Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 7 7. UKŁADY RÓWNAŃ RÓNICZKOWYCH 7.1. Pojęcia wstępne. 7.2. Układy liniowe równań różniczkowych o współczynnikach stałych. 7.3

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 7 7. UKŁADY RÓWNAŃ RÓNICZKOWYCH

7.1. Pojęcia wstępne.

7.2. Układy liniowe równań różniczkowych o współczynnikach stałych.

7.3^*. Pojęcie o linearyzacji nieliniowego układu.

7.4^*. Pojęcie o stabilności rozwiązania.

6.1. Pojęcia wstępne

7A1 Definicja (postać normalna układu RR)

Układem RR (URR) rzędu pierwszego nazywamy układ postaci (postać normalna):

1 2

( ) ( , ( ), ( ),..., ( ))

i

i n

dx t F t x t x t x t

dt  lub krótko x_i F t x x_i( , ,_{1 2},...,x_n), i=1,...,n, (1) o n funkcjach niewiadomych x₁x t₁( ),...,x_n x t_n( ) zmiennej niezależnej t.

URR o funkcjach F₁,...,F_n liniowych względem funkcji niewiadomych nazywamy

układem RR liniowych (URRL) rzędu pierwszego. Ten układ można zapisać w postaci

1 11 1 1 1

1 1

( ) ... ( ) ( ) ( ), ...

( ) ... ( ) ( ) ( )

n n

n n nn n n

x a t x a t x t f t

x a t x a t x t f t

   



    



(URRL niejednorodnych) lub w postaci wektorowej

( ) ( ),

x A t x f t (2) gdzie

1 1 11 1

1

( ) ( ) ... ( )

... , ( ) ... , ( ) ... ( ) .

( ) ( ) ... ( )

n

ij n n

n n n nn

x f t a t a t

x f t A t a t

x f t a t a t



     

       

       

     

     

Jeżeli w URRL (2) wszystkie wyrazy wolne f t₁( ),..., f t są tożsamościowo równe zeru, _n( ) to taki układ nazywamy URRL jednorodnym.

7A2 Definicja (rozwiązanie)

Ciąg funkcji różniczkowalnych x t₁( ) ,...,x t_n( ), t( , ),a b nazywamy rozwiązaniem na przedziale

 

a b URR (1) jeżeli zamienia on wszystkie równania tego układu w ^, tożsamości na

 

^{a b . ,}

7A+B3 Definicja (zagadnienie Cauchy’ego)

Zagadnieniem Cauchy’ego lub zagadnieniem początkowym (w obszarze D( , )a b D₁, gdzie D ₁ ⁿ) nazywamy URR (1) oraz układ warunków x t₁( )₀ x₁₀,...,x t_n( )₀ x_n0 lub w postaci wektorowej

0 0

( ) ,

x t x (3) gdzie t₀( , ),(a b x₁₀,...,x_n0) x₀ D₁ (dokładniej zagadnienie: wyznaczyć rozwiązanie URR (1) które spełnia w w obszarze D warunki początkowe (3)).

7B4 Twierdzenie (o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań)

Jeżeli funkcje F₁,...,F_n wraz z pochodnymi cząstkowymi ⁱ ,

j

F x



 ^gdzie 1i j, n, są ciągłe na obszarze ( , )a b D₁  ^n1,to zagadnienie początkowe (3) na tym obszarze ma dokładnie jedno rozwiązanie. W szczególności, jeżeli współczynniki aij(t) oraz wyrazy wolne fi(t), gdzie 1i j, n, są ciągłe na przedziale

 

^{a b,} , to zagadnienie początkowe (3) ma na obszarze

(a b ) ⁿ dokładnie jedno rozwiązanie.

