Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 12.

(1)

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 12.

Rachunek prawdopodobie ´nstwa

Dariusz Wrzosek Zaj ˛ecia nr 12. 9 stycznia 2019 1 / 32

(2)

Zmienne losowe

Przebieg ró˙znych zjawisk losowych wygodnie jest opisywa´c za pomoc ˛a specjalnie wybranych funkcji, okre´slonych na przestrzeni probabilistycznej, które zawieraj ˛a najwa˙zniejsze informacje o przebiegu danego zjawiska.

Jako przykład mo˙ze słu˙zy´c funkcja, która po ustaleniu stawek, opisuje warto´s´c wygranej przy grze polegaj ˛acej na rzutach monet ˛a. Warto´sci tej funkcji nios ˛a najwa˙zniejsz ˛a informacje dla gracza o rezultacie gry. Tego typu funkcje nazywa si ˛e zmiennymi losowymi.

(3)

Definicja zmiennej losowej

Definicja

Zmienn ˛a losow ˛a nazywamy funkcj ˛e przyjmuj ˛ac ˛a warto´sci w zbiorze liczb rzeczywistych okre´slon ˛a na zbiorze zdarze ´n elementarnych.

(4)

Niech(Ω ,P)b ˛edzie przestrzeni ˛a probabilistyczn ˛a. Je´sli zmienna losowa X : Ω → przyjmuje warto´sci dyskretne tzn. jej zbiór warto´sci jest sko ´nczony x₁,x₂, . . .x_nto wtedy rozkładem zmiennej losowej X nazywamy zbiór R_X par , z których ka˙zda okre´sla z jakim

prawdopodobie ´nstwem zmienna losowa przyjmuje dan ˛a warto´s´c R_X = {(x₁,p₁) , (x₂,p₂) . . . (x_n,p_n)}

gdzie

p_i=P({ω :X(ω) =x_i})lub w skróconym zapisie p_i=P(X =x_i).

Zbiór R_X ma tyle elementów ile ró˙znych warto´sci przyjmuje zmienna X . Ze wzgl ˛edu na to, ˙ze zbiór warto´sci zmiennej X jest sko ´nczony taki rozkład nazywa si ˛e rozkładem dyskretnym zmiennej losowej, a sam ˛a zmienn ˛a losow ˛a nazywamy si ˛e wtedy zmienn ˛a losow ˛a dyskretn ˛a.

(5)

Trzeba podkre´slić, ˙ze sam rozkład prawdopodobie ństwa nie niesie pełnej informacji o zmiennej losowej jako o funkcji, okre´sla jedynie z jakimi prawdopodobie ństwami dana zmienna losowa przyjmuje swoje warto´sci.

(6)

Przykład

Wykorzystuj ˛ac rzut ko´sci ˛a okre´slimy gr ˛e losow ˛a: je´sli wypadnie ”6” gracz otrzymuje 90zł, a je´sli wypadnie nieparzysta liczba oczek otrzymuje 10 zł i nic nie traci ani nic nie otrzymuje w pozostałych przypadkach. Wtedy :

Ω = {1,2,3,4,5,6} ,P({i}) = ¹ 6

ozn.= q_i i =1,2. . . ,6.

Zmienn ˛a losow ˛a, która opisuje warto´sci wygranych, oznaczymy przez Y . Przyjmuje ona tylko trzy warto´sci: 0,10,90, a wi ˛ec P(Y =0) =q₂+q₄=

1

3,P(Y =10) =q₁+q₃+q₅= ¹₂,P(Y =90) =q₆ = ¹₆ i jej rozkład jest nast ˛epuj ˛acy

0,¹ 3

,

10,¹

2

,

90,¹

6

.

(7)

Du˙ze znaczenie w rachunku prawdopodobie ństwa maj ˛a charakterystyki liczbowe zmiennych losowych - warto´sć oczekiwana EX oraz wariancja, oznaczana jako VarX lub D²X . Mo˙zna je wyrazić znaj ˛ac jedynie ich rozkłady. Warto´sć oczekiwan ˛a zdefiniował w 1658 roku Huygens

(Christiaan Huygens (1629-1695)) w pracy po´swi ˛econej teorii gry w ko´sci.

