Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 2.

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 2.

Dariusz Wrzosek

10 pa´zdziernik 2018

Od funkcji liniowej do funkcji logarytmicznej

Podstawowe własno´sci szczególnych funkcji okre´slonych na zbiorze liczb rzeczywistych’przyjmuj ˛acych warto´sci w’. Powiemy o:

funkcji liniowej funkcji pot ˛egowej funkcji wykładniczej funkcji logarytmicznej

Funkcje te, obok funkcji trygonometrycznych, pełni ˛a bardzo istotn ˛a rol ˛e we wszelkich zastosowaniach matematyki.

Wykres funkcji

Poj ˛ecie funkcji zostało zdefiniowane jako przyporz ˛adkowanie elementom pewnego zbioru zwanego (dziedzin ˛a funkcji ) elementów zbioru warto´sci funkcji. W przypadku funkcji f :D 7→ ’, gdzie D ⊂ ’, wygodnie jest zdefiniowa´c poj ˛ecie wykresu funkcji jako podzbioru płaszczyzny’× ’, po to aby ”widzie´c” przebieg funkcji.

Definicja

Wykresem funkcji f nazywamy zbiór

W_f = {(x,y) :x ∈D, y =f(x)}

zawarty w produkcie’× ’.

Funkcja liniowa

y=f(x) =mx+b.

Zakładamy, ˙ze m,0, w przeciwnym przypadku f jest funkcj ˛a stał ˛a przyjmuj ˛ac ˛a jedynie warto´s´c b.

Parametr m nazywa si ˛e współczynnikiem kierunkowym prostej.

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta.

Cech ˛a charakterystyczn ˛a funkcji liniowej jest to, ˙ze przyrost warto´sci funkcji jest proporcjonalny do odpowiadaj ˛acego mu przyrostu warto´sci argumentów tzn. dla dow. x₁,x₂

f(x₂) −f(x₁)

x₂−x₁ = (mx₂+b) − (mx₁+b)

x₂−x₁ = ^m(x₂−x₁) x₂−x₁ =m. Przypomnijmy, ˙ze liczba m równa jest tak˙ze warto´sci tangensa k ˛ata, pod którym prosta przecina o´s poziom ˛a układu współrz ˛ednych (m=tgα).

Wykres funkcji liniowej

Monotoniczno´s´c funkcji

Przebieg funkcji liniowej okre´sla jej wykres, czyli prosta przecinaj ˛aca o´s x pod k ˛atem, którego tangens jest współczynnikiem kierunkowym prostej.

Je˙zeli m>0, to f jestfunkcj ˛a rosn ˛ac ˛a, czyli spełniony jest warunek Funkcja rosn ˛aca

(x₂ >x₁) ⇒ (f(x₂) >f(x₁)) .

Je´sli m <0, to f jestfunkcj ˛a malej ˛ac ˛a, czyli spełniony jest warunek Funkcja malej ˛aca

(x₂ >x₁) ⇒ (f(x₂) <f(x₁)).

Monotoniczno´s´c funkcji

Dla uzupełnienia terminologii:

Definicja

Funkcj ˛e nazywa si ˛efunkcj ˛a niemalej ˛ac ˛aje´sli (x₂>x₁) ⇒ (f(x₂) ­f(x₁)) Funkcj ˛e nazywa si ˛efunkcj ˛a nierosn ˛ac ˛aje´sli

(x₂ >x₁) ⇒ (f(x₂) ¬f(x₁)).

Czasami funkcj ˛e rosn ˛ac ˛a nazywa si ˛e ´sci´sle rosn ˛ac ˛a, a malej ˛ac ˛a —´sci´sle malej ˛ac ˛a.

Mimo ˙ze nie ma tu powszechnie przyj ˛etej terminologii, nazewnictwo nie prowadzi do dwuznaczno´sci.

Pot ˛egowanie

Znajomo´s´c funkcji liniowej nie wystarcza jednak do opisu procesów wzrostu wyst ˛epuj ˛acych w biologii.

W fizjologii mamy cz ˛esto do czynienia z funkcjami pot ˛egowymi, a przy opisie wzrostu populacji pojawiaj ˛a si ˛e funkcje wykładnicze.

