𝑥 ^𝜈 + 𝑂(𝑥 ³ ), 𝑥 ^𝜇 (𝑥 ^𝛼

) = 𝑏 ^𝜇 _𝛼

𝑥 ^𝛼

+ 𝑐 ^𝜇 _𝛼

𝛽

𝑥 ^𝛼

𝑥 ^𝛽

+ 𝑂(𝑥 ^′3 ).

A. Rostworowski

http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/