Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 6.

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 6.

Dariusz Wrzosek

14 listopada 2018

Pochodna funkcji — przypomnienie

Dzi ˛eki pochodnej mo˙zna okre´sli´c czy funkcja ro´snie czy maleje

je´sli pochodna dodatnia (f⁰(x) >0), to funkcja ro´snie

Pochodna a wyznaczanie ekstremów funkcji

Minimum lub maksimum funkcji f w x₀ =⇒f⁰(x₀) =0.

x₀ pochodna

funkcja

−

+

minimum lokalne

x₀

pochodna funkcja

− +

maksimum lokalne

Funkcja wypukła, funkcja wkl ˛esła

Wypukło´s´c i wkl ˛esło´s´c funkcji definiuje si ˛e geometrycznie, odnosz ˛ac si ˛e do prostych b ˛ed ˛acych siecznymi wykresu funkcji.

funkcja wypukła

punkt przegi ˛ecia

Definicja

Funkcja jest ´sci´sle wypukła, je´sli odcinek ł ˛acz ˛acy dwa dowolne ró˙zne punkty wykresu funkcji le˙zy w cało´sci (poza ko ´ncami)ponadwykresem funkcji. Funkcja jestwypukła, je´sli odcinek ł ˛acz ˛acy dwa dowolne ró˙zne punkty wykresu funkcji le˙zy ponad wykresem lub ma punkty z nim wspólne.

Definicja

Funkcja jest ´sci´sle wkl ˛esła, je´sli odcinek ł ˛acz ˛acy dwa dowolne ró˙zne punkty wykresu funkcji le˙zy w cało´sci (poza ko ´ncami)podwykresem funkcji. Funkcja jestwkl ˛esła, je´sli odcinek ł ˛acz ˛acy dwa dowolne ró˙zne punkty wykresu funkcji le˙zy pod wykresem lub ma punkty z nim wspólne.

Zwró´cmy uwag ˛e, ˙ze ka˙zda funkcja liniowa jest zarazem wkl ˛esła i wypukła, nie jest jednak ani ´sci´sle wypukła, ani ´sci´sle wkl ˛esła.

Punkt przegi ˛ecia

Definicja

Punkt p dziedziny funkcji nazywamy punktem przegi ˛ecia, je´sli na pewnym odcinku, którego prawym ko ´ncem jest p, funkcja jest ´sci´sle wypukła (wkl ˛esła) i na pewnym odcinku, którego lewym ko ´ncem jest p, funkcja jest

´sci´sle wkl ˛esła (wypukła).

Wypukło´s´c i znak drugiej pochodnej

Załó˙zmy, ˙ze f⁰⁰istnieje. Zamiast dowodu poczynimy nast ˛epuj ˛ace obserwacje:

je´sli f jest´sci´sle wypukłato na podzbiorze dziedziny gdzie jest rosn ˛aca jejpochodna ro´sniewraz ze wzrostem argumentu (prosta styczna jest coraz bardziej pionowa), a wi ˛ecf⁰⁰ >0. Z drugiej strony tam gdzie f jest malej ˛aca jejpochodna ro´snieprzyjmuj ˛ac ujemne warto´sci (prosta styczna jest coraz bardziej pozioma) a wi ˛ec wtedy tak˙zef⁰⁰>0.

je´sli f jest´sci´sle wkl ˛esłato na podzbiorze dziedziny gdzie jest rosn ˛aca ma onapochodn ˛a malej ˛ac ˛a, a wi ˛ecf⁰⁰<0. Tam za´s gdzie f jest malej ˛aca mapochodn ˛a malej ˛ac ˛aprzyjmuj ˛ac ujemne warto´sci, a wi ˛ec tak˙ze wtedyf⁰⁰<0.

Wypukło´s´c i znak drugiej pochodnej

Wypukło´s´c (wkl ˛esło´s´c) funkcji mo˙zna scharakteryzowa´c poprzez znak jej drugiej pochodnej.

Twierdzenie

Niech f : (a,b) 7→ ’b ˛edzie funkcj ˛a dwukrotnie ró˙zniczkowaln ˛a.

Funkcja f jest wypukła na odcinku(a₁,b₁) ⊂ (a,b)w.t.w. gdy f⁰⁰(x) ­0 dla x ∈ (a₁,b₁).

Funkcja f jest wkl ˛esła na odcinku(a₁,b₁) ⊂ (a,b)w.t.w. gdy f⁰⁰(x) ¬0 dla x ∈ (a₁,b₁).

