Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 14-15 14. CAŁKA POWIERZCHNIOWA

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 14-15 14. CAŁKA POWIERZCHNIOWA

14.1. Całka powierzchniowa niezorientowana.

14.2. Nektóre zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych.

14.3. Elementy teorii pola.

14.4. Całka powierzchniowa zorientowana.

14.5. Nektóre zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych.

14.6 Jednolite podejście do wprowadzania całek powierzchniowych.

14.1. Całka powierzchniowa niezorientowana 14A1 Definicja (płat powierzchniowy)

Nich D będzie prostokątem domkniętym oraz niech funkcja wektorowa dwóch zmiennych ( , )r u v ( ( , ), ( , ), ( , )), gdzie ( , )x u v y u v z u v u v  , będzie ciągła i D

różnowartościowa na tym prostokącie. Płatem powierzchniowym  nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r:  { ( , ) : ( , )r u v u v D}.

14A2 Fakt (o postaci płatów powierzchniowych)

Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:

1) zz x y( , ), ( , )x y D₁, gdzie D₁ jest obszarem na płaszczyźnie Oxy ; 2) xx y z( , ), ( , )y z D₂, gdzie D₂ jest obszarem na płaszczyźnie Oyz ; 3) y y x z( , ), ( , )x z D₃, gdzie D₃ jest obszarem na płaszczyźnie Oxz . Jeżeli funkcje , ,x y z mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na odpowiednich obszarach, to płaty powierzchniowe są gładkie.

14A+B3 Twierdzenie (pole płata powierzchniowego)

Jeżeli płat gładki  jest wykresem funkcji zz x y( , ) gdzie ( , )x y  , to jego pole D wyraża się wzorem

2 2

1

D

z z

S dxdy

x y



 

 

 

  



   

Analogicznie wyglądają wzory na pola płatów gładkich, które są wykresami funkcji postaci xx y z( , ) oraz y y x z( , ).

14A4 Uwaga (oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej) Niech  { ( , ), ( , )r u v u v D} będzie gładkim płatem powierzchniowym, gdzie D jest domkniętym obszarem regularnym na płaszczyźnie. Niech dalej

 P{ D₁, D₂, , D_n} podział obszaru D na obszary regularne o rozłącznych wnętrzach;

 d_k – pole obszaru D_k;

 ( )P max{d_k:1 k n} średnica podziału P;

  {( ,u v₁^ ₁^),( ,u v₂^ ₂^), ,( ,u v_n^ _n^)}, gdzie ( ,u v_k^ _k^) D_k zbiór punktów pośrednich podziału P;

  część płata  odpowiadającego obszarowi _k D_k;

 |  pole płata _k |  , gdzie _k 1 k n;

 ( , , )x y z_k^ _k^ _k^ punkt płata  odpowiadający punktowi ( , )_k u v_k^ _k^  D_k w podanej parametryzacji r.

14A5 Definicja (całka powierzchniowa niezorientowana)

Niech funkcja f będzie ograniczona na gładkim płacie  . Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie  definiujemy wzorem

( ) 0 1

( , , ) lim ( , , ) | |

n

k k k k

P k

f x y z dS f x y z



  

 











o ile granica istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P obszaru D ani od sposobu wyboru punktów pośrednich  .

14A6 Fakt (addytywność: całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim) Niech  będzie płatem złożonym z płatów gładkich  ₁, ₂, , oraz niech f będzie _m funkcją ograniczoną na płacie  . Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie  definiujemy wzorem

1 2 m

fdS fdS fdS fdS

   

   

   

o ile całki po prawej stronie istnieją.

14A7 Fakt (linowość całki powierzchniowej niezorientowanej)

Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie  , to a) (f g dS) fdS gdS, b) (cf dS) c fdS,

    

   

    

gdzie c jest dowolną liczbą rzeczywistą.

14A+B8 Twierdzenie (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną) Jeżeli płat gładki  , jest wykresem funkcji z z x y( , ), gdzie ( , )x y D, oraz funkcja f jest ciągła na D , to wzór na zamianę całek przyjmuje postać

2 2

( , , ) ( , , ( , )) 1 ( , ) ( , )

D

z z

f x y z dS f x y z x y x y x y dxdy

x y



 

 

 

    

 

Podobne wzory mamy dla płatów gładkich opisanych równaniami ( , ), ( , ).

xx y z y y x z

14A+B9 Przykład. Obliczyć całkę powierzchniową z funkcji f x y z( , , ) po z² płacie  powierzchnia (stożka) z  x² y² odcięta płaszczyznami z0 i z 1.

