M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

.

.

POZIOM ROZSZERZONY

21KWIETNIA2018

C

: 180

Z

1

Liczba log₃6+log₉16 jest równa

A) log₃96 B) log₃12 C) log₃24 D) log₃54

Z

2

Niesko ´nczony ci ˛ag liczbowy jest okre´slony wzorem an = n

2_·√_3n+n3

(√2n+√6)3 dla n > 1. Wtedy

A) lim

n→+∞an = 1

2√2 B) limn→+∞an =0 C) limn→+∞an = +∞ D) limn→+∞an =

√

3 2√2

Z

3

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).

-5 -1 +1 +5 x

-1 +1 y

Wska ˙z wykres funkcji y = f′(x).

-5 -1 +1 +5 x -1 +1 y -5 -1 +1 +5 x -1 +1 y -5 -1 +1 +5 x -1 +1 y -5 -1 +1 +5 x -1 +1 y A) B) C) D) 2

Z

4

W trójk ˛acie równoramiennym ABC o podstawie BC dane s ˛a:|BC| =15 oraz|∡BAC| =36◦_.

Odcinek BD jest odcinkiem dwusiecznej k ˛ata ABC (zobacz rysunek).

A

B

C

D

15

36°

Wówczas długo´s´c odcinka AD jest równa

A)|AD| =15 B)|AD| =16 C)|AD| =6√5 D)|AD| =8√5

Z

5

Dany jest niesko ´nczony ci ˛ag geometryczny, w którym iloraz jest trzy razy mniejszy od pierwszego wyrazu, a suma wszystkich wyrazów tego ci ˛agu jest równa 1₂. Pierwszy wy-raz tego ci ˛agu jest równy

A) 3₇ B) 1₇ C) 7₃ D) 7

Funkcja f jest okre´slona wzorem f(x) = x+1

x2+1 dla ka ˙zdej liczby rzeczywistej x. Wyznacz

równanie stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie P_{= (−}1, 0).

Z

7

Okr ˛ag przecina boki czworok ˛ata ABCD kolejno w punktach A1, A2, B1, B2, C1, C2, D1, D2

(zobacz rysunek). A B C D A₁ A₂ B₁ B₂ C₁ C₂ D₂ D₁

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli|A₁A_{2| = |}B₁B_{2| = |}C₁C_{2| = |}D₁D_2|, to w czworok ˛at ABCD mo ˙zna wpisa´c okr ˛ag.

Oblicz jaka mo ˙ze by´c najmniejsza mo ˙zliwa długo´s´c boku BC trójk ˛ata ABC je ˙zeli|∡B AC_{| =}α i pole trójk ˛ata ABC jest równe S.

Z

9

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie  1 2x ₋109   +m = 3 ma do-kładnie jedno rozwi ˛azanie i rozwi ˛azanie to jest liczb ˛a dodatni ˛a. Wyznacz to rozwi ˛azanie.

Udowodnij, ˙ze dla ka ˙zdych dwóch liczb rzeczywistych x > 1 i y > 1 prawdziwa jest nie-równo´s´c

x(x2−2x+3) +y(y2−2y+3) >2xy+2.

Z

11

Wyznacz wszystkie rozwi ˛azania równania sin2xcos2x = 1₈ +

√

2

16 nale ˙z ˛ace do przedziału h0, πi.

Suma 2018 pocz ˛atkowych wyrazów ci ˛agu geometrycznego(a_n)jest równa 1417, a suma od-wrotno´sci tych wyrazów jest równa 109. Oblicz iloczyn 2018 pocz ˛atkowych wyrazów ci ˛agu (a_n).

Z

13

Napisz równanie okr˛egu o ´srodku P = (−2,₋7), którego punkty wspólne z okr˛egiem o równaniu x2₋8x+y2+2y+7=0 s ˛a ko ´ncami odcinka o długo´sci 4√2.

Z cyfr 0, 1, 2 tworzymy sze´sciocyfrowe liczby całkowite dodatnie podzielne przez 60. Oblicz, ile mo ˙zemy utworzy´c takich liczb.

Z

15

W ostrosłupie prawidłowym czworok ˛atnym ´sciana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod k ˛atem α ∈ 0,π

2

, a kraw˛ed´z podstawy ma długo´s´c a. Przez kraw˛ed´z pod-stawy poprowadzono płaszczyzn˛e tworz ˛ac ˛a z płaszczyzna podpod-stawy k ˛at β∈ (0, α). Wyka ˙z,

˙ze pole otrzymanego przekroju jest równe

a2sin2αcos β sin2(α+β) .

Z

16

Na rysunku poni ˙zej przedstawiono fragment wykresu funkcji f(x) = 9x−45

x−6 okre´slonej dla

x ∈ (−_{∞, 6}). Wykres ten przecina osie Ox i Oy odpowiednio w punktach B i D, a punkt A jest pocz ˛atkiem układu współrz˛ednych. Rozpatrujemy wszystkie czworok ˛aty ABCD, w których punkt C le ˙zy na wykresie funkcji y = f(x)pomi˛edzy punktami B i D.

-1 +5 x -1 +1 +5 y

A

B

C

D

Oblicz współrz˛edne wierzchołka C tego z rozpatrywanych czworok ˛atów, którego pole jest najwi˛eksze.