Zadania z teorii pola I (zestaw 3 - środa 20.10.2010)
Pochodną kowariantną wektora definiujemy w następujący sposób:
∇𝛼𝑢𝜇≡ 𝑢𝜇;𝛼 = 𝑢𝜇,𝛼+ Γ𝜇𝛼𝛽𝑢𝛼𝑢𝛽, gdzie 𝑢𝜇,𝛼≡ ∂𝛼𝑢𝜇 ≡ ∂𝑢𝜇
∂𝑥𝛼. Pochodne kowariantne tensorów o innej walencji definiujemy korzystając z faktu
∇𝛼(𝑢𝜇𝑣𝜇) = ∂𝛼(𝑢𝜇𝑣𝜇) oraz żądając, aby pochodna kowariantna spełniała regułę Leibniza:
∇𝛼(𝑢𝜇𝑣𝜈) = 𝑣𝜈∇𝛼𝑢𝜇+ 𝑢𝜇∇𝛼𝑣𝜈
16. Chcemy aby pochodna kowariantna ∇𝛼𝑢𝜇 była tensorem. Jakie jest w takim razie prawo transformacji Γ𝜇𝛼𝛽 ?
17. Proszę pokazać (przez jawne wyliczenie), że istnieje dokładnie jedna koneksja liniowa (nazywana koneksją metryczną), która spełnia warunek ∇𝛼𝑔𝜇𝜈 = 0 i jest symetryczna (tzn. Γ𝛾𝛼𝛽 = Γ𝛾𝛽𝛼).
∇𝛼𝑔𝜇𝜈 = ∂𝛼𝑔𝜇𝜈− Γ𝜌𝛼𝜇𝑔𝜌𝜈− Γ𝜌𝜈𝛼𝑔𝜌𝜇.
18. Proszę policzyć współczynniki koneksji metrycznej dla metryki euklidesowej 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2+ 𝑑𝑦2 we współrzędnych biegunowych.
19. Proszę pokazać, że (a)
Γ𝛼𝛼𝛽 = 1 2𝑔
∂𝑔
∂𝑥𝛽 , gdzie 𝑔 = ∣ det(𝑔𝛼𝛽)∣.
(b) Korzystając z (a) proszę pokazać, że
∇𝛼𝑣𝛼= 1
√𝑔∂𝛼(√𝑔𝑣𝛼), ∇𝛼∇𝛼Φ = 1
√𝑔∂𝛼[√𝑔𝑔𝛼𝛽∂𝛽Φ] dla dowolnego pola wektorowego 𝑣𝛼 i pola skalarnego Φ.
20. Proszę pokazać, że każda krzywa, której wektor styczny spełnia równanie 𝑣𝛼∇𝛼𝑣𝛽 = 𝑐𝑣𝛽, gdzie 𝑐 jest dowolną funkcją na krzywej, może być reparametryzowana tak, że spełnione jest równanie 𝑣𝛼∇𝛼𝑣𝛽 = 0 (taką parametryzację nazywamy afiniczną). Pokazać, że różne parametryzacje afiniczne związane są transformacją liniową.
A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/