7A5 Definicja (układ fundamentalny) Ciąg n rozwiązań

1( )

( ) ... , 1,..., , ( , ), ( )

i i

ni

x t

x t i n t a b

x t

 

 

   

 

 

URRL jednorodnego ( )

x A t x (4) nazywamy układem fundamentalnym URRL (4) na przedziale

 

a b , jeżeli dla każdego ^,

( , )

t a b spełniony jest warunek

11 1

def

1

( ) ... ( )

det ( ) det ... 0

( ) ... ( )

n

n nn

x t x t W t

x t x t

 

 

  

 

 

. (5) Wyznacznik detW t nazywamy wrońskianem układu funkcji wektorowych ( )

1( ) ,..., _n( ).

x t x t

7A+B6 Fakt (postać rozwiązania URRL jednorodnego) Dla każdego rozwiązania

10 0

0

( ) ( ) ...

n ( ) x t x t

x t

 

 

  

 

 

i dla dowolnego układu fundamentalnego

1( ) ,..., _n( )

x t x t URRL jednorodnego (4) istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste C₁,...,C_n takie, że

0( ) 1 1( ) ... _{n n}( ), ( ( , )).

x t C x t  C x t t a b (6) Taką liniową kombinację (6) funkcji z układu fundamentalnego o dowolnych stałych jako współczynnnikach tej kombinacji nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu jednorodnego (4).

7A+B6 Fakt (postać rozwiązania URRL niejednorodnego) Niech

*1

*

*n

( )

( ) ... , ( , ), ( )

y t

y t t a b

y t

 

 

  

 

 

będzie dowolnym rozwiązaniem URRL

niejednorodnego (2) i niech x t₁( ) ,..., x t będzie układem fundamentalnym na _n( )

 

^{a b ,}

URRL jednorodnego (4). Wtedy dla każdego rozwiązania x(t), t( , )a b układu

niejednorodnego istnieją jednoznacznie określone stałe rzeczywiste C₁,...,C takie, że _n

1 1 *

( ) ( ) ... _{n n}( ) ( ), ( , ).

x t C x t  C x t  y t t a b (7)

Funkcja (7) jest rozwiązaniem ogólnym URRL niejednorodnego.

7A7 Uwaga

Inaczej mówiąc, znając jedno rozwiązanie RRL niejednorodnego i układ fundamentalny układu jednorodnego możemy podać wszystkie rozwiązania układu niejednorodnego.

7A+B8 Uwaga (metoda uzmienniania stałych) Jeżeli

11 1

1

( ) ( ) ... ,

n ( ) x t x t

x t

 

 

  

 

 

...,

1 ( ) ( ) ...

( )

n n

nn

x t x t

x t

 

 

  

 

 

jest układem fundamentalnym URRL jednorodnego (4), to funkcja wektorowa

*( ) 1( ) ( ) ...1 _n( ) ( ),_n

y t C t x t  C t x t (8) gdzie ciąg C t₁( ),...,C ( )_n t jest dowolnym rozwiązaniem układu równań

11 1 1 1

1

( ) ... ( ) ( ) ( )

... ... ... ,

( ) ... ( ) ( ) ( )

n

n nn n

n

x t x t C t f t

x t x t C t f t

  

    

   

    

    

    

(9)

jest rozwiązaniem układu (2) niejednorodnego.

7B9 Uwaga

Do układu postaci (1) sprowadzają się RR y^{( )n}  f t y y( , , ,...,^' y^(n1)) rzędu n przez

podstawienia

1

1( ) ( ), ( ) 1( ) 1 , 2,..., ,

i

i i i

d y

x t y t x t x t i n

dt



 

    tzn.

1 2

2 3

1 2

( ) ( ), ( ) ( ),

...

( ) ( , , ,..., ).

n n

x t x t x t x t

x t f t x x x

 

 



 

 7A+B10 Uwaga (metoda eliminacji)

Jedną z metod rozwiązania URR jest tzw. metoda eliminacji która polega na

sprowadzeniu rozwiązania URR przez eliminacje kolejnych funkcji niewiadomych do rozwiązania pewnego równania (lub układu równań) wyższego rzędu o jednej funkcji niewiadomej.

