OTW (zestaw 1 - środa 04.10.2010) Pochodną kowariantną wektora definiujemy w następujący sposób:

OTW (zestaw 1 - środa 04.10.2010)

Pochodną kowariantną wektora definiujemy w następujący sposób:

∇_αu^µ ≡ u^µ_;α= u^µ_,α+ Γ^µ_αβu^β, gdzie u^µ_,α≡ ∂_αu^µ≡ ∂u^µ

∂x^α. Pochodne kowariantne tensorów o innej walencji definiujemy korzystając z faktu

∇_α(u^µv_µ) = ∂_α(u^µv_µ)

oraz żądając, aby pochodna kowariantna spełniała regułę Leibniza:

∇α(u^µvν) = vν∇αu^µ+ u^µ∇αvν

1. Korzystając z definicji powyżej proszę pokazać, że ∇_αu_µ= ∂_αu_µ− Γ^λ_αµu_λ

2. Proszę pokazać (przez jawne wyliczenie), że istnieje dokładnie jedna koneksja liniowa (nazy- wana koneksją metryczną), która spełnia warunek

∇αgµν = ∂αgµν− Γ^ρ_αµgρν− Γ^ρ_ανgµρ= 0 i jest symetryczna (tzn. Γ^γ_αβ = Γ^γ_βα):

Γ^µ_αβ = 1

2g^µλ(∂αgλβ+ ∂βgλα− ∂λgαβ) .

Wskazówka: w wyrażeniu na ∇_αg_µν dokonać cyklicznej permutacji wskaźników a następnie dodając/odejmując otrzymane wyrażenia stronami, korzystając z własności symetrii Γ^γ_αβ = Γ^γ_βα, znaleźć wyrażenie na Γ^µ_αβ.

3. Proszę policzyć współczynniki koneksji metrycznej dla metryki euklidesowej ds² = dx²+ dy² we współrzędnych biegunowych.

4. Chcemy aby pochodna kowariantna ∇_αu^µ była tensorem. Jakie jest w takim razie prawo transformacji dla Γ^µ_αβ ?

5. W miare możliwości proszę przynieść na zajęcia laptopy z aktualną licencją Mathematica.

Spróbujemy zbudować narzędzia, które mogą przydać się w przyszłości.

A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/