(8)

Warto´s´c oczekiwana zmiennej losowej

Definicja

Warto´sci ˛a oczekiwan ˛a dyskretnej zmiennej losowej X o rozkładzie R_X nazywamy liczb ˛e

EX =

n

X

i=1

x_ip_i.

Dla zmiennej Y z przykładu ; EY =10·³₆+0+90¹₆ =20.

(9)

Rozkład jednostajny

Rozpatrzmy rozkład R_Jzmiennej losowej przyjmuj ˛acej n warto´sci z tym samym prawdopodobie ´nstwem ¹_n

R_J = {(x₁,¹

n) , (x₂,¹

n) . . . (x_i,¹

n) , (x_n,¹ n)} .

Przykładem zmiennej losowej o takim rozkładzie jest zmienna losowa J okre´slona na przestrzeni probabilistycznej

Ω = {ω_i :i=1,2, . . . ,n}

takiej, ˙ze zdarzenia s ˛a jednakowo prawdopodobne tzn. P({ω_i}) = ¹_n dla ka˙zdego i. Warto´sci ˛a oczekiwan ˛a zmiennej losowej okre´slonej jako J(ω_i) =x_ijest warto ´s ´c ´srednia ze wszystkich warto´sci tej zmiennej

EJ=

n

X

i=1

x_i1 n =

P_n

i=1x_i

n .

(10)

Prawdopodobie ´nstwa jako wagi

Z tego punktu widzenia w przypadku ogólnym uj ˛etym w definicji mo˙zna powiedzieć, ˙ze warto´sć oczekiwana jest ´sredni ˛a wa˙zon ˛a, której wagi czyli prawdopodobie ństwa p_iokre´slaj ˛a jak wielki jest wkład poszczególnych warto´sci x_ido całkowitej ”´sredniej”.

(11)

Podstawowe własno´sci warto´sci oczekiwanej

1 Je´sli G jest zmienn ˛a losow ˛a b ˛ed ˛ac ˛a zło˙zeniem zmiennej X : Ω → i funkcji g: → tzn.

G(ω_i) =g(X(ω_i)) , ω_i∈ Ω , to

EG =E(g(X)) =

n

X

i=1

g(x_i)p_i.

2 Nietrudno udowodni´c wprost z definicji, ˙ze je´sli X i Y s ˛a dwiema zmiennymi losowymi okre´slonymi na tej samej przestrzeni probabilistycznej a a i b s ˛a liczbami to

E(aX+bY) =aEX +bEY.

3 Je´sli X_cjest zmienn ˛a losow ˛a przyjmuj ˛ac ˛a tylko jedn ˛a warto´s´c c to EX_c =c

n

X

i=1

p_i=c.

(12)

Wariancja

Miar ˛a tego jak bardzo warto´sci zmiennej losowej X odbiegaj ˛a od warto´sci oczekiwanej jest wariancja oznaczana jako VarX lub D²X i dyspersja DX = √

D²X . Dyspersja okre´sla innymi słowy ´sredni rozrzut zmiennej losowej. Dyspersja bywa te˙z nazywana odchyleniem standardowym.

Definicja

Oznaczaj ˛ac przez m_x warto´s´c oczekiwan ˛a zmiennej X jej wariancj ˛a w przypadku dyskretnej zmiennej losowej nazywamy liczb ˛e

D²X =VarX :=E((X −m_x)²) =

n

X

i=1

(x_i−m_x)²p_i

(13)

Skoro definiowana wielko´sć ma być miar ˛a ´sredniego rozrzutu warto´sci zmiennej losowej, to uzasadnione jest pytanie dlaczego nie okre´slić jej jako warto´sci oczekiwanej odległo´sci pomi ˛edzy warto´sci ˛a zmiennej od

´sredniej tzn.

E|X −m_x| =

n

X

i=1

|x_i−m_x|p_i.

To nie jest zły pomysł, ale niepraktyczny z rachunkowego punktu

wiedzenia, gdy˙z moduł nie ma tak dobrych własno´sci arytmetycznych. Oto przykład obliczenia wariancji wprost z definicji

VarX :=E((X−m_x)²) =E(X²)−2(m_x)EX+(m_x)² =E(X²)−(m_x)². (1) Aby obliczy´c wariancj ˛e wystarczy zatem obliczy´c EX i E(X²).

