Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt pn. „IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK”
realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
Kurs wyrównawczy — Analiza matematyczna Prowadzący: dr Dorota Gabor, dr Joanna Karłowska-Pik
9. Granica i ciągłość funkcji
Ćw. 9.1 Oblicz granice:
1) lim
x→2
x2 + 4 x+ 2 , 2) lim
x→−1
2
4x2− 1 2x + 1, 3) lim
x→2
x3 − 8 x− 2, 4) lim
x→3
x2 − 4x + 3 2x − 6 , 5) lim
x→−2
x+ 2 x5 + 32, 6) lim
x→4
x2− 2x − 8 x2 − 9x + 20, 7) lim
x→−1
x4 + 3x2− 4 x+ 1 ,
8) lim
x→+∞(√
x2 + 1 −√
x2− 1), 9) lim
x→25
√x− 5 x− 25, 10) lim
x→0
4x 3 sin 2x, 11) lim
x→π
2
sin x x , 12) lim
x→0
tg x 4x , 13) lim
x→0
sin 2x sin 3x, 14) lim
x→0
tg x sin x, 15) lim
x→0
sin 5x sin 3x.
Ćw. 9.2 Oblicz granice jednostronne następujących funkcji w podanych punktach i roz- strzygnij, czy funkcje te mają w tych punktach granice.
1. f(x) = |x− 1|
x− 1 + x w punkcie x = 0, 2. f(x) = x
x− 2 w punkcie x = 2.
Ćw. 9.3 Zbadaj ciągłość funkcji f(x) =
cosπx
2 dla |x| ¬ 1
|x − 1| dla |x| > 1.
1
Ćw. 9.4 Dobierz parametry a, b, c tak, aby funkcja f : R → R określona w następujący sposób:
f(x) =
sin ax
x dla x < 0
x3− 1
x2+ x − 2 dla 0 ¬ x < 1
c dla x = 1
x2+ (b − 1)x − b
x− 1 dla x > 1 ,
była ciągła na zbiorze R.
Ćw. 9.5 Określ funkcję f(x) w punkcie x = 0 tak, aby była ona ciągła. (K.W.5.62- 5.63/90)
1. f(x) = x sinπ x, 2. f(x) = sin2x
1 − cos x.
Ćw. 9.6 (B. W. 43a / 67) Zbadaj ciągłość funkcji f(x) =
x2 dla 0 ¬ x ¬ 1 2 − x2 dla 1 < x ¬ 2.
Ćw. 9.7 (B. W. 50 / 68) Dobierz a tak, żeby funkcja f(x) =
√1 + x − 1
x dla x 6= 0
a dla x = 0
była ciągła na R.
Ćw. 9.8 (B. W. 51 / 68) Niech f : R → R będzie określona następująco:
f(x) =
2 + e1x dla x < 0 sin ax
x dla x > 0
limx→0−(2 + ex1) dla x = 0.
Dobierz a tak, żeby ta funkcja była ciągła na R.
ŹRODŁO:
• W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1.
• Banaś J., Wędrychowicz S.: Zbiór zadań z analizy matematycznej.
2