Pot ˛eg ˛a liczby rzeczywistej a o wykładniku n∈ Žnazywamy iloczyn

aⁿ =

n

z }| { a·a. . .a.

Dla dowolnej liczby rzeczywistej a >0 i dowolnej liczby naturalnej n∈ Ž istnieje liczba rzeczywista b zwanapierwiastkiem stopnia nz a, taka ˙ze bⁿ =a. Zapisujemy to

b= √ⁿ

a =a¹ⁿ.

Dla liczb naturalnych m,n∈ Ži liczby rzeczywistej dodatniej a a^mn = √ⁿ

a^m =^a^1nm .

W ten sposób okre´sla si ˛e pot ˛eg ˛e liczby o wykładniku q∈ ‘⁺. Dla p ∈ ‘⁻mamy a^p = ¹

a^−p, gdzie teraz q = −p∈ ‘⁺.

Dalej rozszerza si ˛e pot ˛egowanie na przypadek wykładników rzeczywistych korzystaj ˛ac zg ˛esto´sciliczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych, czyli z faktu, ˙ze dowolnie blisko ka˙zdej liczby rzeczywistej znajdziemy liczb ˛e wymiern ˛a.

G ˛esto´s´c liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych

Wystarczy „obci ˛a´c” rozwini ˛ecie dziesi ˛etne liczby rzeczywistej dostatecznie daleko, by otrzyma´c liczb ˛e wymiern ˛a oddalon ˛a od danej liczby wymiernej o nie wi ˛ecej ni˙z chcemy.

Działania na pot ˛egach

Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a,b ∈ ’⁺i dowolnych liczb rzeczywistych x i y zachodz ˛a nast ˛epuj ˛ace własno´sci pot ˛egowania, które mo˙zna wyprowadzi´c z definicji

a^xa^y =a^x+y, ^a

x

a^y =a^x−y, (a^x)^y =a^xy, a^xb^x = ab
^x.

W oparciu o własno´sci pot ˛egowania definiuje si ˛efunkcj ˛e pot ˛egow ˛a, wykładnicz ˛a oraz logarytmiczn ˛a.

Karły i olbrzymy

Znajomo´s´c funkcji pot ˛egowych jest niezb ˛edna do tego, by zrozumie´c konsekwencje zró˙znicowania wielko´sci zwierz ˛at.

Problem

Rozwa˙zmy ró˙zne zwierz ˛eta stałocieplne ró˙zni ˛ace si ˛e wielko´sci ˛a, ale o zbli˙zonym planie budowy ciała.

Wiadomo, ˙ze im wi ˛eksza powierzchnia ciała zwierz ˛ecia, tym wi ˛eksza wymiana energii cieplnej z otoczeniem w stanie spoczynku.

Pojawiaj ˛a si ˛e pytania:

1 ile ´srednio energii w przeliczeniu na jednostk˛e masy ciała musi produkowa´c zwierz ˛e małe w stosunku do du˙zego, aby zrównowa˙zy´c strat ˛e energii cieplnej w stanie spoczynku?

2 czy prawd ˛a jest, ˙ze zwierz ˛e 5 razy ci ˛e˙zsze produkuje ´srednio 5 razy wi ˛ecej energii?

Karły i olbrzymy

By odpowiedzie´c na to pytanie znajdziemy zale˙zno´s´c pomi ˛edzy mas ˛a i powierzchni ˛a ciała zwierz ˛ecia.

Rozwa˙zmy ró˙zne gatunki zwierz ˛at o schemacie budowy ciała jak na rysunku.

Ocenimy szacunkow ˛a masy i powierzchni ˛e ciała: bierzemy pod uwag ˛e jedynie tułów zwierz ˛ecia (np. ssaka), który

reprezentowany jest jako walec o wysoko´sci L i promieniu podstawyαL .

L — rozmiar zwierz ˛ecia mierzony od ko´sci ogonowej do pierwszego kr ˛egu szyjnego.

α— proporcje ciała, tu: stosunek promienia podstawy walca do jego wysoko´sci.