7A+B11 Przykład. Rozważmy układ dwóch RR rzędu pierwszego

1

2

( , , ), ( , , ) dx F t x y dt

dy F t x y dt

 



 



(10)

z dwiema funkcjami niewiadomymi ^{xx t}

 

^{, y y t}

 

. Przypuśćmy na przykład że pierwsze równanie układu (10) można rozwiązać algebraicznie ze względu na y. W tym celu wystarczy założyć, że F¹ 0.

y

 

 Mamy zatem , ,dx

y F t x dt

 

   oraz różniczkując

pierwsze równanie (10) obustronnie względem t otrzymamy:

2

1 1 2

1 2

2

( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) , , .

d x F t x y F t x y F t x y d x

F t x y F t x y t x

dt t x y d t

 

  

         Niech

1 2

( , ,C )

xx t C będzie całką ogólną tego równania. Wtedy , ,dx ( , ₁, ₂)

y F t x y t C C

dt

 

  

oraz ^{1 2}

1 2

( , , ) ( , , ) x x t C C y y t C C

 

  

 rozwiązanie ogólne układu (10).

7.2. Układy liniowe równań różniczkowych o współczynnikach stałych Rozważmy układ jednorodny RRL o stałych współcznnikach:

1 11 1 1 ,

1 1

...

...

...

n n

n n nn n

x a x a x

x a x a x

  



   



lub w postaci wektorowej x Ax, gdzie

1

... , _ij (11)

n n n

x

x A a

x



    

    

  

Korzystając z metody Eulera rozwiązania równania (11) poszukujemy rozwiązania

w postaci

x  e^t (12) Podstawiając w (11) i skracając e^t mamy zatem:

( ) 0,

A A

       (13)   gdzie  Stąd wynika że 0.

det(A   (14)  ) 0.

7A+B12 Uwaga (równanie charakterystyczne)

Równanie algebraiczne (14) jest równaniem charakterystycznym układu (11), jego pierwiastki (zespolone w ogólnym przypadku) są wartościami własnymi oraz niezerowy wektor



w (13) jest wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości własnej .

7A+B13 Twierdzenie (układ fundamentalny: metoda Eulera)

Jeżeli macierz A URRL (11) jednorodnego o stałych współczynnikach ma s różnych jednokrotnych rzeczywistych wartości własnych ₁,...,_s oraz k par różnych zespolonych jednokrotnych wartości własnych ₁i₁, ...,_k i_k, gdzie _j  dla j=1,...,k oraz 0 s+2k=n, to układ fundamentalny układu (11) jednorodnego składa się z funkcji wektorowych

1 ( 1 1) ( 1 1)

1 1 1 1 2 1

( ) ( )

2 1 2

( ) ,..., ( ) , ( ) Re( ), ( ) m( ),

..., ( ) Re( ), ( ) ( ),

s

k k k k

t

t i t i t

s s s s s s

i t i t

s k s k s k m s k

x t e x t e x t e x t e

x t e x t e



    

   

   

 

 

   

 

    

    

  

gdzie ₁,...,_s są wektorami własnymi odpowiadającymi rzeczywistym wartościom własnym ₁,...,_s, a _s1,...,_{s k} są wektorami własnymi odpowiadającymi zespolonym wartościom własnym ₁i₁, ...,_k i_k.

7A+B14 Przykład. Korzystając z metody Eulera znaleźć rozwiązanie ogólne URRL jednorodnego

, . x x y

y x y

  

   

 (15) Rozwiązanie.

Równanie charakterystyczne: det(A   ) 1 1 ²

2 2 0

1 1

  



     

 

wartości własne: ₁ 1 i,₂    wektory własne: 1 i

11

1 1 1 1

21

1 1

1 ( ) 0

1 i A i

i i

    



  

   

              układ fundamentalny:

1

1 (1 ) (1 )

1 1

2

1 2

( ) 1 1

Re( ) Re Re (cos sin )

( )

( )

cos sin

cos sin

Re , m( )

( )

sin cos

sin cos

i t i t t

t t

t

t t

t t

x t e e e t i t

y t i i

x t

t t

e t je t

x e e e

y t

t t

e t je t







     

     

      

     

   

     

        

            



rozwiązanie ogólne URRL (15):

1 2 1 2 1 2

1 2

1 2 1 2 1 2

( ) ( ) cos sin

( ) ( ) (C cos sin )

( ) ( ) sin cos .