Rozwiązanie. Płat  rozważany w zadaniu jest wykresem funkcji z x²  y², gdzie ( , )x y  D D_xy {( , )x y  ²: x²  y² 1}.

Mamy:

 

²

 

²

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

, , , 1

1 2 .

x y x y

x y

z x y z z dS z z dx dy

x y x y

x y

dx dy dx dy

x y x y

   

       

 

   

 

Korzystając z twierdzenia 14A+B8 o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną i dokonując w tej całce zamiany zmiennych na współrzędne biegunowe otrzymamy kolejno:

 

^{2 1 2}

2 2 2 3

0 0 0

2 4 2 2 2.

x y 2

D

z dS x y dx dy d r dr d

 



       

    

14.2. Niektóre zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych

x

O 1 y

1 z

Dx y

14A10 Fakt (pole płata)

Pole kawałkami gładkiego płata  wyraża się wzorem | | dS



 



^.

14A+B11 Przykład. Obliczyć pole części  sfery x² y² z²  zawartej 9 między płaszczyznami z1i z 2.

Rozwiązanie. Płat  jest wykresem funkcji z f x y( , ) 9x²  y², gdzie

punkty ( , )x y należą do pierścienia kołowego o środku w początku układu i promieniach:

zewnętrznym 9 1  8 i wewnętrznym 9 4  5. Wtedy

2 2

2 2

2 2 2 2

1 2

2 2

| | 1

2 9 2 9

x y

x y

dS dxdy

x y x y

   

     

 







        

  ^{ }

2 2

2 8

2

2 2 2

0 5

1 2

2 8

3 3 3 9 6 1 2 6 .

9 9 0 5

x y

dxdy rdr

d r

x y r

 

   

  

        

  

  

14A+B12 Fakt (zastosowania w fizyce)

12.1. Masa płata materialnego  o gęstości powierzchniowej masy  wyraża się wzorem m_ ( , , )x y z dS.







12.2. Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego  o gęstości powierzchniowej masy  wyrażają się wzorami:

( , , ) , ( , , ) , ( , , ) .

yz xz xy

MS x x y z dS MS y x y z dS MS z x y z dS

  













12.3. Współrzędna środka (x_C,y z_C, _C) masy płata  o gęstości powierzchniowej masy  wyrażają się wzorami: _C MS^yz, _C MS^xz , _C MS^xy.

x y z

M M M

  

12.4. Momenty bezwładności względem osi oraz względem początku układu współrzędnych płata materialnego  o gęstości powierzchniowej masy  wyrażają się wzorami:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

0

( ) ( , , ) , ( ) ( , , ) ,

( ) ( , , ) , ( ) ( , , ) .

x y

z

I y z x y z dS I x z x y z dS

I x y x y z dS I x y z x y z dS

 

 

 

 

   

    

 

 

14A+B13 Przykład. Obliczyć masę płata  o równaniu 1 ^{2 2}

( )

z 2 x y i gęstości

2 2

,

x y

   zawartego między płaszczyznami z 0,z  2.

Rozwiązanie. Płat  jest wykresem funkcji 1 ^{2 2}

( ),

z 2 x y gdzie

2 2 2

( , )x y  D D_xy {( , )x y  : x  y 4}.

Korzystając z 14A+B12.1 oraz 14A+B8 otrzymamy kolejno:

x

y z

2

O 2 Dx y

 

2 2 2 2 2 2

( ) , 1

x y

x y

z x z y D

m_ x y dS x y x y dx dy

 







 



   

   

2 2

2 2 2 5

2 3 4 2

0 0 0 0

1 4

1 25 5 1 .

2 2 15

r t

d r r dr d t t dt

rdr tdt

            

 



 

Praca domowa z całek powierzchniowych niezorientowanych

Obliczyć pole, masę oraz położenie środka masy jednorodnego płata  materialnego, gdzie  część płaszczyzny z x odcięta przez płaszczyzne x y 1, y0,z 0.

Rozwiązanie. Płat  jest wykresem funkcji z x, gdzie ( , )x y D_xy {( , )x y  2: 0  y 1 x x, [0,1]} (zobacz rysunek).

Rys.: Powierzchnia  oraz jej rzut na płaszczyznę Oxy Mamy zatem:z_x 1,z_y  0 dS  1 ( ) z_x ²(z_y)²dxdy 2dxdy.

Obliczamy pole

1 1

0 0

2 2 ... 2.

xy 2

x

D

S dS dxdy dx dy







  









 

 

Obliczamy masę

const

2 ... 2.

2

Dxy

m dS dxdy



  

 











 

Obliczamy współrzędne środka masy:

1 1 1 1 1 1

... , ... , ... .

