Podlaski Konkurs Matematyczny

Podlaski Konkurs Matematyczny

Zadania konkursowe - klasy pierwsze 27 maja 2006 r.

1. ´Scianami o´smio´scianu foremnego sa tr´_, ojkaty r´_, ownoboczne o boku d lugo´sci n. Ka˙zda_, krawed´_, z o´smio´scianu dzielimy na n odcink´ow d lugo´sci 1, a nastepnie prowadzimy wszyst-_, kie odcinki r´ownoleg le do krawedzi o ko´_, ncach w punktach podzia lu. Odcinki te wraz z krawedziami o´smio´scianu wyznaczaj_, a podzia l ka˙zdej ´sciany na tr´_, ojkaty r´_, ownoboczne o boku 1. Ile jest r´o˙znych punkt´ow bed_, acych wierzcho lkami tych tr´_, ojkat´_, ow i ile jest wszyst- kich odcink´ow d lugo´sci 1 bed_, acych bokami tych tr´_, ojkat´_, ow. (Model o´smio´scianu foremnego mo˙zna zbudowa´c sklejajac podstawami dwa przystaj_, ace ostros lupy o podstawach kwadra-_, towych i ´scianach bocznych bed_, acych tr´_, ojkatami r´_, ownobocznymi).

Rozwiazanie_,

Zauwa˙zmy, ˙ze na ka˙zdej ´scianie o´smio´scianu mamy n² tr´ojkat´_, ow r´ownobocznych o boku 1.

Uzasadni´c to mo˙zna np. por´ownujac pole ´sciany bocznej, kt´_, ore wynosi ⁿ²

√ 3

4 i pole tr´ojkata o boku 1, kt´ore wynosi

√3

4 . Tr´ojkaty o boku 1 pokrywaj_, a ´scian_, e boczn_, a, wi_, ec musi ich by´_, c n². Na powierzchni bocznej o´smio´scianu mamy wiec 8n_, ² tr´ojkat´ow r´ownobocznych o boku 1.

Maja one razem 24n_, ² bok´ow, ale ka˙zdy bok nale˙zy do dok ladnie dw´och tr´ojkat´_, ow. Tak wiec_, na powierzczni o´smio´scianu mamy ¹₂ · 24n² = 12n² odcink´ow d lugo´sci 1, bed_, acych bokami_, tr´ojkat´_, ow r´ownobocznych.

Zauwa˙zmy, ˙ze 8n² tr´ojkat´_, ow o boku 1 ma razem 24n² wierzcho lk´ow, przy czym ka˙zdy z 6 wierzcho lk´ow bed_, acych wierzcho lkami o´smio´scianu nale˙zy do dok ladnie czterech tr´_, ojkat´_, ow o boku 1, a ka˙zdy z pozosta lych nale˙zy do dok ladnie sze´sciu tr´ojkat´_, ow o boku 1. Tych pozosta lych jest zatem

24n²− 6 · 4

6 = 4n²− 4.

Lacznie z wierzcho lkami o´smio´scianu mamy wi_, ec 4n_, ²+ 2 punkt´ow bed_, acych wierzcho lkami_, tr´ojkat´_, ow o boku 1. 

2. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x, y, z zachodzi nier´owno´s´c:

xy z +yz

x + zx

y > x + y + z.

Rozwiazanie_,

Liczby x, y, z sa dodatnie, wi_, ec rozwa˙zana nier´_, owno´s´c jest r´ownowa˙zna nastepuj_, acej:_, x²y²+ y²z²+ z²x² > x²yz + xy²z + xyz².

Ostatnia nier´_, owno´s´c mo˙zemy napisa´c w postaci 1

2x²(y² − 2yz + z²) + 1

2y²(x²− 2xz + z²) + 1

2z²(x²− 2xy + y²) > 0, czyli

1

2x²(y − z)²+1

2y²(x − z)² +1

2z²(x − y)² > 0.

1

2

Powy˙zsza nier´owno´s´c zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z, a nier´owno´s´c rozwa˙zana

w zadaniu jest jej konsekwencja._, 

3. Dany jest sze´sciokat wypuk ly ABCDEF taki, ˙ze przek_, atne AD, BE oraz CF przecinaj_, a_, sie w jednym punkcie O. Niech S_{, 1}, S₂, S₃, S₄, S₅ i S₆ bed_, a kolejno polami tr´_, ojkat´_, ow AOB, BOC, COD, DOE, EOF i F OA. Udowodni´c, ˙ze S₁· S₃· S₅ = S₂ · S₄· S₆.

Rozwiazanie_,

Niech AO = a, BO = b, CO = c, DO = d, EO = e, F O = f oraz ∠AOB = ∠DOE = α,

∠BOC = ∠EOF = β oraz ∠COD = ∠F OA = γ. Mamy wiec: S_{, 1} = ¹₂ab sin α, S₂ =

1

2bc sin β, S₃ = ¹₂cd sin γ, S₄ = ¹₂de sin α, S₅ = ¹₂ef sin β, S₆ = ¹₂f a sin γ. Stad wynika, ˙ze_, S₁· S₃· S₅ = 1

8abcdef sin α sin β sin γ, oraz

S₂· S₄· S₆ = 1

8abcdef sin α sin β sin γ.

Ostatecznie S₁· S₃· S₅ = S₂· S₄· S₆. 

4. W tr´ojkacie ABC d lugo´sci wszystkich trzech wysoko´sci s_, a ca lkowitymi wielokrotno´sciami_, promienia okregu wpisanego w ten tr´_, ojkat. Wykaza´_, c, ˙ze ABC jest tr´ojkatem r´_, ownobocznym.

Rozwiazanie_,

Oznaczmy przez a, b, c d lugo´sci bok´ow tr´ojkata ABC, przez h_, a, hb, hc d lugo´sci odpowied- nich wysoko´sci, przez r promie´n okregu wpisanego oraz S niech b_, edzie polem rozwa˙zanego_, tr´ojkata. Mamy_,

2S = ah_a= bh_b = ch_c = r(a + b + c).

Z za lo˙zenia istnieja dodatnie liczby ca lkowite x, y, z takie, ˙ze_, h_a= xr, h_b = yr oraz h_c = zr.

Uwzgledniaj_, ac to w powy˙zszych r´_, owno´sciach otrzymujemy:

r = 2S

a + b + c = 2S

2S

xr +^2S_yr +^2S_zr = r

1

x + ¹_y + ¹_z, czyli

1 x + 1

y + 1 z = 1.

Poniewa˙z ´srednica okregu wpisanego w tr´_, ojkat jest kr´_, otsza od ka˙zdej jego wysoko´sci, wiec_, liczby x, y, z sa nie mniejsze od 3. Z latwo´sci_, a zauwa˙zamy, ˙ze w takiej sytuacji r´_, owno´s´c

1

x + ¹_y + ¹_z = 1 mo˙ze zaj´s´c tylko dla x = y = z = 3. Stad wnosimy, ˙ze h_{, a} = h_b = h_c oraz

a = b = c. 

[pg]