Karły i olbrzymy

Obj ˛eto´s´c tułowia to w przybli˙zeniu obj ˛eto´s´c walca V =L· π(αL)²= α²πL³. Powierzchnia boczna wynosi

P =L·2παL=2παL². Masa ciała M jest proporcjonalna do obj ˛eto´sci, czyli

M=mα²πL³,

gdzie m to ci ˛e˙zar wła´sciwy, czyli ci ˛e˙zar jednostki obj ˛eto´sci (np. w [g/cm³])

— zakładamy, ˙ze jest stały dla rozwa˙zanej grupy gatunków zwierz ˛at.

Z ostatniego równania:

L =C ³

√

M, C = √₃ ¹ mα²π.

Karły i olbrzymy

Mo˙zemy wyrazi´c teraz powierzchni ˛e boczn ˛a poprzez mas ˛e P =C₀M^2/3, C₀ =2

√3

√πα m³. T˛e zale˙zno´s´c nazywa si ˛e czasem reguł ˛a powierzchni.

Utrat ˛e ciepła okre´slamy jako

E(M) =E₀C₀M²³,

gdzie stała E₀ okre´sla strat ˛e ciepła na jednostk˛e powierzchni ciała.

Wniosek

Strata ciepła S(M)przypadaj ˛aca na jednostk˛e masy ciała wynosi S(M) = ^E(M)

M = ^E0C0M

2/3

M =E₀C₀M^−1/3= ^E√₃^0C0 M

S(M) wzrasta nieograniczenie, gdy M zbli˙za si ˛e do 0 i maleje do zera gdy M ro´snie nieograniczenie.

Karły i olbrzymy

Wniosek

Zwierz ˛eta o małej masie maj ˛a niekorzystny stosunek powierzchni do masy i dlatego tempo metabolizmu mierzonego jako ilo´s´c energii produkowana w jednostce czasu na jednostk˛e obj ˛eto´sci ciała musi by´c znacznie wi ˛eksza ni˙z u zwierz ˛at du˙zych, po to aby zrównowa˙zy´c strat ˛e ciepła.

Porównajmy strat ˛e ciepła u zwierz ˛at ró˙zni ˛acych si ˛e pi ˛eciokrotnie mas ˛a ciała

E(5M)

E(M) = ^E0C0(5M)^2/3

E₀C₀M^2/3 =5^2/3=^√³

5^2≈2,92.

Przy przyj ˛etych zało˙zeniach, zwierz ˛e pi ˛eciokrotnie ci ˛e˙zsze traci jedynie ok.

trzykrotnie wi ˛ecej ciepła.

Z tych powodów małe zwierz ˛e musi je´s´c znacznie wi ˛ecej ni˙z du˙ze w stosunku do własnej masy ciała.

Karły i olbrzymy

Dla przykładu:

sikora modra wa˙z ˛aca 11g musi codziennie zje´s´c pokarm o masie 30%masy swojego ciała,

drozd ´spiewak wa˙z ˛acy 89g — 10%, myszołów za´s wa˙z ˛acy 900g — 4,5%.

Wynika st ˛ad, ˙ze ´srednio bior ˛ac, zwierz ˛eta małe s ˛a bezustannie zaj ˛ete poszukiwaniem pokarmu i zarazem bardzo wra˙zliwe na głód.

Dla przykładu ryjówka nie mo˙ze obej´s´c si ˛e bez pokarmu dłu˙zej ni˙z 3 godz.

Mo˙zna wi ˛ec stwierdzi´c, ˙ze istot inteligentnych, rozwijaj ˛acych kultur ˛e i osi ˛agaj ˛acych rozmiary ryjówki, w warunkach ziemskich by´c nie mo˙ze.

Warunkiem rozwoju kultury jest bowiem pewna doza czasu wolnego do dyspozycji.

Jest to zarazem silny argument przeciwko istnieniu krasnoludków.

Funkcja pot ˛egowa

Je´sli wykładnik p>0 jest ustalony, a podstawa jest zmienn ˛a (argumentem funkcji), oznaczamy j ˛a przez x, to tak ˛a funkcj ˛e nazywamyfunkcj ˛a

pot ˛egow ˛a, czyli

x 7→x^p.

Je´sli p >0 i p ∈ ’, to funkcja pot ˛egowa jest zawsze dobrze okre´slona dla x >0.

Funkcj ˛e, która przyporz ˛adkowuje liczbie x>0 liczb ˛e f(x) = √ⁿ

x mo˙zna nazwa´c funkcj ˛a pierwiastkow ˛a, cho´c w istocie jest to funkcja pot ˛egowa f(x) =x^1/n.