3 3 3

C C C

x x dS y y dS z z dS

m  m  m 

     





  



  



 

14.3. Elementy teorii pola 14A14 Definicja (operator Hamiltona nabla)

Operator Hamiltona  (nabla) określamy wzorem , , . x y z

    

      14A+B15 Uwaga (gradient funkcji)

Dla funkcji f  f x y z( , , ) różniczkowalnej na obszarze D  ³ jej gradient grad f jest wektorem określonym wzorem grad f , f , f .

f f

x y z

   

       Zachodzą następujące własności (jeśli prawe strony równości poniżej są określone):

x

y z

1

1

y

1

O 1 x

Dx y

15.1) grad(af bg)agradf bgrad , gdzie ,g a b ; 15.2) grad(f g)ggrad f  f grad ;g

15.3) grad ₂ grad

grad f g f f g;

g g

  

 

 

15.4) grad ( )h f h f( ) grad ;f 15.5) f (grad )

f v v

 

 , gdzie f

v



 pochodna funkcji f w kierunku wektora v ; 15.6) gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu tej funkcji w tym punkcie i jest prostopadły do odpowiedniej warstwicy funkcji.

14A16 Przykład. Obliczyć gradienty podanych funkcji:

a) ( , , ) ( 2 ) ;^z b) ( , , ) y. f x y z x y f x y z arctg

   z

14A+B17 Uwaga (rotacja pola wektorowego)

Dla różniczkowalnego pola wektorowego F ( , , )P Q R jego rotację rot F określamy

wzorem rot , , .

i j k

R Q P R Q P

F F

x y z y z z x x y

P Q R

 

        

                  Niech dalej

funkcja f ma gradient na obszarze D  ³. oraz niech pola wektorowe ^F i G będą różniczkowalne na tym obszarze. Wtedy zachodzą własności:

17.1) rot (aFbG)arotF brot G, gdzie ,a b ;

17.2) rot (grad )U 0 ⁽dla funkcji U dwukrotnie różniczkowalnej w sposób ciągły na D );

17.2)^* rot (f F)gradf  F f rot .F

14A+B18 Przykład. Obliczyć rotacje podanych pól wektorowych:

3 2

a) F x y z( , , )(x y,2yz xz, ); b) F x y z( , , )(cos ,cos ,cos ).x y z 14A+B19 Uwaga (pole wektorowe potencjalne)

Pole wektorowe F ( , , )P Q R nazywamy potencjalnym na obszarze D  ³ jeżeli istnieje taka funkcja U U x y z( , , ) (potencjał), że F gradU na tym obszarze.

Dla pola F różniczkowalnego w sposób ciągły na obszarze domkniętym jednospójnym poniższe stwierdzenia są równoważne:

a) pole potencjalne,

b) całka krzywoliniowa z tego pola po dowolnym łuku zamkniętym w tym obszarze wynosi zero;

c) całka krzywoliniowa z tego pola w tym obszarze nie zależy od kształtu drogi całkowania:

d) rot F 0 w tym obszarze



w formie operatorowej:   F ( U)0 .



14A20 Definicja (dywergencja pola wektorowego)

Niech F ( , , )P Q R będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze D  ³. Dywergencję pola wektorowego F określamy wzorem

div P Q R.

F F

x y z

  

    

  

14B21 Fakt (własności dywergencji)

Niech funkcja f oraz niech pola wektorowe F i G będą różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze D  ³. Wtedy

21.1) div(aFbG)adivFbdivG, gdzie ,a b ; 21.2) div(f F)(grad )f F f div ;F

21.3) div(F G )G rotFF rot ;G

21.4) div (rot )F  lub w formie operatorowej0  ( F) (pole F dwukrotnie 0 różniczkowalne w sposób ciągły na D).

14A22 Przykład.Wyznaczyć dywergencję podanych pól wektorowych

3 2 4 2 2 2 3

a) F x y z( , , )(xz ,2x y ,5yz ); b) F x y z( , , )(e^xy,ln(x  y ),cos z).

14.4. Całka powierzchniowa zorientowana 14A23 Definicja (płat powierzchniowy zorientowany)

Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron (będziemy mówili, strona dodatnia), nazywamy płatem zorientowanym. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata  oznaczamy przez .

Dla płatów zamkniętych w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego stronę zewnętrzną. Dla płatów, które są wykresami funkcji postaci z f x y( , ), za stronę dodatnią przyjmujemy zwykle górną część takiego płata.