Łatwo sprawdzi´c, inn ˛a wa˙zn ˛a własno´s´c:

je´sli X jest zmienn ˛a losow ˛a, a a i b pewnymi liczbami to

Var(aX+b) =a²VarX. (2)

Wariancja zmiennej losowej z przykładu 17.1 wynosi VarX = ^3·10²₆⁺⁹⁰² −20² =1000 a dyspersja równa jest √

1000≈31,62.

(14)

Niezale˙zno´s´c zmiennych losowych

Skoro zmienne losowe opisuj ˛a rezultaty ró˙znych zjawisk losowych to naturalne jest pytanie o wzajemne zwi ˛azki pomi ˛edzy ró˙znymi zmiennymi losowymi (okre´slonymi na tej samej przestrzeni zdarze ´n elementarnych).

Tego typu zwi ˛azki mog ˛a wyra˙za´c istnienie zwi ˛azków

przyczynowo-skutkowych pomi ˛edzy tymi zjawiskami. Równie wa˙zne bywa okre´slenie braku tego typu zwi ˛azku. Dobrym przykładem jest pobieranie próbek z jakiej´s populacji. Posłu˙zymy si ˛e przykładem zaczerpni ˛etym z ksi ˛a˙zki Łomnickiego ”Statystyka dla Biologów”.

(15)

Płeć osobnika wybranego z jakiej´s populacji mo˙zemy uznać za realizacj ˛e zmiennej losowej dwuwarto´sciowej. Niezale˙zno´sć prób oznacza tu, ˙ze odłowienie osobnika jednej płci nie ma wpływu na nast ˛epny odłów. W przypadku ptaków, które wyst ˛epuj ˛a w czasie rozrodu parami (jest tak u synogarlic tureckich) warunek ten mo˙ze nie być spełniony bo odławiaj ˛ac samic ˛e zwi ˛ekszamy prawdopodobie ństwo schwytania w nast ˛epnym odłowie jej partnera. Je´sli za´s ptaki trzymaj ˛a si ˛e w grupach

jednopłciowych, odłowienie samicy zwi ˛eksza prawdopodobie ´nstwo schwytania w drugim odłowie nast ˛epnej samicy, kolejne próby nie s ˛a zatem niezale˙zne.

(16)

Niezale˙zno´sc zmiennych losowych

Definicja

Dwie zmienne losowe X : Ω 7→ i Y : Ω 7→ o rozkładach dyskretnych R_X = {(x₁,p₁) , . . . (x_i,p_i) , . . . (x_n,p_n)} (3) oraz

R_Y = {(y₁,q₁) , . . . (y_j,q_i) . . . , (y_m,q_m)} (4) s ˛a niezale˙zne je´sli dla dowolnych warto´sci x_ioraz y_jktóre przyjmuj ˛a, zachodzi

P(X =x_i,Y =y_j) =p_iq_j

gdzie P(X =x_i,Y =y_i)oznacza prawdopodobie ństwo zdarzenia, ˙ze X przyj ˛eła warto´sć x_ii zmienna losowa Y przyj ˛eła warto´sć y_j.Podobnie definiuje si ˛e niezale˙zno´sć dowolnej liczby zmiennych losowych wi ˛ekszej

(17)

Niezale˙zne zmienne losowe maj ˛a kilka bardzo wa˙znych własno´sci.

Stwierdzenie

Je˙zeli zmienne losowe X i Y o rozkładach (3)-(4)s ˛a niezale˙zne to E XY =EX·EY

Dowód. Ustalmy iloczyn x_iy_j. Zauwa˙zmy, ˙ze w´sród warto´sci zmiennych X i Y mo˙ze by´c wi ˛ecej par liczb, które po wymno˙zeniu daj ˛a x_iy_jnp.

x_i =5,y_j =10 oraz x_k =2 i y_l=25. Aby znale´zć rozkład zmiennej XY , dla ka˙zdego takiego iloczynu x_iy_jtrzeba zatem posumować wszystkie prawdopodobie ństwa zdarze ń postaci P(X =x_k,Y =y_l)o tej własno´sci,

˙ze x_iy_j=x_ky_l. Poniewa˙z zmienne losowe s ˛a niezale˙zne to P(X =x_k,Y =y_l) =p_kq_l

(18)