Punkt p∈ (a,b)jestpunktem przegi ˛eciaw.t.w. gdy f⁰⁰(p) =0 i f⁰⁰(x) zmienia znakw punkcie p.

W przypadku ostrych nierówno´sci f⁰⁰(x) >0 (f⁰⁰(x) <0) mamy ´scisł ˛a wypukło´s´c lub odpowiednio ´scisł ˛a wkl ˛esło´s´c.

Funkcja wypukła/wkl ˛esła –podsumowanie

Funkcja ´sci´sle wypukła Funkcja ro´snie coraz szybciej (maleje coraz wolniej).

Odcinki ł ˛acz ˛ace punkty wykresu le˙z ˛anadwykresem funkcji.

Pochodna funkcji jestrosn ˛aca.

Druga pochodna funkcji jest dodatnia.

Funkcja (´sci´sle) wkl ˛esła Funkcja maleje coraz szybciej (ro´snie coraz wolniej).

Odcinki ł ˛acz ˛ace punkty wykresu le˙z ˛apodwykresem funkcji.

Pochodna funkcji jestmalej ˛aca.

Druga pochodna funkcji jest ujemna.

Funkcjaf(x) =x²dla x ∈ ’. Jest to funkcja wypukła if⁰⁰(x) =2>0dla x∈ ’.

Podobnie funkcja g(x) = −x²jest wkl ˛esła i g⁰⁰(x) = −2<0 dla x∈ ’.

x y=x²

y=2

Funkcjaf(x) =x³dla x ∈ ’. Punkt x=0 jest punktem przegi ˛ecia, gdy˙z f⁰⁰(x) =6x oraz f⁰⁰(0) =0 i dla x<0 funkcja jest wkl ˛esła (f⁰⁰(x) <0), a dla x>0 — wypukła (f⁰⁰(x) >0).

x y=x³

y=6x

Stwierdzenie

Przyjmijmy, ˙ze funkcja f : (a,b) → ’jest ró˙zniczkowalna w otoczeniu punktu x₀ ∈ (a,b)i istnieje f⁰⁰(x₀).

Je´sli f⁰(x₀) =0 i f⁰⁰(x₀) >0, to f ma minimum lokalne w x₀. Je´sli f⁰(x₀) =0 i f⁰⁰(x₀) <0, to f ma maksimum lokalne w x₀.

* Dowód (dla zainteresowanych)

Przypadek pierwszy (drugi dowodzi si ˛e tak samo). Druga pochodna funkcji f w punkcie x₀ jest granic ˛a ilorazu ró˙znicowego pierwszej pochodnej w tym punkcie.

0<f⁰⁰(x₀) = lim

x→x0

f⁰(x) −f⁰(x₀)

x−x₀ =^hbo f⁰(x₀) =0ⁱ= lim

x→x0

f⁰(x) x−x₀. Zatem dla x z dostatecznie małego otoczenia x₀ oraz:

dla x >x₀mamy f⁰(x) >0 dla x <x₀, f⁰(x) <0.

W otoczeniu punktu x₀funkcja maleje na lewo od x₀i ro´snie na prawo od x₀, zatem w x₀jest minimum lokalne.

Funkcja Hilla

Pojawia si ˛e w ró˙znych dziedzinach biologii od ekologii po biochemi ˛e.

Definicja

H_n(x) =m xⁿ

aⁿ+xⁿ dla x ­0,

gdzie m, a to pewne stałe dodatnie i n­1 nazywamy współczynnikiem Hilla.

Zbadamy jak zmienia si ˛e wykres tej funkcji przy zmianie parametru n.

Zauwa˙zmy, ˙ze H_n(0) =0 dla ka˙zdego n­1 oraz ˙ze po podzieleniu licznika i mianownika przez xⁿotrzymamy

H_n(x) =m 1 (^a_x)ⁿ+1, zatem

x→+∞lim H_n(x) =m, H(a) = ^m 2.