( ) ( ) ( sin cos )

t t

t

x t x t C t C t

x t x t e t C t

C C e

y t y t C t C t

y t y t e C t C t

   

     

 

       

      

        

7A+B15 Przykład. Korzystając z metody Eulera rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego dla URRL niejednorodnego:

2 2 ,

, x x y et

y x y

   

  

 , x(0)=y(0)=0. (16)

Rozwiązanie. Mamy: 2 2 2 2

, ( ) det( )

1 1 0 1 1

et

A f t A 

 

    

 

            ( 2)( 1) 2 2  0

        wartości własne ₁ 0,₂  1 wektory własne:

1

11

1 1 1

21

2 2 1

0 ( ) 0

1 1 1

A 

   



  

   

             (wektor własny dla ₁)

2

12

2 2 2

22

2 1 2 2

1 ( ) 0

1 1 1 1

A 

   



   

   

             (wektor własny dla ₂) 

metoda uzmienniania stałych: _*( ) ₁( ) ₁ ¹ ₂( ) ₂ ² ₁( ) ¹ ₂( ) ² ,

1 1

t t t

y t C t e^ C t  e^ C t ^{ } C t ^{ } e

   

gdzie ^{1 1 2 2} _*

2 1 2 1

2 1 1 2

1 2 ( )

1 1

1 0 0

t t

t t

t t

t t t

C C C e e C

e e

y t e t e

e C C C e C e

         

             

             

          

2 1 1 t t

t e

   

  

  rozwiązanie ogólne niejednorodnego układu (16):

1 2 1 2

1 1 2 2 *

1 2

( ) 2 (2 1)

( ) ( ) ( 1)

t t

t t

t t

x t C C e t e

C e C e y t

y t C C e t e

   ^{    }

     

    

   

zagadnienie początkowe: ^{1 2 1}

1 2 2

0 (0) 2 1 1

0 (0) 1 0

x C C C

y C C C

      

 

      



rozwiązanie szczególne układu (16): ^{( ) 1 (2 1) ,} ( ) 1 ( 1) .

t t

x t t e

y t t e

   

   



7B16 Ćwiczenie. Rozwiązać URL:

3 4 2

6 6 5

x x y z

y x z

z x y z

   

  

   



Wskazówka:₁ 1,₂ 2,₃ 1, _{1 2 3}

1 0 1

0 , 1 , 1 .

1 2 0

  

     

     

     

     

     

7A17 Uwaga (metoda eliminacji dla URRL o współczynnikach stałych z dwoma funkcjami)

Rozważmy układ liniowy RR postaci:

1 2

( ), ( ).

x ax by f t y cx dy f t

  

   



Niech na przykład b  . Mamy z pierwszego równania 0 1 ₁

( ( )).

y x ax f t

b   Uzyskane wyrażenie dla y podstawiamy do drugiego równania układu, w wyniku czego

otrzymamy RRL rzędu drugiego: ¹



1



2

( ) ( ) ( )

d x ax f t d

cx x ax f t f t

dt b b

 

       

 

 

2

1

2 1

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

d x dx df t

a d ad bc x b f t d f t

dt   dt        dt

o stałych współczynnikach i z funkcją niewiadomą xx t( ).

