Analiza II, ISIM Lista zada« nr 1
1. Oblicz sumy dolne i górne dla podanych caªek i podziaªów:
(a) ∫1
−2x2dx; P = {−2, −1, 0, 1}, (b) ∫2
0 |x − 1|dx; P = {0,12, 1,32, 2}, (c) ∫π4
−π4 cos xdx; P = {−π4, 0,π4},
2. Oblicz caªki górne i dolne poprzez znalezienie podziaªów, dla których sumy dolne i górne s¡
blisko siebie. ∫ 1
−1xdx,
∫ 2
0
[x]dx,
∫ 2
1
x2dx,
∫ 2
0
m(x)dx.
3. Które z funkcji s¡ caªkowalne w sensie Riemanna na przedziale [0, 1]?
f (x) = x + [2x]; f (x) =
{ xdla x ∈ Q 0 dla x /∈ Q f (x) = sin1x, f (0) = 1; f (x) =
{ x2 dla x ∈ Q x dla x /∈ Q f (x) = sgn sinπx, f (0) = 0; f (x) = m(1/x), f (0) = 0.
4. Niech f b¦dzie nieujemn¡ ci¡gª¡ funkcj¡ tak¡, »e ∫b
af (x) = 0. Poka», »e f(x) = 0 dla a≤ x ≤ b.
5. Poka», »e je»eli funkcja f jest caªkowalna w sensie Riemanna na odcinku [0, 1] oraz∫1
0 f (x)dx >
0, to istnieje przedziaª [a, b] ⊂ [0, 1] taki, »e f(x) > 0 dla ka»dego x ∈ [a, b].
6. Dla pewnego podziaªu P przedziaªu [a, b] speªniony jest warunek L(P, f) = U(P, f). Co mo»na powiedzie¢ o funkcji f? Czy jest ona caªkowalna?
7. Podaj przykªad niecaªkowalnej funkcji f(x) na przedziale [a, b] takiej, »e |f(x)| jest caªkowalna.
8. Poka», »e je»eli funkcja f(x) jest parzysta na przedziale [−a, a] (tzn. f(x) = f(−x)), to
∫ a
−af (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx.
9. Poka», »e je»eli funkcja f(x) jest nieparzysta na przedziale [−a, a] (tzn. f(x) = −f(−x)), to
∫ a
−af (x)dx = 0.
10. Korzystaj¡c z poprzednich zada« wywnioskuj, »e
∫ 1
2
−12ln
(1 + x 1− x
)
dx = 0,
∫ 1
−1ecos xdx = 2
∫ 1
0
ecos xdx,
∫ π
3
−π3 x10sin9xdx = 0.
11. Poka», »e je»eli funkcja f jest monotoniczna na przedziale [0, 1], to jest caªkowalna na tym przedziale. Ponadto istnieje staªa C taka, »e
∫ 1
0
f (x)dx− 1 n
∑n k=1
f (k/n) ≤ C
n.
12. Udowodnij, »e je»eli funkcja f na przedziale [a, b] jest nieci¡gªa jedynie w sko«czonej liczbie punktów, to jest ona caªkowalna.
13. Udowodnij, »e je»eli funkcja f na przedziale [a, b] jest nieci¡gªa w przeliczalnej liczbie punk- tów i zbiór tych punktów tworzy ci¡g zbie»ny, to jest ona caªkowalna.
14. Funkcja f jest caªkowalna na przedziaªach [a, b] i [b, c]. Poka», »e jest caªkowalna na przedziale [a, c].
15. Poka», »e je»eli f(x) > 0 dla ka»dego x ∈ [0, 1] oraz f jest caªkowalna na [0, 1], to istnieje przedziaª [a, b] ⊂ [0, 1] taki, »e infx∈[a,b]f (x) > 0.
16. Poka», »e dla caªkowalnej i nieujemnej funkcji f na przedziale [0, 1] nierówno±¢
∫ 1
0
f (x)dx > 0
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór miejsc zerowych funkcji f nie jest g¦sty w [0, 1] (zbiór Ajest g¦sty, gdy w ka»dym przedziale [a, b] ⊂ [0, 1] istnieje element zbioru A).
