Zestaw zadań z fizyki kwantowej

Zestaw zadań z fizyki kwantowej

6. Metoda wariacyjna

Przydatne informacje:

Równanie w postaci H E rozwiązujemy w sposób przybliżony, obliczając minimum funkcjonału (ze względu na parametr  ):

 

E _ ^{ }

 

 

 ^   ^,

gdzie _ jest odpowiednio dobranym stanem próbnym (początkowym).

ZADANIA

1^*. Udowodnić, że funkcjonał ^E

 

 

2. Udowodnić, że:

 

Hˆ

E   E

 ^   ^{ ,}

gdzie E1 jest prawdziwą (nieznaną) wartością energii stanu podstawowego.

3. Wykazać, że funkcja próbna dla atomu helu może mieć postać:

 





1 2

0 0

, 1 exp r r

a a



 

 



 

 

    

   

r r ,

gdzie

2

a0

  zaś  ² 4 0

 e

  .

(Wskazówka: założyć, że elektrony w atomie helu nie oddziałują ze sobą).

4. Obliczyć element macierzowy (na podstawie zadania nr 3):

1

1

 r 

  .

(Wskazówka: należy przejść do zmiennych sferycznych oraz dokonać podstawienia

0 k k

x r a

 ).

Przydatne całki oznaczone:

 

1 0

n ax 1

n

x e dx n a







  



Poprawny wynik:

1 0

1

r a

 

    .

5^**. Obliczyć element macierzowy (na podstawie zadania nr 3):

1 2

1

 

 



r r .

(Wskazówka: należy przejść do zmiennych sferycznych, skorzystać z twierdzenia cosinusów oraz dokonać podstawienia xcos₂).

Przydatne całki oznaczone:

1

1

1 2 2

dx b a b a

a a

 b ax

    



1

2

0 1 0

1

2

0 0

2

exp 2 exp

2 4

r

a r a r

x x dx

a a





 

      

        

 

   



1 2 2 3 3

2 1 0 1 0 1 0 0

2 3 3

0 0

0

2

exp 2 exp

2 2 4 4

r x r a r a r a a

x dx

a a





   

     

         

 

   



Poprawny wynik:

1 2 0

1 5

  8 a

   



r r .

6^*. Korzystając z wyników otrzymanych w zadaniach nr 4 i 5 obliczyć funkcjonał:

 

E _  _ H _ , gdzie:

1 2 int

ˆ ˆ ˆ ˆ

H H H H , oraz

2 1 1

1

ˆ 2

H Z

r



 p  ,

2 2 2

2

ˆ 2

H Z

r



 p 

, _int

1 2

Hˆ _  r r .

Wskazówka: hamiltonian elektronu o numerze k możemy zapisać w postaci:

2 2

2 2

k k

k k k k

H r Z

r r r r





 

 

     

 ,

gdzie uwzględniono fakt, że w stanie podstawowym liczby kwantowe związane z momentem pędu są równe zeru.

Poprawny wynik:

 

0

2 5

E Z 8

 a

   ^   ^.

7. Obliczyć wartość parametru ₀, dla którego funkcjonał obliczony w zadaniu nr 6 osiąga minimum. Na tej podstawie wyznaczyć energię stanu podstawowego atomu helu.

Poprawny wynik: ₀ ⁵ Z 16

   ,

 

0

5

E Z 16

a

    ^  ^ , E₁ 77.5eV.