Zwró´cmy uwag ˛e, ˙zefunkcja pierwiastkowaf(x) = √ⁿ

x jest funkcj ˛a odwrotn ˛a do g(x) =xⁿ, gdy˙z

f(g(x)) = ⁿ

√

xⁿ = (xⁿ)ⁿ¹ =x dla x >0, czyli g⁻¹(x) =f(x).

Funkcja pot ˛egowa

p>1

x y=x^p

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

p<1

x y=x^p

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

Funkcja wykładnicza

Je´sli podstawa a >0 jest ustalona, a zmienia si ˛e wykładnik, oznaczany przez x, to tak ˛a funkcj ˛e nazywamyfunkcj ˛a wykładnicz ˛a

x 7→a^x.

Je˙zeli a >1, to im wi ˛ekszy argument funkcji wykładniczej, tym wi ˛eksza jej warto´s´c — w tym przypadku funkcja wykładnicza jest funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a.

Je´sli a ∈ (0,1), to funkcja wykładnicza jest funkcj ˛a malej ˛ac ˛a. Dlatego, ˙ze dowoln ˛a liczb ˛e a∈ (0,1)mo˙zna przedstawi´c jako odwrotno´s´c liczby A =1/a>1.

Wtedy za´s a^x = _A¹x i skoro mianownik w tym ilorazie jest funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a, to funkcja x 7→a^x jest funkcj ˛a malej ˛ac ˛a.

Funkcja wykładnicza jest okre´slona dla wszystkich x ∈ ’.

Funkcja wykładnicza w biologii

Je´sli nie wyst ˛epuj ˛a czynniki ograniczaj ˛ace wzrost populacji to jej liczebno´s´c w czasie wyra˙za si ˛e poprzez funkcj ˛e wykładnicz ˛a.

Wida´c to najłatwiej na przykładzie populacji komórek, powstałych w wyniku podziałów komórkowych jednej komórki.

Stan takiej populacji N(t)w kolejnych momentach t =0,1,2. . . podziałów komórkowych wynosi

N(0) =1,N(1) =2,N(2) =2²,N(3) =2³ . . . ,N(t) =2^t.

Funkcja wykładnicza

a>1, (tutaj a =1,9)

x y=a^x

−2 −1 1 2

1 2 3 4 5

a<1 (tutaj a =0,52)

x y =a^x

−2 −1 1 2

1 2 3 4 5

Co to jest logarytm?

Logarytm

liczba y jest logarytmem z x >0 przy podstawie a (a >0,a,^{1), co} oznaczamy y =log_ax w.t.w. gdy x=a^y.

Inaczej: logarytm o podstawie a z x to pot ˛ega, do której trzeba podnie´s´c a aby otrzyma´c x.

y =log_ax ⇐⇒ a^y =x. Przykłady

2³=8 ⇐⇒ log₂8=3 10⁴ =10000 ⇐⇒ log₁₀10000=4

Co to jest logarytm ?

Zatem funkcja logarytmiczna jest funkcj ˛a odwrotn ˛a do funkcji wykładniczej, bo je´sli

y 7→x=f(y) =a^y to funkcja logarytmiczna jest okre´slona jako:

x7→y =f⁻¹(x) :=log_ax. Czyli

f(f⁻¹(x)) =a^logax =x.

Poniewa˙z funkcja logarytmiczna jest funkcj ˛a odwrotn ˛a do funkcji wykładniczej, to wykres funkcji y =f(x) =log_ax jest symetryczny do wykresu funkcji y =a^x wzgl ˛edem prostej o równaniu y =x.

Wykres funkcji log_ax dla a >1 i log1 a

x.

W przypadkua>1funkcja y=f(x) =log_ax jest funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a do+∞wraz ze wzrostem argumentu x oraz do−∞przy x d ˛a˙z ˛acym do 0.

Je´slia∈ (0,1), to funkcja y=f(x) =log_ax jest funkcj ˛a malej ˛ac ˛a do−∞przy

x→ +∞oraz d ˛a˙zy do+∞

gdy x zbiega do 0.