14A24 Fakt (postać wersora normalnego płata)

Jeżeli płat gładki  jest wykresem funkcji zz x y( , ), gdzie ( , )x y D to wersor

normalny n tego płata wystawiony w punkcie ( ,x y z , gdzie _{0 0}, )₀ z₀ z x y( ,_{0 0}) wyraża się wzorem

2 2 2 2 2 2

, , 1 ,

1 1 1

p q

n

p q p q p q

   

        

gdzie z( ,_{0 0}), z( ,_{0 0})

p x y q x y

x y

 

 

  . Wersor normalny można przedstawić w postaci wersora n(cos ,cos ,cos ),   gdzie    oznaczają kąty między wersorem, a , , dodatnimi częściami odpowiednio osi Ox Oy Oz , , .

14A25 Definicja (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech F ( , , )P Q R będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym . Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie  definiujemy wzorem

( , , ) ( , , ) ( , , )

( ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos ) P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

P x y z  Q x y z  R x y z  dS





  

  





Ostatni wzór oznacza zamianę całki powierzchniowej zorientowanej na całkę niezorientowaną.

14A26 Uwaga

Jeżeli  jest płatem zorientowanym zamkniętym, to wtedy piszemy ...





14A+B27 Twierdzenie (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną) Jeżeli gładki płat  zorientowany dodatnio jest wykresem funkcji zz x y( , ), gdzie

( , )x y  D 2 oraz pole wektorowe F ( , , )P Q R jest ciągłe na , to ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ( , )) ( , , ( , )) ( , , ( , )) .

D

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

z z

P x y z x y Q x y z x y R x y z x y dxdy

x y



  

       

      





Podobne równości mają miejsce, gdy płat  jest wykresem funkcji postaci xx y z( , ) lub yy x z( , ).

14A+B28 Przykład. Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną (2x z dydz) (3y 2 )z dzdx (5x 2 )y dxdy,



    



^{gdzie } jest zewnętrzną stroną

czworościanu Q ograniczonego płaszczyznami x0,y0,z0,x   y z 1.

Rozwiązanie. Powierzchnia  czworościanu składa się z czterech płatów ₁,

2, 3, 4

   (zobacz rysunek) o równaniach:

1 1

1 2

3 3

4 4

: ( , ) 0, gdzie 0 1 , [0,1] ( 0, 0);

: ( , ) 0, gdzie 0 1 , [0,1] ( 0, 0);

: ( , ) 0, gdzie 0 1 , [0,1] ( 0, 0);

: ( , ) 1 , gdzie 0 1 ,

x y

x z

y z

AOB z f x y y x x z z

AOC y f x z z x x y y

BOC x f y z z y y x x

ABC z f x y x y y x x









 

         

 

         

 

         

         [0,1] (z_x  1,z_y  1).

Rys.: Powierzchnia  oraz jej rzut na płaszczyznę Oxy Oxz Oyz, , Wersory do tych płatów (skierowane na zewnątrz) mają odpowiednio postać:

1 2 3 4

(0,0, 1), (0, 1,0), ( 1,0,0), 1 (1,1,1).

n   n   n   n  3

Korzystając ze wzoru (zobacz 14A25) na zamianę całki zorientowanej na całkę niezorientowaną, otrzymamy:

1 1

(2 ) (3 2 ) (5 2 ) 1 (5 2 ) (5 2 )

Dxy

x z dydz y z dzdx x y dxdy x y dS x y dxdy

 

            

  

1 1 1 1

2 2 3 2

0 0 0 0

1 4 3 1 7

(5 2 ) (5 ) ( 4 3 1) ;

0 3 2 0 6

x x

dx x y dy xy y dx x x dx x x x

   



 

  



  



       

x z

O

1 x z C

A Dx z

y z

C

1 y z

O Dy z

B

)

â ã)

x

y x z y

A

B C

O O

A B

1 x y Dx y

)

à á)

2 2

1 1 1 1 3

2 2

0 0 0 0

(2 ) (3 2 ) (5 2 ) (3 2 ) 2

1 (1 ) 1 1

2 (1 ) ;

0 3 0 3

Dxz

x

x z dydz y z dzdx x y dxdy y z dS zdxdy

x x

dx zdz z dx x dx

 



         

 

       

  

   

3 3

1 1 1 2 1 2 3

0 0 0 0

(2 ) (3 2 ) (5 2 ) (2 )

1 (1 ) (1 ) 1 1

0 0 ;

2 2 6 6

Dxz

y

x z dydz y z dzdx x y dxdy x z dS zdydz

z y y y

dy zdz dx dy

 



          

  

       

  

   

4

2 2

4

1 ,

1 ( ) ( ) 3

1 1 1

2

0 0 0

2 3

(2 ) (3 2 ) (5 2 )

1 1 1

(2 ) (3 2 ) (5 2 )

3 3 3

(8 6 1) (8 6 1) (8 3 )1

0

5 3

( 5 3 2)

3 2

x y

xy

z x y

dS z z dxdy dxdy

x

D

x z dydz y z dzdx x y dxdy

x z y z x y dS

x y dxdy dx x y dy xy y y xdx

x x dx x



  

      



     

       

 

 

         

     





   

1

2 0

1 11

2 .