St ˛ad i z definicji warto´sci oczekiwanej mo˙zna wydedukowa´c, ˙ze

E XY =^Xx_iy_jp_iq_j, (5) gdzie suma brana jest po wszystkich i i j takich, ˙ze 1¬i ¬n,1¬j ¬m. Z drugiej strony łatwo sprawdzi´c, ˙ze

(EX)(EY) = (

n

X

i=1

x_ip_i)(

m

X

j=1

y_jq_j)

równe jest wła´snie (5). Pami ˛etamy, ˙ze warto´s´c oczekiwana sumy zmiennych losowych jest sum ˛a ich warto´sci oczekiwanych. Odpowiemy teraz na pytanie postawione wcze´sniej.

(19)

Bardzo cz ˛esto w rachunku prawdopodobie ´nstwa i statystyce rozwa˙za si ˛e sumy

S_n =X₁+X₂+ . . .X_n,

które reprezentowa´c mog ˛a na przykład kolejne wyniki pomiarów jakie´s wielko´sci i chcemy policzy´c np. ´sredni ˛a tych wyników. Powstaje naturalne pytanie, jaki rozkład ma suma zmiennych losowych je ´sli znamy rozkłady ka˙zdej ze zmiennych składowych?

(20)

Wariancja sumy

Czy wariancja sumy zmiennych losowych jest sum ˛a wariancji?

Okazuje si ˛e, ˙ze w ogólno´sci tak by´c nie musi, ale jest to prawd ˛a je´sli zmienne losowe s ˛a niezale˙zne.

(21)

Kowariancja zmiennych losowych

Oznaczmy: EX =m_x , EY =m_y. Definicja

Kowariancj ˛a zmiennych losowych X i Y nazywa si ˛e liczb ˛e

Cov(X,Y) =E((X−m_x)(Y−m_y))

Łatwo sprawdzi´c, ˙ze Cov(X,Y) =E(XY) −m_xm_y St ˛ad wynika wa˙zny wniosek.

Je´sli zmienne losowe X i Y s ˛a niezale˙zne to Cov(X,Y) =0.

Stwierdzenie

Przyjmijmy zało˙zenia takie jak w poprzednim twierdzeniu i oznaczenia jak wy˙zej. Wtedy

Var(X+Y) =VarX +VarY +2Cov(X,Y) .

Dowód tego stwierdzenia oparty jest na prostym rachunku wynikaj ˛acym bezpo´srednio z zastosowania definicji wariancji i warto´sci oczekiwanej.

Mo˙zna udowodni´c ogólniejszy fakt dotycz ˛acy zmiennych losowych X₁,X₂, . . .X_n

Var

n

X

i=1

X_i=

n

X

i=1

VarX_i+2^XCov(X_i,X_j) ,

przy czym ostatnia suma brana jest po wszystkich i oraz j takich, ˙ze i <j.

Oto wa˙zny wniosek płyn ˛acy z powy˙zszych rozwa˙za ´n.

Wniosek

Je´sli zmienne losowe X₁,X₂, . . .X_n s ˛a niezale˙zne to

Var

n

X

i=1

X_i =^X

i=1

VarX_i

Powy˙zsze fakty maj ˛a wa˙zne konsekwencje w rachunku

prawdopodobie ´nstwa i statystyce. Kowariancja słu˙zy do okre´slania, czy dwie zmienne losowe s ˛a skorelowane czy nie.

(22)

Korelacje

Współczynnikiem korelacji zmiennych losowych X i Y nazywamy liczb ˛e z przedziału[−1,1]równ ˛a

%(X,Y) = ^Cov(X,Y)

√

VarX· √ VarY .

(23)

Je´sli%(X,Y) =0 to zmienne losowe nazywa si ˛e nieskorelowanymi.

St ˛ad wynika, ˙ze je ´sli dwie zmienne losowe s ˛a niezale˙zne to s ˛a nieskorelowane.

Je´sli%(X,Y) =1(−1)to zmienne nazywa si ˛e dodatnio (ujemnie) skorelowanymi.

Łatwo sprawdzi´c, korzystaj ˛ac z (1) i (2), ˙ze je´sli Y =aX , gdzie a to pewna liczba, to

%(X,Y) =

( 1 gdy a>0.

−1 gdy a<0,

Zmienne X i aX s ˛a zatem dodatnio lub ujemnie skorelowane w zale˙zno´sci od znaku a.

