Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy drugie 27 maja 2006 r.
1. Niech A bedzie zbiorem wszystkich liczb sze´sciocyfrowych o niezerowych cyfrach i takich,,
˙ze suma trzech pierwszych cyfr jest r´owna sumie trzech ostatnich. Na przyk lad, liczba 232115 jest elementem zbioru A poniewa˙z 2 + 3 + 2 = 1 + 1 + 5.
Wykaza´c, ˙ze suma wszystkich liczb ze zbioru A jest podzielna przez 1001.
2. Liczby a i b sa takie, ˙ze r´, ownanie x2+ ax + b = 0 ma dwa niezerowe pierwiastki bed, ace, liczbami ca lkowitymi. Rozstrzygna´,c czy a2+ (b − 1)2 mo˙ze by´c liczba pierwsz, a?,
3. Na bokach tr´ojkata ABC obrano kolejno punkty A, 1, B1 i C1 w ten spos´ob, ˙ze A1 ∈ BC, B1 ∈ AC i C1 ∈ AB. Wykaza´c, ˙ze okregi opisane na tr´, ojkatach AC, 1B1, BA1C1 i CB1A1 maja punkt wsp´, olny.
4. W pola kwadratowej tablicy 10 × 10 wpisano r´o˙zne liczby naturalne. Wykaza´c, ˙ze w pewne dwa sasiednie pola (tzn. pola maj, ace wsp´, olny bok) wpisano liczby r´o˙zniace si, e co, najmniej o 6.
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 30 maja 2006r.
1
