Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 7.

(1)

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 7.

Dariusz Wrzosek

21 listopada 2018

(2)

Przypomnienie: funkcja pierwotna

Niech F :D → , gdzie D to odcinek otwarty lub cała prosta).

Je˙zeli w ka˙zdym punkcie x ∈D istnieje pochodna funkcji F, to funkcji F mo˙zemy jednoznacznie przyporz ˛adkowa´c funkcj ˛e pochodn ˛a

f =F⁰ :D → .

Odwrotnie, danej funkcji f mo˙zna przyporz ˛adkowa´c funkcj ˛e F, tak ˛a ˙ze F⁰ =f . Funkcja F jest okre´slona jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do stałej, gdy˙z wtedy dla dowolnej stałej c

(F(x) +c)⁰ =f(x).

Definicja

Funkcj ˛e F :D 7→ , tak ˛a ˙ze F⁰ =f nazywamyfunkcj ˛a pierwotn ˛afunkcji f .

Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 7. 21 listopada 2018 2 / 20

(3)

Podstawowe wzory

Z

(f(x) +g(x))dx = Z

f(x)dx + Z

g(x)dx Z

(f(x) −g(x))dx = Z

f(x)dx − Z

g(x)dx dla ka˙zdej a ∈ zachodzi

Z

(af(x))dx =a Z

f(x)dx

(4)

Definicja

Całk ˛a oznaczon ˛afunkcji f : [a,b] → w granicach od a do b nazywamy

liczb ˛e _Z _b

a

f(x)dx =F(b) −F(a) =F(x)^b

a, gdzie F jest dowoln ˛a funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f .

Przykład

Z 2 1

x³dx = ¹ 4x⁴

2

1

= ¹

4·2⁴−¹

4·1⁴ = ¹

4·16−¹ 4 =33

4. Okre´slmy funkcj ˛e górnej granicy całkowania

x7→

Z x a

f(s)ds. Wtedy

d dx

Z x a

f(s)ds = ^d

dx(F(x) −F(a)) =f(x) .

(5)

Przy obliczaniu całek cz ˛esto wykorzystuje si ˛e nast ˛epuj ˛ac ˛a własno´s´c.

Niech F b ˛edzie funkcj ˛a pierwotn ˛a do f : [x₁,x₂] → . Rozpatrzmy funkcj ˛e zło˙zon ˛a g(x) =f(ax+b), gdzie a i b to pewne stałe.

Funkcj ˛a pierwotn ˛a do g jest funkcja G(x) = ¹_aF(ax+b), a zatem Z _x₂

x1

g(x)dx = Z _x₂

x1

f(ax+b)dx = ¹

a(F(ax₂+b) −F(ax₁+b)) .

Przykłady

Z 2 1

e^5x+2dx = ¹ 5

e¹²−e⁷

1

(6)

Podstawowe własno´sci całki oznaczonej

dla a¬c¬b mamy Z c

a

f(s)ds+ Z b

c

f(s)ds = Z b

a

f(s)ds bo Z _c

a

f(s)ds+ Z _b

c

f(s)ds =F(c) −F(a) + (F(b) −F(c)) =

=F(b) −F(a) = Z b

a

f(s)ds. Je´sliαjest dowoln ˛a liczb ˛a i g pewn ˛a funkcj ˛a ci ˛agł ˛a, to

Z _b

a

(f(s) + αg(s))ds = Z _b

a

f(s)ds+ Z _b

a

αg(s)ds =

= Z b

a

f(s)ds+ α Z b

a

g(s)ds. Pierwsza własno´s´c sugeruje, ˙ze definicj ˛e całki oznaczonej mo˙zna rozszerzy´c na funkcje kawałkami ci ˛agłe mówi ˛ac, ˙ze całka z funkcji kawałkami ci ˛agłej jest sum ˛a całek obliczonych na przedziałach ci ˛agło´sci funkcji.

(7)

Całka oznaczona jako pole obszaru pod wykresem funkcji

Z 1 0

xdx = ¹ 2x²

1

0

= ¹

2·1−¹

2·0= ¹ 2 Warto´s´c tej całki jest równa polu trójk ˛ata prostok ˛atnego wyznaczonego przez o´s poziom ˛a układu współrz ˛ednych i wykres funkcji f(x) =x.

x y

y=^x Z 1

0

x dx

(8)

Co to jest pole figury?

W szkole uczymy si ˛e wzorów okre´slaj ˛acych pola ró˙znych figur

regularnych: prostok ˛atów, trójk ˛atów, kół itd. Ale jak okre´sli´c pole figury o nieregularnym kształcie? Skoro nie mamy w ˛atpliwo´s´ci co to jest pole prostok ˛ata to

przezpole figurymo˙zna rozumie´c liczb ˛e równ ˛a sumie (na ogół

niesko ´nczonej) liczby wszystkich pól prostok ˛atów zawartych całkowicie w tej figurze rozmieszczonych tak, ˙ze mog ˛a one mie´c wspólne jedynie fragmenty swoich kraw ˛edzi.