Stwierdzenie, ˙ze dwa zjawiska (losowe) np. cechy osobnicze w badanej populacji s ˛a dodatnio skorelowane oznacza w praktyce, ˙ze zjawiska te współwyst ˛epuj ˛a i mo˙ze, ale nie musi wyst ˛epowa´c pomi ˛edzy nimi zwi ˛azek przyczynowo skutkowy.

(24)

Ci ˛ ag prób Bernoulliego

Szczególn ˛a rol ˛e w rachunku prawdopodobie ´nstwa i statystyce pełni opis rezultatów serii powtórze ´n jakiego´s do´swiadczenia w przypadku gdy kolejne do´swiadczenia s ˛a wzajemnie niezale˙zne. Typowym przykładem jest seria rzutów monet ˛a lub ko´sci ˛a do gry je´sli zapewni si ˛e przy ka˙zdym rzucie idealnie takie same warunki dotycz ˛ace stanu przedmiotu którym rzucamy.

(25)

Rozwa˙zmy ci ˛ag n niezale˙znych do´swiadcze ń taki, ˙ze w wyniku ka˙zdego do´swiadczenia mo˙ze zaj´sć zdarzenie A ⊂ Ωlub przeciwne do niego zdarzenieA . Cz ˛esto jedno ze zdarze ń A lub¯ A nazywa si ˛e umownie¯ sukcesem. Przyjmijmy, ˙ze zdarzenie A (sukces) zachodzi z

prawdopodobie ´nstwem p a zdarzenieA z prawdopodobie ´nstwem¯ q, p+q=1. Niech X_i: Ω_n → {1,0}b ˛edzie zmienn ˛a losow ˛a równ ˛a 1 gdy w i-tym do´swiadczeniu zaszło zdarzenie A i równ ˛a 0 w przeciwnym przypadku.

Definicja

Ci ˛ag niezale˙znych zmiennych losowych X₁,X₂, . . .X_n z których ka˙zda ma ten sam rozkład

{(1,p) , (0,q)}

nazywa si ˛e ci ˛agiem prób Bernoulliego.

(26)

Ci ˛ag prób Bernoulliego dla p=q= ¹₂ jest oczywi´scie modelem

probabilistycznym opisuj ˛acym wyniki serii rzutów monet ˛a symetryczn ˛a.

Poniewa˙z zmienne losowe w ci ˛agu prób Bernoulliego s ˛a niezale˙zne, prawdopodobie ´nstwo wyst ˛apienia serii okre´slonych wyników jest iloczynem prawdopodobie ´nstw otrzymania ka˙zdego wyniku w poszczególnych próbach. Na przykład w przypadku czterech prób

P(X₁=0,X₂=1,X₃ =1,X₄ =1) =P(X₁ =0)P(X₂ =1)P(X₃=1)P(X₄=1) =p³q.

(27)

Rozkład dwumianowy

Rozkład ten ma kluczowe znaczenie w zastosowaniach rachunku prawdopodobie ´nstwa gdy˙z opisuje liczb ˛e sukcesów w ci ˛agu prób Bernoulliego. Szukamy zatem rozkładu zmiennej losowej

S_n =

n

X

i=1

X_i,

która przyjmuje warto´s´c k je´sli dokładnie k razy w ci ˛agu prób Bernoulliego zaszło zdarzenie A . Aby znale´z´c rozkład tej zmiennej obliczamy

prawdopodobie ństwo zdarzenia, ˙ze dokładnie k składników w powy˙zszej sumie przyjmuje warto´sć 1 a pozostałe warto´sć 0. Prawdopodobie ństwo zdarzenia, ˙ze wybrane k zmiennych przyj ˛eło warto´sć 1 a pozostałe warto´sć 0 wynosi p^k(1−p)^n−k. Zwróćmy uwag ˛e, ˙ze k składników w n-składnikowej sumie mo˙zna wybrać na tyle sposobów ile jest kombinacji k -elementowych ze zbioru n-elementowego, czyli

(ⁿ_k) = ⁿ! (n−k)!k!

