24.3.2024, kl 2b Ciagi rekurencyjne II Twierdzenie. Przypuscmy, ze ciag liczbowy (a

24.3.2024, kl 2b Ciagi rekurencyjne II

Twierdzenie. Przypuscmy, ze ciag liczbowy (an) spelnia równanie rekuren- cyjne

a_n+1= pa_n+ qa_n−1, p 6= 0.

Równanie x²= px + q nazywamy równaniem charakterystycznym ciagu (an).

(i) Jezeli równanie to ma dwa rózne pierwiastki x = α, β ∈ C, to istnieja stale A, B takie, ze dla kazdego n

a_n = Aαⁿ+ Bβⁿ. (ii) Jezeli zas α = β, to wzór na a_n ma postac

an= (A + Bn)αⁿ. Zadanie 1. Znajdz wzory jawne nastepujacych ciagów

(a) F1= F2= 1, Fn+1= Fn+ Fn−1; (b) a0= 2, a1= −3, an+1= 6an− 9an−1;

(c) a0= 0, a1= 20, an+1= −2an+ 8an−1+ 10; (d) a0= 5, a1= 19, an+1= 5an− 6an−1;

(e) a1= 0, a2= 6, an+2=²⁽ⁿ⁺¹⁾_n+2 a_n+1+_n+2³ⁿ a_n.

Zadanie 2. Napisz wzór rekurencyjny dla ciagów (a) an = n2ⁿ, (b) an = (−ω)ⁿ+ (−ω)ⁿ, ω = ⁻¹⁺₂^√−3, (c) an= n + 2ⁿ− 3ⁿ, (d) an= n³+ (−1)ⁿ. Zadanie 3. Sformuluj i udowodnij twierdzenie o równaniu jawnym dla cia-

gów rekurencyjnych rzedu 3 (tj. an+1= pan+ qan−1+ ran−2).

Zadanie 4. Dane sa liczby nieujemne ca³kowite a0, a1, . . . , a100. Wiadomo, ze

(a) (wersja zadania A) a1 > a0, a2 = 3a1 − 2a0, a3 = 3a2 − 2a1, . . . , a100= 3a99− 2a98.

(b) (wersja B) a1 > a0, a2 ­ 3a1− 2a0, a3 ­ 3a2− 2a1, . . . , a100 ­ 3a99− 2a98.

Udowodnij, ze a100­ 2¹⁰⁰.

Zadanie 5. Ciag (an)zadany jest równosciami

a₀= 1, a₂= a₁+ 1

a₁, . . . , a_n+1= a_n+ 1 a_n.

Udowodnij, ze a100> 14.

Zadanie 6. Znajdz wzory jawne nastepujacych ciagów (a) (a1, a₂, a₃) = (0, 2, 3), an+2= a_n+ a_n−1;

(b) a1= −2, a2= −4, a3= 8, an+3= 6an+2− 12an+1+ 8an.

Zadanie 7. Rozstrzygnij (w zaleznosci od liczby k ∈ N), czy istnieje ciag liczb rzeczywistych (an)spelniajacy równanie rekurencyjne an+2= an+1+ an, który

(a) ma dokladnie k wyrazów ujemnych;

(b) ma dokladnie k wyrazów równych 0;

(c) ma nieskonczenie wiele wyrazów dodatnich i nieskonczenie wiele wy- razów ujemnych.

Zadanie 8. Ciagi (an), (bn)okreslone sa równosciami

a_n+1= 2a_n+ b_n, b_n+1= a_n+ 2b_n, a₀= 0, b₀= 1.

Znajdz wzory jawne na an i bn.

Zadanie 9. Ciag an zadany jest równosciami: a0 = 0, a1 = 1 oraz an+2 = 2an+1+ an dla n = 0, 1, . . .. Niech k ∈ N. Udowodnij, ze 2^k|an wtedy i tylko wtedy, gdy 2^k|n.