Własno´sci logarytmu

Własno´sci funkcji logarytm wynikaj ˛a wprost z własno´sci funkcji wykładniczej:

log_a1=0 oraz log_aa=1, log_a(xy) =log_ax+log_ay log_a(x^y) =y log_ax

log_a x

y =log_ax−log_ay log_bx= (log_ba) (log_ax) log1

a

x= −log_ax

Przedostatnia równo´s´c nazywa si ˛e wzorem nazamian ˛e podstaw logarytmów, z którego wynika ostanie równanie.

Dla przykładu wyka˙zemy pierwsz ˛a równo´s´c:

log_a(xy) =log_ax+log_ay.

Podziałajmy na obie strony równo´sci funkcj ˛a wykładnicz ˛a o podstawie a.

Dostajemy wtedykorzystaj ˛ac z własno´sci pot ˛egowania: a^z+w =a^za^w a^{loga(x y)}=a^{(logax+logay)}=a^logaxa^logay,

Z definicji logarytmu powy˙zsze równanie jest równowa˙zne x y =a^{loga(x y)} =a^logaxa^logay =xy. Podobnie mo˙zna wykaza´c pozostałe własno´sci.

Dla przykładu wyka˙zemy pierwsz ˛a równo´s´c:

log_a(xy) =log_ax+log_ay.

Podziałajmy na obie strony równo´sci funkcj ˛a wykładnicz ˛a o podstawie a.

Dostajemy wtedykorzystaj ˛ac z własno´sci pot ˛egowania: a^z+w =a^za^w a^{loga(x y)}=a^{(logax+logay)}=a^logaxa^logay,

Z definicji logarytmu powy˙zsze równanie jest równowa˙zne x y =a^{loga(x y)} =a^logaxa^logay =xy. Podobnie mo˙zna wykaza´c pozostałe własno´sci.

Logarytm dziesi ˛etny

Ze wzgl ˛edu na to, ˙ze liczby zapisuje si ˛e przede wszystkim w systemie dziesi ˛etnym, logarytmy przy podstawie dziesi ˛etnej maj ˛a szczególne znaczenie. Oznaczaj ˛ac logarytm przy podstawie dziesi ˛etnej pisze si ˛e tylko log x, a nie log₁₀x.

Przyjrzyjmy si ˛e własno´sciom logarytmu dziesi ˛etnego log 1=0, log 10=1,

log 100=log 10² =2, log 1000=log 10³=3

Logarytm dziesi ˛etny danej liczby okre´sla jej rz ˛ad wielko´sci, np. liczba 520=5,2×10²jest liczb ˛a rz ˛edu setek i jej logarytm jest liczb ˛a z przedziału(2,3), gdy˙z 10² <520<10³ i log x jest funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a.

Logarytm naturalny

U˙zywa si ˛e tak˙ze logarytmów przy podstawie naturalnej, tzn. podstaw ˛a jest wtedy pewna liczba zwana stał ˛a Eulera (na cze´s´c jednego

z najwybitniejszych matematyków, Leonarda Eulera, 1707 - 1783).

Liczb ˛e t ˛e oznacza si ˛e zawsze przeze. Jest to liczba niewymierna, w przybli˙zeniue =2,718. . ..

Liczba ta ma szereg ciekawych własno´sci i tak jak liczby 1,0,iπpojawia si ˛e w ró˙znych działach matematyki.

Logarytm naturalny oznaczamy log_ex :=ln x. Ze wzoru na zamian ˛e podstaw logarytmów dostajemy

ln x=ln 10 log x≈2,303 log x.

Skala kwasowo´sci pH

Logarytm dziesi ˛etny danej liczby okre´sla jej rz ˛ad wielko´sci w systemie dziesi ˛etnym⇒logarytmy słu˙z ˛a do skalowania ró˙znych wielko´sci fizycznych mog ˛acych przyjmowa´c bardzo du˙ze i bardzo małe warto´sci.

Przykładem jestskala kwasowo´sci pH, która okre´sla stopie ´n kwasowo´sci lub zasadowo´sci roztworu na podstawie st ˛e˙zenia jonów hydroniowych H₃O⁺

pH= −log[H₃O⁺],

[H₃O⁺]— st ˛e˙zenie jonów hydroniowych wyra˙zonych w molach na decymetr sze´scienny.