0 6

x x

   

 

 



Korzystając teraz z addytywności całki powierzchniowej względem obszaru całkowania, otrzymamy:

1 2 3 4

(2x z dydz) (3y 2 )z dzdx (5x 2 )y dxdy ... ... ... ...

    

         

    

7 1 1 11 5

6 3 6 6 6.

    

14.5. Niektóre zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych

14A+B29 Definicja (strumień pola wektorowego)

Strumień pola wektorowego przez powierzchnię ^ (ze strony ujemnej na dodatnią) określany wzorem

( , , ) , Pdydz Qdzdx Rdxdy v x y z dS

 

 



  



W szczególności,  oznacza ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat  zorientowany (ze strony ujemnej na dodatnią), gdzie v



P x y z Q x y z R x y z( , , ), ( , , ), ( , , )



prędkość cieczy w punkcie ( , , )x y z tego płata.

14A+B30 Przykład. Obliczyć strumień  pola wektorowego F x y z( , , )( , , )x y z przez powierzchnię  – górna wewnętrzna strona półsfery x² y²z² 3,z0.

Rozwiązanie. Płat  (zorientowany ujemnie) jest wykresem funkcji

2 2 2 2 2

3 , ( , ) {( , ) : 3}.

z x y x y  D x y  x  y  Mamy zatem

2 2 , 2 2

3 3

x y

x y

z z

x y x y

 

   

    oraz wersor normalny n do powierzchni ,

skierowany do wewnątrz, ma postać (zobacz 14A24) 1 ( , , ) (cos ,cos ,cos ).

n  3 x y z     Korzystając z 14A25 otrzymamy:

2 2 2

1 ( )

xdydz ydzdx zdxdy 3 x y z dS

 

 



   



  

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

1 ( 3 ) 1

3 D 3 3

x y

x y x y dxdy

x y x y

     





            

 

2 3

2

2 2 3 cos , 2

0 0

3 sin

2 3

3 3 3 3 6 3 .

0 0

3 ^x 3

D y

dxdy rdr

d r

x y r





   



          

  

  

14A+B31 Twierdzenie (wzór Gaussa-Ostrogradskiego)

Jeżeli  jest zamkniętym zorientowanym dodatnio kawałkami gładkim płatem, który jest brzegiem obszaru domkniętego D  ³, oraz pole wektorowe F ( , , )P Q R jest

różniczkowalne w sposób ciągły na D, to

D

P Q R

Pdydz Qdzdx Rdxdy dxdydz

x y z



   

         

 

lub krótko

( )

V

F dS div F dxdydz









^.

14A+B32 Przykład. Korzystając z twierdzenia 14A+B31 Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całkę powierzchniową która jest bezpośrednio obliczona w przykładzie

14A+B28.

Rozwiązanie. Stosując wzór Gaussa-Ostrogradskiego do całki podanej w przykładzie 14A+B28 otrzymamy:

 

2 ) (3 2 ) (5 2 ) 2 3 0

1 1 5

5 5 5 1 .

3 2 6

D

D

x z dydz y z dzdx x y dxdy dxdydz

dxdydz D



        

     

 



14B33 Twierdzenie (wzór Stokesa)

Jeżeli  jest płatem kawałkami gładkim zorientowanym, którego brzeg L jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie z orientacją płata  , oraz pole wektorowe F ( , , )P Q R jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie  (łącznie z brzegiem L ), to

L

R Q P R Q P

Pdx Qdy Rdz dydz dzdx dxdy

y z z x x y



        

               

 

lub krótko

 

L

F dr rot F dS









^.

Wzór Greena jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa.

14B34 Przykład. Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć całkę krzywoliniową

( ) ( ) ( )

L

xy dx yz dy z x dz



jeżeli łuk L jest brzegiem  zorientowanym dodatnio

względem płata  , gdzie  dolna strona stożka z x² y²  odciętego płaszczyzną 1 z 0.

Praca domowa z całek powierzchniowych zorientowanych

Korzystając z twierdzenia 14A+B31 Gaussa-Ostrogradskiego oraz bezpośrednio obliczyć strumień  pola wektorowego F (xz xy yz, , ) przez zewnętrzną stroną powierzchni , gdzie

 jest złożona z powierzchni bocznej walca x² y²  oraz płaszczyzn 1 z0, z 2.