Oczywi´scie im dokładniej chcemy pokry´c zbiór prostok ˛atami, tym mniejszych prostok ˛atów musimy u˙zy´c.

(9)

Pole trójk ˛ata prostok ˛atnego przybli˙zamy za pomoc ˛a sumy pól kwadratów zawartych w trójk ˛acie. Im dokładniejsze przybli˙zenie, tym mniejsze musz ˛a by´c kwadraty wypełniaj ˛ace w sumie trójk ˛at, ale ˙zadna sko ´nczona liczba kwadratów nie wystarczy do całkowitego pokrycia trójk ˛ata.

(10)

Pole figury ograniczonej wykresem funkcji i osi ˛ a x-ów

Rozpatrujemy najpierw przypadek szczególny całki z funkcji

monotonicznej. W najprostszy sposób ukazuje on zwi ˛azek pomi ˛edzy polem pod wykresem funkcji i jej całk ˛a oznaczon ˛a.

Funkcja f : [a,b] → — ci ˛agła, niemalej ˛aca i nieujemna.

Dla x ∈ [a,b]— P(x)pole figury ograniczonej od góry przez wykres funkcji od punktu(a,f(a))do punktu(x,f(x))i od dołu przez o´s x-ów.

Wtedy dla h>0, takiego ˙ze x+h∈ [a,b] hf(x) ¬P(x+h) −P(x) ¬hf(x+h) i dziel ˛ac stronami przez h dostajemy

f(x) ¬ ^P(x+h) −P(x)

h ¬f(x+h). ^a ^{x x}+h b

h

P(x) f(x)

f(x+h)

(11)

Przechodz ˛ac do granicy z h→0 i korzystaj ˛ac z definicji ci ˛agło´sci i definicji pochodnej otrzymujemyP⁰(x) =f(x)wi ˛ec P jest funkcj ˛a pierwotn ˛a f , a zatem

Z x a

f(s)ds =P(x) −P(a) =P(x), gdy˙z P(a) =0 z definicji P.

Pole figury ograniczonej wykresem funkcji i osi ˛a x wynosi P(b) =

Z b a

f(s)ds.

Analogiczne rozumowanie mo˙zna przeprowadzi´c dla funkcji nieujemnej i nierosn ˛acej lub nieujemnej i kawałkami monotonicznej.

(12)

S ˛a jednak funkcje ci ˛agłe na odcinku o do´sć skomplikowanym przebiegu (np. sinusoida warszawska, albo funkcja Weirstrassa), których całkowanie trzeba oprzeć na przej´sciu granicznym sumy pól prostok ˛atów (tzw. sumy Riemanna) przybli˙zaj ˛acych pole figury pod wykresem funkcji. Mo˙zna udowodnić, ˙ze

Stwierdzenie

Pole P figury pomi ˛edzy wykresem dowolnej funkcji ci ˛agłej i nieujemnej f : [a,b] → i osi ˛a x-ów jest równe całce oznaczonej

Z b a

f(x)dx.

(13)

Podstawy analizy matematycznej Całka oznaczona, pole obszaru

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

Sum ˛e Q_n nazywa si ˛e sum ˛a Riemanna na cze´s´c jednego z najsłynniejszych matematyków XIX w.

Zag ˛eszczaj ˛ac punkty podziału odcinka [a,b], tak ˙ze maksymalna odległo´s´c mi ˛edzy s ˛asiednimi punktami w n podziale d ˛a˙zy do zera wraz z n→ +∞

dostajemy coraz lepsze przybli˙zenie pola P i

n→+∞lim Q_n =P,

a wi ˛ec całka z funkcji ci ˛agłej to granica sum Riemanna.

x₁ x₂ x₃ x₄

a b

Znak sumy^Xzast ˛epuje si ˛e znakiem całki

Z , a∆x przechodzi na dx:

n−1

(14)

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

St ˛ad zwi ˛azek pomi ˛edzy całkowaniem i sumowaniem, który wyra˙za si ˛e tak˙ze w tradycyjnym sposobie notacji.

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

a b

Z b a

f(x)dx ←→

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

(15)

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

a b

n−1

(16)

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

a b

Z b a

f(x)dx ←→

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

(17)

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

a b

n−1

(18)

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

a b

Z b a

f(x)dx ←→

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

(19)

Q_n =

n−1

X

i=0

f(x_i)∆x_i.

a b

n−1

(20)

* Obj ˛eto´s´c bryły obrotowej (dla zainteresowanych)

Podobnie wyprowadza si ˛e wzór naobj ˛eto´s´c bryły obrotowej.

Rozwa˙zmy funkcj ˛e f : [a,b] 7→ , tak ˛a ˙ze f(x) >0 dla x ∈ (a,b)i brył ˛e w przestrzeni³, której powierzchnia boczna powstaje poprzez obrót wykresu funkcji f wokół osi x.

x

Aby obliczyć przybli˙zon ˛a warto´sć obj ˛eto´sci tej bryły trzeba poci ˛ać j ˛a ci ˛eciami prostopadłymi do osi x na plastry i zsumować obj ˛eto´sci wszystkich plastrów.