Otrzymujemy

H_n⁰(x) =m naⁿxⁿ⁻¹

(aⁿ+xⁿ)², H_n⁰⁰(x) = ^nma

nxⁿ⁻²((n−1)aⁿ− (n+1)xⁿ) (aⁿ+xⁿ)³ . Czyli funkcja H_n jest rosn ˛aca dla n­1 i dla n­2 ma punkt przegi ˛ecia x_p =a ⁿ

sn−1

n+1, taki ˙ze H⁰⁰(x_p) =0.

x m

m 2

a

n=¹ n=²

n=³

Funkcja Hilla

Tego typu funkcje opisuj ˛a efekt saturacji (wysycenia) wyst ˛epuj ˛acy w wielu zagadnieniach biologicznych. Dla n=1 funkcja H₁bywa nazywana funkcj ˛a typu Michaelisa-Menten (Leonor Michaelis (1875-1949), Maud Menten (1879-1960)). W biochemii opisuje ona tempo pewnego typu reakcji enzymatycznej.

Je´sli przez x oznaczymy st ˛e˙zenie substratu, to H₁(x)okre´sla tempo tworzenia si ˛e produktu. Charakterystyczn ˛a cech ˛a reakcji enzymatycznych jest to, ˙ze ze wzgl ˛edu na ograniczone tempo tworzenia si ˛e kompleksu enzym-substrat, tempo produkcji produktu nie mo˙ze rosn ˛a´c dowolnie wraz ze wzrostem st ˛e˙zenia substratu x — nie mo˙ze ono przekroczy´c pewnej warto´sci granicznej.

Funkcje tego typu pojawiaj ˛a si ˛e tak˙ze w ekologii jako funkcje opisuj ˛ace odpowiedzi funkcjonalne drapie˙znika na wzrost liczby ofiar.

Całki — wprowadzenie

Poj ˛ecie całki to jedno z najwa˙zniejszych poj ˛e´c matematyki. Zostało ono wprowadzone (podobnie jak poj ˛ecie pochodnej) pod koniec

XVII w. niezale˙znie przez Izaaka Newtona (1642-1727) i Gottfrieda Leibniza (1646-1716) i było rozwijane przez nast ˛epne 200 lat.

Całki stosuje si ˛e mi ˛edzy innymi do obliczania pól i obj ˛eto´sci figur, a tak˙ze długo´sci krzywych. Za pomoc ˛a całek rozwi ˛azuje si ˛e równania

ró˙zniczkowe, które słu˙z ˛a do opisu przebiegu ró˙znych procesów.

Całkowanie jest w pewnym sensie działaniem odwrotnym do ró˙zniczkowania.

Funkcja pierwotna- motywacja fizyczna

Pojazd startuje w chwili t =t₀z punktu x(t₀) =x₀ i porusza si ˛e po prostej z pr ˛edko´sci ˛a v(t)Jak ˛a drog ˛e pokona poruszaj ˛ac si ˛e do chwili t =T ?

Pacjentowi jest podawany do˙zylnie lek z pr ˛edko´sci ˛a v(t). Ile dawek leku otrzymał pacjent w przedziale czasu[t₀,T]je´sli w chwili t =t₀ otrzymał x(t₀) =x₀dawek?

W obu przypadkach szukamy takiej funkcji x(t), ˙ze dx(t)

dt =v(t) i odpowied´z brzmi

x(T) −x(t₀) .

Funkcja pierwotna

Niech F :D → ’, gdzie D to odcinek otwarty lub cała prosta’).

Je˙zeli w ka˙zdym punkcie x ∈D istnieje pochodna funkcji F, to funkcji F mo˙zemy jednoznacznie przyporz ˛adkowa´c funkcj ˛e pochodn ˛a

f =F⁰ :D → ’.

Odwrotnie, danej funkcji f mo˙zna przyporz ˛adkowa´c funkcj ˛e F, tak ˛a ˙ze F⁰ =f . Funkcja F jest okre´slona jednoznacznie z dokładno´sci ˛a do stałej, gdy˙z wtedy dla dowolnej stałej c

(F(x) +c)⁰ =f(x).

Definicja

Funkcj ˛e F :D 7→ ’, tak ˛a ˙ze F⁰ =f nazywamyfunkcj ˛a pierwotn ˛afunkcji f .

Całka nieoznaczona

f(x)=x, F(x)= ¹ 2x²+c f(x)=cos x, F(x)=sin x +c f(x)=x^p, F(x)= ¹

p+1x^p+1+c, p, −¹

Definicja

Całk ˛a nieoznaczon ˛afunkcji f nazywamy jej dowoln ˛a funkcj ˛e pierwotn ˛a i oznaczamy

Z

f(x)dx. Wtedy Z

f(x)dx =F(x) +c, gdzie c jest dowoln ˛a stał ˛a za´s F⁰(x) =f(x).