7A18 Przykład. Korzystając z metody eliminacji rozwiązać podane zagadnienie początkowe:

2 , (0) 0, 2 2 1, (0) 0,

, (0) 0.

x x y z x

y y z y

z y z z

   

 

     

 

    

 

(17) Rozwiązanie. Z równania trzeciego mamy

y  . (18) z z Postawiając do równania drugiego z z 2z2z2z1

dochodzimy do RRLWS ze specjalną prawą stroną 1,

z  (19) z rozwiązując które: ²    0 ₁ 0,₂   1  j   0  _{1 2} 

*( ) , ( )* , *( ) 0 0 1 1 *( ) ,

z t  t A z t  A z t        A A z t   otrzymujemy t rozwiązanie ogólne RRL (19):

1 2

1 2 * 1 2

( ) ^{t t} ( ) ^t .

z t C e^ C e^ z t C C e  (20) t Podstawiamy do (18):

1 2

( ) ( ) ( ) 2 ^t 1 ,

y t z t z t C  C e   (21) t zatem do pierwszego równania układu (17): x  x y 2z 

1 1

x   x t C . (22) Rozwiązując otrzymane RR (22):

1 1 * *

1 0, 1 i 0 x t( ) At B x t, ( ) A

              

1 1 1

1 1, 1

AAt   B t C   A B  A C C  rozwiązanie ogólne RRL (22):

3 1

( ) ^t .

x t c e  t C (23) Stąd (zobacz (20), (21), (23)) otszymujemy rozwiązanie ogólne URRL (17):

3 1

1 2

1 2

( )

( ) 2 1

( )

t t

t

x t C e t C

y t C C e t

z t C C e t

   

    

   



.

Korzystając z zagadnienia początkowego:

3 1 1

1 2 2

1 2 3

0 (0) 1

0 (0) 2 1 1

0 (0) 1

x C C C

y C C C

z C C C

     

      

 

     

 

otszymamy zatem rozwiązanie szczególne

( ) 1

( ) 2 2

( ) 1

t t t

x t e t

y t e t

z t e t

   

   

   



zagadnienia (17).

7.3^*. Pojęcie o linearyzacji nieliniowego układu

W większości rozważań układy fizyczne są traktowane jako układy liniowe. Wynika to z przyjętych założeń upraszczających, zgodnie z którymi charakterystyki elementów układu są liniowe. Jednakże często takich założeń nie można przyjąć i do analizy przyjmuje się układ równań nieliniowych:

0 0

( ) ( , , ), ( ) ,

x t  f x t u x t x (24) gdzie x t ( ) ⁿ jest wektorem zmiennych (stanu układu), f x t u jest wektorem prawej ( , , )

strony (zbiorem funkcji nieliniowych), uu t( ) ^r jest wektorem wymuszeń (na przykład sterowań), zaś x₀ reprezentuje wektor danych początkowych.

W praktyce, równanie (24) rozwiązuje się zwykle metodami numerycznymi.

Ze względu na te problemy, często aproksymujemy równanie nieliniowe (24) liniowym równaniem stanu:

0 0

( ) ( ) ( ), ( ) .

x t  Ax t Bu t x t x (25) Postać macierzy A i B zależy od wyboru metody linearyzacji. Podstawowym problemem w linearyzacji nieliniowego równania (24) jest to, aby liniowe przybliżenie (25) było dobrą aproksymacją równania nieliniowego w całej przestrzeni stanu i dla czasu t → ∞. W takim przypadku przybliżenie liniowe może zapewnić jednoznaczność rozwiązania równania nieliniowego.

7B19 Przykład. Dane równanie nieliniowe

3 2

( , ) 3 4

x f t x x  x  (26) z zagadnieniem początkowym x t( )₀ x₀  przedstawić w postaci liniowego przybliżenia. 1 Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru f t x( , ) f t x( , ₀) f t x_x( , ₀)(xx₀) 8 9(x 1) 9x 1 linearyzacji funkcji f t x( , )x³3x² w otoczeniu punktu 4 x  ₀ 1

otszymamy linearyzację: x9x1, ( ) 1,x t₀  RR (26).

7.4^*. Pojęcie o stabilności rozwiązania

Przedmiotem analizy w tym rozdziale będą układy równań autonomicznych ( ) ( ), [0, ),

x t  f x t  (27) z funkcją :f ⁿ  ⁿ.

