Rodzina przekształceń Boxa-Coxa (dla x  0) h

Rodzina przekształceń Boxa-Coxa (dla x  0) h p x 

x

1

p p  0

ln x p  0

0 2 4 6 8

0.5 1 1.5 2 2.5 3

Box-Cox dla p1,2,3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Box-Cox dla p1,0,-1,-2 h p  x  x ^p1

Zadanie. Znaleźć p takie, że , h p x  0 dla wszystkich   0.5 Niech x n1k  x k dla k  ^n1 ₂

Dla  k  ^2k1 _{2n 1} kwantyl q k   x k

Dla n nieparzystych

 k , h p x 

x

x

2x

x

x

p  0

ln x

ln x

2lnx



ln x

ln x

p  0

, r  n  1 2

Dla n parzystych, dane uzupełniamy o dodatkowy wyraz, równy  x 

x

2

x

2 .

Niech

u _k ^{ df}  

x x k  1, u _k ^{ df}  x _{n1k}

 x  1,

Wtedy dla ustalonego k przyjmując na chwilę dla uproszczenia oznaczenie u _k ^  u  , u _k ^  u 

fp ^df   k , h p x 

u

u

2

u

u

p  0

ln u

lnu

ln u

lnu

p  0 oraz fp jest ciągłą funkcją p.

Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania fp  0.

Zadanie to ma rozwiązanie, gdyż

p 

lim fp 

p 

lim u  p

 2 u  p  1,

p lim fp  

p 

lim u _ ^p  2

u  p  1

1

Prosta, przechodząca przez punkty  1,f1 i 1,f1 ma równanie f1  f1

2 p  1  f1

-20 -15 -10 -5 0 5

-2 -1 1 x 2

Z metody siecznych przybliżone rozwiązanie równania fp  0

jest rozwiązaniem równania

f1  f1

2 p  1  f1  0 skąd

p  f1  f1

f1  f1 



u

u

2

u

u

 ^u

^u

^2

u

u

u

u

2

u

u

 ^u _u

^u

^2



u



1 u

u

2u

1 u

u

 ^u

^u _u

^12u _u

_1

1 u

u

2u

1 u

u

 ^u

^u _u

^12u _u

_1

 1  u  u _  2u    u  u _  1  2u  

1  u  u _  2u    u  u _  1  2u  

 2u   u   21  u  u   u   u  

 1

u   1  1 u   1 Przykład 1.

k 1 2 3 4 5 6 7

x k 1 4 9 16 25 36 49 Dane są kwadratami kolejnych liczb naturalnych.

k 1 2 3

u  16

1  16 ¹⁶ ₄  4 ¹⁶ ₉  1.78

u  49

16  3.06 ³⁶ ₁₆  2.25 ²⁵ ₁₆  1. 56 p _3.061 ¹  _161 ¹  0.42 _2.251 ¹  _41 ¹  0.47 _{1. 561} ¹  _1.781 ¹  0.50 Wartości p są w pobliżu 1/2. Pierwiastek symetryzuje te dane - co było jasne od początku.

2

Przykład 2.

Odległości planet od Słońca w jednostkach astronomicznych (odległość Ziemi1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.4 0.7 1.0 1.5 5.2 9.5 19.2 30.0 39.4

1 2 3 4 5

u  13.0 7.43 5.20 3.47 u  7.58 5.77 3.69 1.83 p 0.07 0.05 0.13 0.80

Mediana wartości p, równa 0.10 jest najlepszym oszacowaniem p. Wybierając najbliższą wartośc całkowitą otrzymać można skalę, symetryzującą dane o planetach. Jest

to skala logarytmiczna. 

Poniższy diagram ilustruje tezę, że gdy dane dadzą się zsymetryzować, to najlepszą miarą typowości jest mediana

x  y ^h

 

 x ^h

 y

3