Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji f (x, y

Analiza II, ISIM Lista zada« nr 9

1. Udowodnij nierówno±¢ trójk¡ta dla metryki Euklidesowej.

2. Oblicz granice

(x,y)lim→(1,0)

x²− xy + y²

x²+ y² lim

(x,y)→(0,0)

sin xy

y lim

(x,y)→(1,0)xe^−1/y2 lim

(x,y)→(0,0)

sin(x²y²)

|x|³+|y|³ lim

(x,y)→(0,0)

√ xy

x²+ y² lim

(x,y,z)→(0,0,0)

x³+ y³+ z³ x²+ y²+ z² 3. Sprawd¹, »e podane granice nie istniej¡

(x,y)→(0,0)lim x

y lim

(x,y)→(0,0)|y|^x lim

(x,y)→(0,0)

xy x²+ y²

4. Znajd¹ przykªad funkcji okre±lonej dla (x, y) ̸= (0, 0) takiej, »e dla ka»dego wektora (a, b), lim_t→0f (ta, tb) = 0, ale lim(x,y)→(0,0)f (x, y)nie istnieje.

5. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji

f (x, y) =

{ xy²

x²+y² dla (x, y)̸=(0, 0)

0 dla (x, y)=(0, 0) f (x, y) =

{ xy²

|x|³+|y|³ dla (x, y)̸=(0, 0) 0 dla (x, y)=(0, 0)

f (x, y) =

{ _{sin xy}

x²+y² dla (x, y)̸=(0, 0)

0 dla (x, y)=(0, 0) f (x, y) =

{ x³y³

x¹2+y⁴ dla (x, y)̸=(0, 0) 0 dla (x, y)=(0, 0) 6. Wyznacz wn¦trze podanych zbiorów

a) Koªo o ±rodku w (−1, 0) i promieniu 2.

b) {

(x, y) : xy≥ 1} . c) {

(x, y) : max{|x|, |y|} = 1} 7. Wyznacz brzeg dla podanych zbiorów

a) Koªo o ±rodku w (−3, 2) i promieniu 6.

b) Górna póªpªaszczyzna.

c) Trójk¡t o wierzchoªkach w (−1, 1), (1, 1) oraz (0, −5).

d) Wykres paraboli y = 4x².

e) Pªaszczyzna z wyª¡czeniem (0, 0).

8. Niech A oznacza zbiór punktów (x, y), dla których |y| < |x³| oraz niech f(x, y) = y/x dla (x, y)∈ A. Czy istnieje granica lim(x,y)→(0,0)f (x, y)?

9. Funkcja f(x, y) jest ci¡gªa na R². Poka», »e zbiór{

(x, y) : f (x, y) < c}

jest zbiorem otwartym dla dowolnej warto±ci c, oraz znajd¹ brzeg tego zbioru.

10. Niech f : [a, b] → R b¦dzie funkcj¡ ci¡gª¡. Niech U ={

(x, y)∈ R² : y < f (x), a < x < b} Poka», »e U jest zbiorem otwartym. .

11. Poka», »e funkcja f(x, y) = _x3^yx+y²³ jest ograniczona na caªej dziedzinie.

12. Sprawd¹, »e funkcja

f (x, y) = x²y²

x²y²+ (x− y)², (x, y)̸= (0, 0),

ma iterowane granice (tzn. podwójne granice limx→0lim_y→0f (x, y) i limy→0lim_x→0f (x, y) ist- niej¡), ale peªna granica lim(x,y)→(0,0)f (x, y)nie istnieje.

13. Poka», »e funkcja

f (x, y) = (x + y) sin1 xsin1

y, x̸= 0, y ̸= 0, ma granic¦ w punkcie (0, 0), chocia» iterowane granice nie istniej¡.

14. Znajd¹ dziedzin¦ funkcji g(x, y) = arcsin^x_y i przedstaw j¡ na rysunku. Zbadaj ci¡gªo±¢

funkcji g na jej dziedzinie.

15. Zbadaj wzdªu» których prostych x = t cos ϕ, y = t sin ϕ funkcja f(x, y) = e^x/(x2+y2) ma granic¦ w niesko«czono±ci, a funkcja g(x, y) = e^x2/(|x|+|y|) w zerze.

16. Udowodnij, »e dla funkcji f(x, y) = _x4^x+y^2y2 granica lim(x,y)→(0,0)f (x, y) nie istnieje, chocia»

dla ka»dej pary (a, b) (takiej, »e a²+ b²̸= 0) granica limt→0f (ta, tb) istnieje.