Skala kwasowo´sci pH

St ˛e˙zenie jonów H₃O⁺w wodzie destylowanej w temperaturze 20^◦C wynosi dokładnie 10⁻⁷ mol/l. Zatem pH wody destylowanej wynosi 7 i zarazem pH=7 stanowi dokładnie ´srodek skali pH odpowiadaj ˛acy roztworowi neutralnemu.

Poni˙zejpH =7 mamy roztwory kwasowe, a powy˙zej zasadowe.

Jednomolowy roztwór kwasu solnego ma pH równe 0.

Jednomolowy roztwór wodorotlenku sodu ma pH równe 14.

Skala Richtera

Skala Richteraokre´sla sił ˛e trz ˛esienia ziemi na podstawie logarytmu amplitudy drga ´n wstrz ˛asów sejsmicznych.

Skala logarytmiczna jest skal ˛a nieliniow ˛a:

trz ˛esienie Ziemi o sile w skali Richtera 5 oznacza skutki w postaci powszechnie odczuwalnych drga ´n Ziemi bez uszkodze ´n budynków — takich trz ˛esie ´n Ziemi zdarza si ˛e ponad 1000 rocznie.

Trz ˛esienie o sile 10 w skali Richtera, czyli dwukrotnie wi ˛ekszej, oznacza kataklizm.

Takie trz ˛esienia Ziemi zdarzaj ˛a si ˛e raz na 5–10 lat.

W tym przypadku amplituda drga ´n sejsmicznych jest 10⁵=100 000 razy wi ˛eksza!

Współrz ˛edne log − log

Logarytmy w biologii s ˛a stosowane bardzo cz ˛esto do graficznego przedstawienia wyników eksperymentów je´sli spodziewamy si ˛e, ˙ze zale˙zno´s´c mi ˛edzy warto´sciami wybranych cech jest funkcj ˛a pot ˛egow ˛a lub wykładnicz ˛a.

Zale˙zno´s´c pot ˛egow ˛a spotykamy najcz ˛e´sciej w fizjologii, a wykładnicz ˛a w biologii populacyjnej.

Zamiast zwykłych współrz ˛ednych liniowych (kartezja ´nskich) zmienia si ˛e je po to, aby w nowych współrz ˛ednych zale˙zno´s´c mi ˛edzy cechami była funkcj ˛a liniow ˛a (czyli najprostsz ˛a !), której poszukiwane parametry znacznie łatwiej znale´z´c na podstawie danych empirycznych (np. metod ˛a najmniejszych kwadratów).

Załó˙zmy najpierw, ˙ze warto´sci cechy C₁oznaczane przez x s ˛a zwi ˛azane za pomoc ˛a funkcji pot ˛egowej z warto´sciami y cechy C₂.

Współrz ˛edne log − log

Przyjmijmy zatem, ˙ze

y=bx^a,

a liczby b ∈ ’, a∈ ’, a>0 to pewne współczynniki.

Po zlogarytmowaniu obu stron równania dostajemy log y =log(bx^a) =a log x+log b.

Oznaczaj ˛ac Y =log y, X =log x oraz B=log b otrzymujemy zale˙zno´s´c Y =aX+B,

czyli zale˙zno´s´c liniow ˛a w nowych współrz ˛ednych, tzw. współrz ˛ednych podwójnie logarytmicznych(w skrócielog−log).

Nazwa bierze si ˛e st ˛ad, ˙ze zarówno na osi pionowej jak i na poziomej odznacza si ˛e warto´sci logarytmów odpowiednio y i x.

Współrz ˛edne pół-log

Mamy

y=ba^x,

Po zlogarytmowaniu obu stron równania dostajemy log y =log(ba^x) =x log a+log b.

Oznaczaj ˛ac A =log a, B =log b oraz Y =log y otrzymujemy zale˙zno´s´c Y =Ax+B,

czyli zale˙zno´s´c liniow ˛a w nowych współrz ˛ednych, tzw. współrz ˛ednych pół-logarytmicznych(w skróciepół-log).

Nazwa bierze si ˛e st ˛ad, ˙ze jedynie na osi pionowej odznacza si ˛e warto´sci logarytmów y, a o´s x-ów pozostaje bez zmian.

Zadania–Zbiór zada ´n Bodnara, rozdz. 5.