Wskazówka. Ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego:

2 1 2

0 0 0

( ) ( cos sin )

G

xzdydz xydxdz yzdxdy z x y dxdydz d rdr z r r dz

   



 



  



  

  

  

...2 .

Z definicji bezpośrednio: płat  jest złożony z płatów

2 2

1 1

2 2

2 2

2

3 3

2

4 4

: ( , ) 0, gdzie 1 (dolna podstawa walca);

: ( , ) 1, gdzie 1 (górna podstawa walca);

: ( , ) 1 , gdzie 1 1, 0 2);

: ( , ) 1 , gdzie 1 1, 0 2).

z f x y x y

y f x z x y

x f y z y y z

x f y z y y z

    

    

        

         

Mamy zatem

1 2 3 4

... ... ... ... ... 2 .

xzdydz xydxdz yzdxdy 

    

 



  

   

    

14.1. Jednolite podejście do wprowadzania całek powierzchniowych Rozważmy powierzchnię  . Wybierając współrzędne krzywoliniowe u i v ³ (zobacz Rys. 1), równanie  możemy zapisać w postaci

( , ), ( , ) 2

r r u v u v  D (1)

Rys. Współrzędne krzywoliniowe x

y z

O

vr



ur



 ^, 

r u v

 ^, 

r u u v v

Niech dalej M M M M , ₁, ₂, ₃ będą punktami z wektorami wodzącymi ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) _{u u} ,

r u v r u v v r u u v r u v    r r gdzie odpowiednio ( , ) ( , ),

ur r u u v r u v

      _ur r u v( ,   v) r u v( , ). Wtedy pole S równoległoboku

1 2 3

, , ,

M M M M wyraża się wzorem

u u ,

r r

S r r u v

u v

 

         

  (2) gdzie funkcje u i v są rosnące.

Powierzchnię  można zorientować, wybierając stronę dodatnią lub uje mną przez odpowiedni wektor normalny n tej powierzchni (strony).

Wtedy całkę powierzchniową definiujemy i badamy w zgodnie z jednolitym podejściem wprowadzania całek krzywoliniowych.

14A+B35 Uwaga (Całka powierzchniowa)

Całka niezorientowana Całka zorientowana Mamy:

a) powierzchnię  niezorientowaną a) powierzchnię  zorientowaną W obszarze D   jest określone

b) pole skalarne b) pole wektorowe ( ) ( , , )

uu M u x y z F F M( )( ( , , ), ( , , ), ( , , ))P x y z Q x y z R x y z na przykład, pole masy ( ( , , )u x y z na przykład, pole ruchu cieczy jest gęstością powierzchniową ( ( )F M jest prędkość cieczy w punkcie M x y z( , , )) w punkcie M x y z( , , ))

Wprowadzamy element powierzchni c) skalarny c) wektorowy

r r ,

dS dudv

u v

 

 

  r r ,

dS dS n dudv

u v

 

   

 

gzie funkcje ,u v są rosnące gdzie u v są takie, że kierunek , r r

u v

 

  jest zgodny z kierunkiem wersora n

Badamy problem

d) obliczania masy m_ powierzchni  d) obliczania strumieniu  (cieczy) pola wektorowego F przez

stronę dodatnią powierzchni  Korzystając z powierzchni (płatu ) elementarnej

 dla powierzchni niezorientowanej m  dla powierzchni zorientowanej obliczamy różniczki masy dm i strumieniu d :

e) dmu M( )u x y z dS( , , ) e) ^{( ) ( ( )cos} ( )cos ( )cos )

d F M dS P M

Q M R M dS



 

   

 Całkując po powierzchni  , otrzymamy f) całkę powierzchniową f) całkę powierzchniową niezorientowaną (I rodzaju), zorientowaną (II rodzaju), tzn.

tzn. masę m_ powierzchni  : strumień  pola F przez stronę dodatnią powierzchni  :

( ) m_ u M dS







 F M dS( ) ( (P M)cos

 

 







 ( , , )

u x y z dS



 Q M( )cos R M( )cos ) dS Ostatni wzór daje przejść od całki zorientowanej F M dS( )



 ^{do całki}

niezorientowanej ( (P M)cos Q M( )cos R M( )cos ) dS



 



. Stąd wynika, że mamy

umieć obliczyć całkę niezorientowaną.