17. Znajd¹ wszystkie pochodne cz¡stkowe nast¦puj¡cych funkcji

f (x, y, z) = x^y f (x, y, z) = x^y+ z f (x, y) = log(x + y²)

f (x, y) = sin(x sin y) f (x, y, z) = sin(x sin(y sin z)) f (x, y, z) = (x + y)^z f (x, y, z) = x^yz f (x, y, z) = x^yz f (x, y, z) =

(x y

)z

18. Oblicz ^∂f_∂x(1, 0) dla f(x, y) = e^{cos x}ln(arctg(xy) + e^sin(x2y)). 19. Oblicz ^∂f_∂x(0, 0) dla f(x, y) =√³xy.

20. Funkcja f(x, y) o ci¡gªych pochodnych cz¡stkowych speªnia warunki f(x, 0) = sin x oraz f (x, 1) = π⁻¹ + x³. Poka», »e w pewnym punkcie pochodna cz¡stkowa ^∂f_∂x zeruje si¦. Wska- zówka: skorzystaj z twierdzenia Lagrange'a.

21. Funkcja g(x, y) ma dodatnie pochodne cz¡stkowe. Poka», »e g(x, y) < g(s, t) je±li x < s i y < t.

22. Funkcja h(x, y) speªnia warunki ^∂h_∂x+^∂h_∂y > 0 i ^∂h_∂x−^∂h_∂y > 0. Poka», »e h(0, 0) < h(π, e).

23. Funkcja s(u, v) posiada pochodne cz¡stkowe w ka»dym punkcie i speªnia s(0, 0) = s(3, 4).

Poka», »e istnieje punkt pªaszczyzny, w którym 3^∂s_∂u+ 4_∂v^∂s = 0

24. Poka», »e funkcja f(x, y) maj¡ca ograniczone pochodne cz¡stkowe w pewnym wypukªym obszarze pªaszczyzny jest jednostajnie ci¡gªa w tym obszarze. ^∗ Czy zaªo»enie o wypukªo±ci obszaru jest istotne?

25. Niech z = f(x − y). Poka», »e ^∂z_∂x =−_∂y^∂z

26. Niech w = f(x − y, y − z, z − x). Poka», »e ^∂w_∂x +^∂w_∂y + ^∂w_∂z = 0

27. Niech z = f(x, y), x = r cos θ i y = r sin θ. Poka», »e _∂x^∂z = ^∂z_∂r cos θ − ^∂z_∂θ^{sin θ}_r oraz

∂z

∂y = ^∂z_∂rsin θ−^∂z_∂θ^{cos θ}_r

28. Funkcja f(x, y) jest jednorodna stopnia n je±li dla dowolnej liczby rzeczywistej t speªniony jest warunek

f (tx, ty) = tⁿf (x, y).

Poka», »e zachodzi wówczas wzór x∂f

∂x(x, y) + y∂f

∂y(x, y) = nf (x, y).

Wskazówka: Zró»niczkuj obie strony wzgl¦dem t i podstaw t = 1.

29. Korzystaj¡c z poprzedniego zadania poka», »e funkcja f(x, y) = tg^x2_xy^+y2 speªnia x^∂f_∂x+y^∂f_∂y = 0.

30^∗. Zbiór domkni¦ty deniujemy jako dopeªnienie zbioru otwartego. Dla dowolnego zbioru A ⊂ Rⁿ deniujemy odlegªo±¢ punktu od zbioru: d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}. Udowodnij,

»e zbiór jest domkni¦ty wtedy i tylko wtedy, gdy z faktu, »e d(x, A) = 0 wynika, »e x ∈ A.

Wskazówka: d(x, A) = 0, oznacza, »e istnieje ci¡g {xn} elementów A, zbiegaj¡cy do x.

31^∗. Znajd¹ przykªad funkcji f(x, y), która jest ci¡gªa ze wzgl¦du na ka»d¡ zmienn¡ z osobna (przy zaªo»eniu, »e druga zmienna jest ustalona), ale nie jest ci¡gªa.

32^∗. Poka», »e zbiór nieci¡gªo±ci funkcji f(x, y) = x sin(1/y), gdy y = 0 i f(x, 0) = 0 nie jest domkni¦ty.

33^∗.Udowodnij, »e je»eli w pewnym obszarze A funkcja f(x, y) jest ci¡gªa ze wzgl¦du na zmienn¡

xi speªnia warunek Lipschitza jednostajnie ze wzgl¦du na zmienn¡ y, tzn |f(x, y^′)− f(x, y^′′)| ≤ L|y^′− y^′′|, gdzie (x, y^′), (x, y^′′)∈ A i L staª¡, to funkcja f jest ci¡gªa na A.

34^∗.Poka», »e je»eli x^∂f_∂x(x, y) + y^∂f_∂y(x, y) = nf (x, y), to jest ona jednorodna stopnia n.