Analizę układu (26) zwykle zaczynają od badania stabilności jego rozwiązań pod wpływem małych zmian warunków początkowych. Częściowej informacji dostarczają twierdzenia o ciągłej i gładkiej zależności rozwiązania od danych początkowych.

Jednak uzyskane wyniki mają charakter lokalny, tzn. rozwiązanie zależy w sposób regularny w tym sensie, że jeśli dokonamy małego zaburzenia w chwili początkowej, to rozwiązanie zmieni się też mało dla czasu bliskiego chwili zaburzenia.

Ta informacja nic mówi o zachowaniu się rozwiązania dla długiego czasu, jeśli dokonamy małego zaburzenia.

Powstaje pytanie, jakie warunki muszą być spełnione, aby małe zaburzenie danych początkowych powodowało małą zmianę rozwiązania nawet na długim odcinku czasu. Na takie pytanie odpowiada pojęcie stabilności rozwiązania.

7B+C20 Definicja

Niech dany będzie układ równań (27) , a f jest funkcją klasy C . Mówimy, że rozwiązanie ¹ ( )

x t tego układu jest stabilne dla t  , jeśli dla każdego 0   istnieje takie 0 t ₀ 0 oraz   , 0 że każde rozwiązanie ( )x t równania (27), takie że

0 0

( ) ( ) x t x t   spełnia dla tt₀ warunek

( ) ( ) . x t x t   Jeśli dodatkowo

lim ( ) ( ) 0,

t x t x t

  

to mówimy, że rozwiązanie ( )x t równania (27) jest asymptotycznie stabilne.

7B20 Przykład. Rozważmy układ linowy w ²: , gdzie a b .

x Ax A

b a

 

   

Funkcja stała 0 ( ) 0 x t  

  

  jest rozwiązaniem tego równania. Zbadajmy stabilność tego rozwiązania. Korzystając z 7A17 Według 7A17 (zobacz też 7A+B13) rozwiązania mają postać:

1 1 2

2 1 2

( ) ( cos( ) sin( ))

( ) .

( ) ( sin( ) cos( ))

at at

x t e C bt C bt

x t x t e C bt C bt

  

 

      

Stąd

Dla a  rozwiązanie 0 x t jest niestabilne, np. a=0.2 i b=1: ( )

Dla a 0 rozwiązanie ( )x t jest asymptotycznie stabilne, np. a=-0.2 i b=1:

Rozważmy układ jednorodny RRL o stałych współcznnikach:

1 11 1 1 ,

1 1

...

...

...

n n

n n nn n

x a x a x

x a x a x

  



   



lub w postaci wektorowej x Ax, ^gdzie A[a_{ij n n}]_ . Mówimy, że ten układ jest stabilny (asymptotycznie stabilny) jeżeli jego rozwiązanie zerowe

( ) 0, 0 0,

x t  t t jest stabilne (asymptotycznie stabilne)

7B+C21 Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający stabilności URRL)

Układ (11): x Ax jednorodny RRL o stałych współczynnikach jest asymptotycznie stabilny (tzn. wszystkie rozwiązania tego układu są stabilne) wtedy i tylko wtedy gdy części rzeczywiste wartości własnych macierzy A są ujemne:

Re0,   , det(I A)0.

Dowód wynika z 7A+B13.

Praca domowa

1. Wyznaczyć rozwiązania podanych układów RR z wskazanymi warunkami początkowymi:

3 2 ,

(0) 2,

a) (0) 1;

2 8 ,

dx x y

dt x

dy y

x y

dt

  

  

   

  



(1) 0,

5 4 ,

b) 7

4 5 , (1) ;

8

t

x x y x

y x y e y e

 

 

 

     

 

0

*

0 0

,

1,

c) , 1,

0.

,

t t t

dx y z

dt x

dy x z y

dt z

dz x y dt







  

   

    

 

  

  