Funkcja pierwotna i całka nieoznaczona to niemal to samo, mimo to w praktyce u˙zywa si ˛e jednak obu terminów.

Całka nieoznaczona funkcji

Fakt

Z 1

xdx =ln|x| +c Dowód: Dla x >0 mamy

(ln x)⁰ = ¹ x.

Dla x <0 mamy za´s(ln(−x))⁰ = _−x¹ (−1) = ¹_x i dlatego mo˙zemy zapisa´c Z 1

xdx =ln|x| +c.

Je´sli a jest pewn ˛a liczb ˛a (stał ˛a), to

Z 1

x+adx =ln|x+a| +c.

Podstawowe wzory

Z

(f(x) +g(x))dx = Z

f(x)dx + Z

g(x)dx Z

(f(x) −g(x))dx = Z

f(x)dx − Z

g(x)dx dla ka˙zdej a ∈ ’zachodzi

Z

(af(x))dx =a Z

f(x)dx

Całkowanie przez cz ˛e´sci

Z

f⁰(x)g(x)dx =f(x)g(x) − Z

f(x)g⁰(x)dx

Całkowanie przez podstawienie

Z

f(g(x))g⁰(x)dx =

"

y=g(x) dy =g⁰(x)dx

#

= Z

f(y)dy.

Obliczanie całek funkcji jest du˙zo trudniejsze ni˙z ró˙zniczkowanie Nie istniej ˛aogólne wzory na całk˛e z iloczynu lub ilorazu funkcji ani na całk˛e funkcji zło˙zonej.

Zwykle, aby policzy´c całk˛e (znale´z´c funkcj ˛e pierwotn ˛a) trzeba umiej ˛etnie stosowa´c dost ˛epne wzory na całkowanie przez cz ˛e´sci i całkowanie przez podstawienie. Który wzór i w jaki sposób zastosowa´c nie jest oczywiste.

Definicja

Całk ˛a oznaczon ˛afunkcji f : [a,b] → ’w granicach od a do b nazywamy

liczb ˛e _{Z b}

a

f(x)dx =F(b) −F(a) =F(x)^b

a, gdzie F jest dowoln ˛a funkcj ˛a pierwotn ˛a funkcji f .

Przykład

Z 2 1

x³dx = ¹ 4x⁴

2

1

= ¹

4·2⁴−¹

4·1⁴ = ¹

4·16−¹ 4 =33

4. Okre´slmy funkcj ˛e górnej granicy całkowania

x7→

Z x a

f(s)ds. Wtedy

d ^{Z x}

f(s)ds = ^d (F(x) −F(a)) =f(x) .

Przy obliczaniu całek cz ˛esto wykorzystuje si ˛e nast ˛epuj ˛ac ˛a własno´s´c.

Niech F b ˛edzie funkcj ˛a pierwotn ˛a do f : [x₁,x₂] → ’. Rozpatrzmy funkcj ˛e zło˙zon ˛a g(x) =f(ax+b), gdzie a i b to pewne stałe.

Funkcj ˛a pierwotn ˛a do g jest funkcja G(x) = ¹_aF(ax+b), a zatem Z _x2

x1

g(x)dx = Z _x2

x1

f(ax+b)dx = ¹

a(F(ax₂+b) −F(ax₁+b)) .

Przykłady

Z 2 1

e^5x+2dx = ¹ 5

e¹²−e^7

Z ₁

0

1

1+2x dx = ¹

2ln|1+2x|    

1

0

= ¹

2ln 3−¹

2ln 1 = ^{ln 3} 2

Podstawowe własno´sci całki oznaczonej

dla a¬c¬b mamy Z c

a

f(s)ds+ Z b

c

f(s)ds = Z b

a

f(s)ds bo Z _c

a

f(s)ds+ Z _b

c

f(s)ds =F(c) −F(a) + (F(b) −F(c)) =

=F(b) −F(a) = Z b

a

f(s)ds. Je´sliαjest dowoln ˛a liczb ˛a i g pewn ˛a funkcj ˛a ci ˛agł ˛a, to

Z _b

a

(f(s) + αg(s))ds = Z _b

a

f(s)ds+ Z _b

a

αg(s)ds =

= Z b

a

f(s)ds+ α Z b

a

g(s)ds. Pierwsza własno´s´c sugeruje, ˙ze definicj ˛e całki oznaczonej mo˙zna rozszerzy´c na funkcje kawałkami ci ˛agłe mówi ˛ac, ˙ze całka z funkcji