OTW (zestaw 4 - środa 14.11.2018)

(1)

OTW (zestaw 4 - środa 14.11.2018)

Proszę dokończyć zadania z porzedniego zestawu.

19. To zadanie było rozwiązane na wykładzie - proszę je przemyśleć - w szczególności jaki jest sens otrzymanego wyniku.

Rozważmy geodetyki γ₀ i γ₁ sparametryzowane parametrem afinicznym t, tzn. u^µ∇_µu^α = 0, gdzie u^µ = dx^µ

dt _γ

0

(i analogicznie dla γ₁). Wprowadźmy parametr s, który rośnie w sposób ciągły pomiędzy γ0 i γ1, a na γ0, γ1 przyjmuje stałą ustaloną wartość. Definiujemy wektor w^µ= dx^µ

ds γ0

. Proszę pokazać, że

u^µ∇_µ(u^ν∇_νw^α) = R^α_βγδu^βu^γw^δ.

20. Proszę rozważyć dwie sąsiednie geodetyki (koła wielkie) na 2-sferze o promieniu R: równik (γ₀) i geodetykę (γ₁), która w φ = 0 jest równoległa do równika i lekko odchylona na północ od równika o kąt δθ = . Wektor w^αdefiniujemy tak jak w poprzednim zadaniu. Korzystając z wyników poprzednich zadań proszę pokazać, że

d²w^θ

dφ² = −w^θ, d²w^φ dφ² = 0,

i wypisać rozwiązania tych równań. Następnie, uwzględniając powyższe warunki początkowe proszę podać zależność θ(φ) dla geodetyki γ1.

21. To zadanie ma głęboki sens fizyczny, ale na razie proszę je potraktować jako ćwiczenie z całkowania. Podstawowe twierdzenia są zebrane w notatkach do wykładu Waltera Simona - na stronie zamieściłem skan 2 stron w pliku walter notes.pdf (tutaj te twierdzenie nie będą potrzebne - zadaną całkę proszę policzyć wprost z poniższej definicji)

Dana jest metryka Kerra:

ds² = −

1 −2 M r ρ²

dt²− 4 M a r (1 − u²)

ρ² dtdφ +ρ²

∆dr² + ρ²

1 − u² du²+ 1 − u²

r²+ a²+2 M r a²(1 − u²) ρ²

dφ²,

gdzie:

0 ≤ a ≡ J

M < M , M +√

M²− a² < r , −1 < u = cos θ < 1 , ρ² = r²+ a²u², ∆ = r²− 2M r + a².

Proszę obliczyć dla tej metryki całki Komara:

K_S = 1 4π

Z

S

∇_µξ_νdS^µν,

gdzie

(a) powierzchnia S jest zadana przez warunek t-stałe, r-stałe, (b) dS^µν = n^[µm^µ]dS;

n, m - wzajemnie ortonormalne wektory, ortogonalne do powierzchni S, dS =√

g_uug_φφdudφ - element objętości na powierzchni S,

(2)

(c) ξ - wektor Killinga: całkę proszę policzyć dla:

ξ = ∂_φ (tzn. ξ^µ= (0, 0, 0, 1)) oraz dla

ξ = ∂_t (tzn. ξ^µ= (1, 0, 0, 0)).

A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/