Ka˙zdy plaster — po wyrównaniu brzegów — to walec.

(21)

* Obj ˛eto´s´c bryły obrotowej

Obj ˛eto´s´c walca o promieniu podstawy r i wysoko´sci h wynosiπr²h.

Dzielimy odcinek[a,b]na n mniejszych odcinków o ko ´ncach

x₀ =a,x₁ < . . .x_i<x_i+1. . .x_n =b wyznaczaj ˛ac punkty, przez które przechodz ˛a ci ˛ecia. Suma wszystkich obj ˛eto´sci walców — plastrów wynosi

π

n−1

X

i=0

(f(x_i))²∆x_i.

Po przej´sciu do granicy przy zag ˛eszczeniu podziałów odcinka[a,b] otrzymuje si ˛e wzór na obj ˛eto´s´c V_f bryły obrotowej powstałej przez obrót funkcji f : [a,b] 7→ ,

Z b

(22)

Warto´s´c ´srednia funkcji

Definicja

Warto´sci ˛a ´sredni ˛a funkcji f : [a,b] → nazywamy liczb ˛e

¯_f = ¹ b−a

Z _b

a

f(x)dx.

Przykład z poprzedniego wykładu

Samochód porusza si ˛e po prostej startuj ˛ac w chwili t=0 z punktu x₀ z pr ˛edko´sci ˛a v(t)[^m_s]. W chwili t =T poło˙zenie samochodu wynosi x(T) =x₀+^R₀^Tv(t)dt[m], gdy˙z funkcja okre´slaj ˛aca poło˙zenie

(współrz ˛edn ˛a) samochodu jest funkcj ˛a pierwotn ˛a do funkcji okre´slaj ˛acej pr ˛edko´sć samochodu. Warto´sć ´srednia funkcji okre´slaj ˛acej pr ˛edko´sć samochodu to

¯ v= ¹

T Z T

0

v(t)dt [^m s] , czyli

¯

v= ^x(T) −x₀

T .

Ten iloraz to po prostupr ˛edko´s´c ´srednia.

(23)

Całki niewła´sciwe

Rozwa˙zymy teraz całki z funkcji okre´slonych na przedziałach nieograniczonych typu[a, +∞)lub(−∞,a], lub(−∞ , +∞).

Niech F b ˛edzie funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f i załó˙zmy, ˙ze istnieje granica

x→+∞lim F(x). Poniewa˙z Z x

a

f(s)ds =F(x) −F(a), to

Definicja

Całk ˛a niewła´sciw ˛afunkcji f na odcinku[a, +∞)nazywa si ˛e liczb ˛e Z +∞

a

f(s)ds = lim

x→+∞F(x) −F(a).

(24)

Granica funkcji lim_x→+∞F(x)mo˙ze nie istnie´c — odpowiednia całka niewła´sciwa nie jest wtedy okre´slona.

Przykład:

Funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f(x) =cos x jest F(x) =sin x. Nie istniej ˛a

x→+∞lim sin x i lim

x→−∞sin x, zatem ˙zadna z całek niewła´sciwych nie jest okre´slona.

Je´sli lim_x→+∞F(x) = ±∞, to mówimy, ˙ze całka jest rozbie˙zna do

±∞. Przykład:

Funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f(x) =2x jest F(x) =x², oraz

x→+∞lim x²= +∞. Dlatego mówimy, ˙ze Z ∞

a

x dx jest rozbie˙zna do +∞.

(25)

Je´sli f(x) 0 dla x a, to funkcja pierwotna F jest funkcj ˛a niemalej ˛ac ˛a (bo F⁰(x) =f(x) 0), wi ˛ec granica lim_x→+∞F(x)jest albo liczb ˛a dodatni ˛a, albo całka jest rozbie˙zna do+∞.

Przykład:

Z +∞

1

e^−sds = lim

x→+∞(−e^−x) − (−e⁻¹) =e⁻¹; Z +∞

1

s^ads = lim

x→+∞

1

(1−a)x^a−1

− ¹

1−a = ¹

a−1,a>1; Z +∞

1

sds = lim

x→+∞ln x−ln 1= +∞.

W powy˙zszych przykładach funkcje podcałkowe s ˛a dodatnie i malej ˛a do 0.

(26)

Je´sli f(x) 0 dla x ∈ ,to całk˛e Z +∞

−∞

f(x)dx definiuje si ˛e jako sum ˛e

Z +∞

−∞

f(x)dx = Z a

−∞

f(x)dx+ Z +∞

a

f(x)dx, (?) gdzie a ∈ jest dowoln ˛a liczb ˛a. Ta definicja nie zale˙zy od wyboru a.

Rozpisuj ˛ac praw ˛a stron ˛e (?) dostajemy, po uproszczeniu, Z +∞

−∞

f(x)dx = lim

x→+∞F(x) − lim

x→−∞F(x) .

Powy˙zsza całka jest albo liczb ˛a dodatni ˛a, albo jest rozbie˙zna do+∞.