14A36 Definicja (płat gładki)

Gładkim płatem powierzchniowym  (względem płaszczyznyOxy ) będziemy nazywać wykres funkcji

( , ), ( , ) ,

z f x y x y  (3) D klasy C D , gdzie ¹( ) D jest obszarem regularnym domkniętym o jednospójnym wnętrzu

D  2.

14A+B37 Twierdzenie (zamiana całki powierzchniowej na całkę podwójną) Niech  będzie gładkim płatem powierzchniowym o równaniu (3), a funkcja

( ) ( , , )

u M u x y z jest ciągła w D . Wtedy

2 2

( , , ) ( , , ) 1 ( _x( , )) ( _y( , ))

D

u x y z dS u x y z f x y f x y dxdy



 

  

 

(4)

gdzie ,x y są rosnące.

Schemat dowodu. Współrzędne x y możemy przyjąć za współrzędne , krzywoliniowe ,u v na  . Wtedy mamy

2 2 2 2

( , , ), (1,0, ), (0,1, ), 1 0 ,

0 1

1 ( ) ( ) , 1 ( ) ( ) .

x y x x y

y

x y x y

i j k

r r r r r r

r x y z z z z z i z j k

u x v y u v

z r r

z z dS z z dxdy

u v

          

            

     



           

 

Korzystając z 4A2, dochodzimy do (4), co kończy dowód.

4A38 Uwaga

Jeżeli powierzchnia  jest zamknięta, to całkę powierzchniową oznaczamy symbolem



 Zwykle przyjmujemy, że dodatnią stroną powierzchni zamkniętej jest strona zewnętrzna.

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 15 15. ELEMENTY NUMERYCZNYCH METOD OBLICZENIOWYCH

15.1. Wstęp.

15.2. Interpolacja.

15.3. Aproksymacja.

15.1. Wstęp

Metody numeryczne są ze swojej natury metodami przybliżonymi, zatem otrzymywane w ten sposób wyniki są obarczone zwykle pewnym błędem. Jest rzeczą bardzo ważną, aby inżynier stosujący metody numeryczne miał świadomość tego faktu i by potrafił w każdym przypadku oszacować popełniony błąd. Wiąże się z tym zagadnienie wyboru odpowiedniej metody, w szczególności problem szybkości zbieżności metody do rozwiązania dokładnego w przypadku metod iteracyjnych.

15.2. Interpolacja

Interpolacja jest jednym ze sposobów przybliżania danej funkcji (powiedzmy f ) za pomocą innej funkcji (oznaczymy ją f ). Możemy rozpatrywać dwa zasadnicze przypadki:

1) funkcja f jest przedstawiona wzorem, zwykle skomplikowanym – nie potrafimy wtedy wyznaczyć jej wartości (nawet dla stosunkowo prostej funkcji ( ) sinf x  x nie możemy obliczyć – bez użycia tablic lub kalkulatora – wartości np. sin(0,5) );

2) funkcja f jest przedstawiona w postaci tabelki, tzn. znamy wyłącznie jej wartości w pewnych punktach x x₀, ,₁ ,x_k, gdzie k jest pewną liczbą naturalną. Ma to miejsce np. wtedy, gdy dokonujemy pomiaru pewnej wielkości fizycznej co pewien określony czas T , np. odczytujemy co T 1s odległość przebytą przez poruszający się obiekt.

W przypadku 1) funkcję f nazywamy funkcją teoretyczną, w przypadku 2) funkcją doświadczalną.

Funkcja f (przybliżająca funkcję f ) powinna wyrażać się prostym wzorem, aby jej wartość można było łatwo obliczyć. Jednocześnie błąd przybliżenia: ( )f x  f x( ) dla każdego punktu x D (gdzie D dziedzina funkcji f ) powinien być możliwie mały, tzn. funkcję f wybrać w odpowiedni sposób.

Celem interpolacji funkcji doświadczalnej jest wyznaczenie jej przybliżonych wartościach w takich punktach, których nie ma w tabelce tej funkcji.

15A1 Uwaga (interpolacja Lagrange’a – wzór wielomianu interpolacyjnego)

Najprostszym sposobem interpolacji jest przybliżenie funkcji f za pomocą wielomianu n -tego stopnia, gdy n jest liczbą naturalną. Oznaczmy

1

1 1 0

( ) _n( ) _n ⁿ _n ⁿ ,

f x W x a x a _x ^ a xa

gdzie a a₀, ,₁ ,a_n1,a_n są liczbami rzeczywistymi, x jest zmienną niezależną.