(28)

Sumuj ˛ac prawdopodobie ´nstwa rozł ˛acznych zdarze ´n odpowiadaj ˛acym seriom zawieraj ˛acym dokładnie k sukcesów osi ˛agni ˛etych w ró˙znych próbach otrzymujemy

P(S_n =k)^ozn.= b_n,p(k) = (ⁿ_k)p^k(1−p)^n−k.

Taki rozkład zmiennej losowej nazywamy rozkładem dwumianowym (ang. binomial distribution) o parametrach n i p. Łatwo sprawdzi´c stosuj ˛ac Wniosek(1.8), ˙ze

ES_n =np VarS_n =np(1−p) .

(29)

Przykład

Typowe zastosowanie rozkładu dwumianowego znajdujemy w klasycznej (mendlowskiej) genetyce populacyjnej. Rozpatrzmy mianowicie du˙z ˛a populacj ˛e organizmów diploidalnych i zajmijmy si ˛e jednym locus, któremu odpowiadaj ˛a dwie alle A i a. Przyjmijmy, ˙ze allel A wyst ˛epuje w populacji z cz ˛esto´sci ˛a p a allel a z cz ˛esto´sci ˛a q , p+q=1,oraz, ˙ze nie wyst ˛epuj ˛a mutacje. Wiemy, ˙ze zamiast cz ˛esto´sci mo˙zemy tu mówi´c o

prawdopodobie ´nstwie wyst ˛epowania danego allelu. Przyjmuj ˛ac

całkowicie losowe kojarzenie w pary i brak sprz ˛e˙ze ´n pomi ˛edzy genami mo˙zemy przyj ˛a´c, ˙ze allel, który trafia na odpowiednie miejsce na jednym z chromosomów homologicznych jest losowany z puli genów, niezale˙znie dla ka˙zdego z dwóch homologicznych chromosomów.

(30)

To tak jakby´smy dla obsadzenia obu miejsc na chromosomach homologicznych dwukrotnie rzucali monet ˛a. W przypadku allelu A prawdopodobie ´nstwo jego wylosowania wynosi p a dla allelu a odpowiednio q. Je´sli wylosowanie A nazwiemy sukcesem to

prawdopodobie ´nstwo wyst ˛epowania w kolejnej generacji ”genotypu”

AA odpowiada prawdopodobie ´nstwu wyst ˛apienia dwóch sukcesów w dwóch próbach Bernoulliego czyli ²₂p²q⁰=p^{2 ozn.}= u,

Aa odpowiada prawdopodobie ´nstwu wyst ˛apienia jednego sukcesu w dwóch próbach Bernoulliego czyli ²₁p¹q¹=2pq^ozn.= v,

aa odpowiada prawdopodobie ´nstwu nie wyst ˛apienia ani jednego sukcesu w dwóch próbach Bernoulliego czyli ²₀p⁰q² =q^{2 ozn.}= w. Jest to rozkład dwumianowy.

(31)

Rozkład dwumianowy

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,0000 0,0250 0,0500 0,0750 0,1000 0,1250 0,1500 0,1750 0,2000 0,2250 0,2500 0,2750 0,3000 0,3250

Rozkład dwumianowy

0,2 0,4 0,5 0,8

Rozkład dwumianowy: n =10,p=0,2, 0,4, 0,5, 0,8..

(32)

Zadania

1. W pewnym lesie wyst ˛epuje N zwierz ˛at danego gatunku, w tym M zaobr ˛aczkowanych. Znale´z´c wzór, który okre´sla prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w´sród n losowo schwytanych zwierz ˛at k jest niezaobr ˛aczkowanych.

(wskaz. Zastosowa´c schemat Bernoulliego.)

2. Wykonujemy niezale˙zne rzuty monet ˛a symetryczn ˛a. W czterech

kolejnych rzutach otrzymali´smy orły. Czy prawdopodobie ´nstwo wyrzucenia reszki w pi ˛atym rzucie jest wi ˛eksze od ¹₂?

3. Pewna gra polega na rzucie kostk ˛a i monet ˛a. Wygrana wyst ˛epuje przy ł ˛acznym wyrzuceniu pi ˛atki i orła. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w trzech grach wygrana wyst ˛api dokładnie raz?

wskaz. Zastosowa´c schemat Bernoulliego do ci ˛agu do´swiadcze ´n, w którym sukcesem jest jednoczesne wyrzucenie orła i pi ˛atki. Rzuty ko´sci ˛a i