Statystyka i eksploracja danych
4. Statystyki dostateczne — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 4.1 Na pewnej przestrzeni probabilistycznej określamy dwie zmienne losowe: X i Y . Mają one rozkład:
X Y −1 0 1
0 1/4 1/4 1/4
1 1/8 0 1/8
Wyznacz E(X | Y ) oraz E(Y | X).
Zad. 4.2 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyznacz E(X | Y ).
Zad. 4.3 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na (0, 1), zaś rozkład warunkowy zmiennej Y pod warunkiem, że X = x, jest jednostajny na (0, x). Wyznacz rozkład łączny zmiennych X i Y , fY(y), fX|Y(x | y) i E(X | Y ).
Zad. 4.4 Niech X i Y mają rozkład jednostajny na trójkącie 0 ¬ x ¬ y ¬ 1, tzn. gęstość f (x, y) = 2 dla 0 ¬ x ¬ y ¬ 1. Wyznacz P (X > 0, 5 | Y = y) oraz E(X | Y ) i E(Y | X).
Zad. 4.5 Niech X i Y mają łączną gęstość f (x, y) = cx(y − x)e−y, 0 ¬ x ¬ y ¬ 1.
1. Wyznacz c.
2. Pokaż, że
f (x | y) = 6x(y − x)y−3, 0 ¬ x ¬ y, f (y | x) = (y − x)e−(y−x), x ¬ y < ∞.
3. Udowodnij, że E(X | Y ) = Y /2 oraz E(Y | X) = X + 2.
Zad. 4.6 (Z., Przykłady 3. i 4. str. 23) Korzystając z kryterium faktoryzacji, wykaż, że 1. jeśli X1, . . . , Xn jest próbą z rozkładu dwupunktowego
P (Xi= 1) = 1 − P (Xi = 0) = θ, to T =Pni=1Xi jest statystyką dostateczną,
2. jeśli X1, . . . , Xn jest próbą z rozkładu jednostajnego U(0, θ), θ > 0, to X(n)jest statystyką dostateczną.
Zad. 4.7 (Z., Przykład 7. str. 26) Niech X1, . . . , Xn będzie próbą z rozkładu Cauchy’ego C(θ, 1) o gęstości
fθ(x) = 1
π · 1
1 + (x − θ)2.
Wykaż, że statystyka pozycyjna (X(1), . . . , X(n)) jest minimalną statystyką dostatecz- ną.
Zad. 4.8 Statystyka T ma rozkład określony następująco:
P (T = 0) = θ(1 − θ), P (T = 1) = θ, P (T = 2) = (1 − θ)2
dla θ ∈ (0, 1). Wykaż, że T jest statystyką zupełną. (Wskazówka: wyznacz Eh(T ), przyrównaj do 0 i skorzystaj z twierdzenia o równości wielomianów).
Zad. 4.9 (Z., Przykład 11. str. 30) Niech X1, . . . , Xn będzie próbą z rozkładu gamma Γ(α, λ) z parametrem kształtu α > −1 i skali λ > 0 o gęstości
fα,λ(x) = 1
λαΓ(α)xα−1e−x/λ1I[0,∞)(x).
Wykaż, że rodzina rozkładów gamma jest rodziną wykładniczą. Wyznacz minimalną i zupełną statystykę dostateczną. Wykaż, że T =Pni=1Xi/n jest ENMW parametru αλ. (Wskazówka: Γ(α + 1) = αΓ(α)).