Ponieważ chcemy, aby wielomian W_n nie różnił się zbytnio od funkcji f , więc rozsądnie jest przyjąć, że wartości wielomianu i funkcji w punktach x x₀, ,₁ ,x_nk są identyczne (niestety, zazwyczaj tylko w tych punktach), tzn. że

0 0 1 1

( ) ( ), ( ) ( ), , ( ) ( ).

n n n n n

W x  f x W x  f x W x  f x Punkty x x₀, ,₁ ,x_nk nazywamy węzłami interpolacyjnymi.

Z powyższego mamy:

1

0 1 0 1 0 0 0

1

0 1 1 1 1 1 1

1

0 1 1

( ) ( ) ( )

n n

n n

n n

n n

n n

n n n n n n

a a x a x a x f x

a a x a x a x f x

a a x a x a x f x

 

 

 

     

     



     



15A+B2 Fakt (interpolacyjny wzór Lagrange’a)

Wielomian W_n spełniający powyższe warunki można przedstawić w postaci

) 0

( ) ( )

( ) ,

( )( )

n

k n

k k k

x f x

W x x x x



 





 

gdzie ( ) x jest dowolną różniczkowalną funkcją która ma punkty x x₀, ,₁ ,x_nk jako pierwiastki krotności 1 oraz wyrażenie ( )

k

x x x



 jest określony w punkcie x_k w sposób ciągły, w szczególności, dla ( )x (xx₀) ( x x₁) ... (  x x_n) otrzymamy

postać Lagrange’a wielomianu interpolacyjnego:

    

         

    

    

    

1 2 0 2

0 1

0 1 0 2 0 1 0 1 2 1

0 1 1

1 2 1

( ) ( ) ( )

( ) .

n n

n

n n

n n

n n n n

x x x x x x x x x x x x

W x f x f x

x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

f x x x x x x x





     

  

     

  

   

15B+C3 Uwaga

Interpolacyjny wzór Lagrange’a pozostaje prawidłowym w dziedzinie zespolonej i może być uogólnione dla nieskończonej liczby wielokrotnych węzłów (odpowiedni szeregi mają być zbieżne).

15A+B4 Przykład. Wyznaczyć wielomian interpolacyjny W₂ (stopnia drugiego) dla funkcji ( )f x sinx i węzłów interpolacji ₀ 0, ₁ , ₂ .

x  x 2 x  Obliczyć za pomocą  wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a przybliżoną wartość sin .

8

 

  

Rozwiązanie:

  

     



⁰



²



1 2

2 0 1

0 1 0 2 1 0 1 2

( ) ( ) x x x x ( ) x x x x

W x f x f x

x x x x x x x x

 

 

  

   

  



0



1

  

2

2 2

2 0 2 1

4 4

( ) .

2 2

x x x x x x

f x x x

x x x x



   

  

   

   

Stąd

2 2

4 4

sin 0, 4375

8 64 8

  

 

     

   , gdzie 0,3927.

8

 _

15A5 Uwaga

Przybliżoną wartość sin 8

 

   moglibyśmy obliczyć używając jedynie podstawowych działań arytmetycznych. Wartość stablicowana różni się od obliczonej i wynosi

0,3827.

15.3. Aproksymacja

Aproksymacja funkcji f dla x[ , ]a b jest sposobem jej przybliżania za pomocą innej funkcji f , podobnie jak interpolacja, jednak aproksymacja jest pojęciem ogólniejszym – inaczej mówiąc, interpolacja jest szczególnym przypadkiem aproksymacji. Stosując aproksymację nie musimy wymagać, by wartości funkcji f i f były identyczne w pewnych punktach, które nazwaliśmy węzłami. Powyższe wymaganie może w przypadku funkcji doświadczalnej nie mieć sensu. Jest tak wtedy, gdy wartości funkcji doświadczalnej, otrzymane w wyniku pomiaru, są obarczone dużym błędem. Wówczas żądanie by wykres funkcji przybliżającej f przechodził dokładnie przez punkty pomiarowe, oznaczałoby, że błąd pomiaru (którego w praktyce nie można wyeliminować) wpływa na postać funkcji f . Aby ten wpływ ograniczyć, należy poprowadzić wykres funkcji f nie przez punkty pomiarowe, ale między nimi, jednocześnie jednak tak, by dobrze przybliżyć wyniki doświadczenia. Drugim powodem, dla którego nie warto żądać, aby funkcja przybliżająca f przyjmowała w węzłach te same wartości co f , jest fakt, że często zależy nam na przybliżeniu funkcji f jednym wielomianem niskiego stopnia na całym przedziale [ , ]a b . W takim przypadku przeważnie nie wiadomo, jak wybrać węzły interpolacji, aby przybliżenie było (dla danego stopnia wielomianu) najlepsze. Stosując aproksymację nie musimy wyznaczać węzłów.