Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus)
Nazwa Przedmiotu: Analiza matematyczna Kod przedmiotu:
Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: podstawowy
Rok studiów, semestr: rok pierwszy, semestr I Liczba punktów ECTS: 8
Metody nauczania: 45 godz. wykład, 45 godz. ćwiczeń Język wykładowy: polski
Imię i nazwisko wykładowcy: dr Krzysztof Kucab
Wymagania wstępne: Ukończony kurs matematyki na poziomie szkoły średniej.
Cele przedmiotu (efekty kształcenia i kompetencji):
Poznanie i opanowanie rachunkowe narzędzi analizy matematycznej stosowanych w fizyce. Po zakończeniu kursu student posiada wiadomości dotyczące rachunku zbiorów, ciągów, funkcji jednej zmiennej, w tym: pochodnych, podstawowych twierdzeń związanych z funkcjami, potrafi badać przebieg zmienności funkcji.
Student posiada także wiedzę na temat rachunku całkowego funkcji jednej zmiennej oraz zastosowania całek w fizyce. Omówione zostaną także szeregi funkcyjne i równania różniczkowe zwyczajne.
LP. Treści merytoryczne przedmiotu LICZBA GODZIN
Wykład 1. Wiadomości wstępne.
Oznaczenia logiczne, wartości logiczne, kwantyfikatory. Zbiory. Rachunek
zbiorów. 3
2. Zasada indukcji zupełnej. Ciała liczb rzeczywistych i zespolonych.
Odwzorowania i ich własności. Funkcje. Działania na funkcjach. 3 3. Ciągi.
Definicja granicy ciągu liczbowego; własności ciągów zbieżnych (ograniczoność, jednoznaczność granicy, zbieżność podciągów).
3 4. Funkcje – własności podstawowe.
Granice funkcji, ciągłość, asymptoty. 3
5. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Definicja pochodnej; styczna. Twierdzenia o różniczkowaniu sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej. Twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a. Reguła de L’Hospitala. Pochodne rzędów wyższych niż jeden. wzór Taylora. Badanie przebiegu zmienności funkcji.
9
6. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
Funkcje pierwotne. Twierdzenie o całkowaniu przez części i o całkowaniu przez podstawienie. Definicja Riemanna całki oznaczonej. Całki niewłaściwe. Kryteria zbieżności. Zastosowanie całek oznaczonych w geometrii i fizyce.
9
7. Szeregi
Definicja szeregu liczbowego. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych. Rodzaje zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych i kryteria zbieżności takich szeregów. Ciągi i szeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe. Szereg Taylora. Szereg Fouriera.
6
8. Równania różniczkowe zwyczajne
Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego. Proste typy równań różniczkowych. Równania i układy równań różniczkowych liniowych (o stałych współczynnikach).
Klasyfikacja równań różniczkowych liniowych drugiego rzędu. Zależność rozwiązań od warunków początkowych.
9
Razem 45h
Ćwiczenia
1.
Rachunek zdań, kwantyfikatory, algebra zbiorów:
- sprawdzanie tautologii, wypowiadanie twierdzeń;
- przekształcenia wyrażeń zawierających kwantyfikatory;
- zbiór liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, rzeczywistych;
- dowodzenie zależności spełnianych przez zbiory;
- badanie ograniczeń zbiorów oraz ich kresów górnych i dolnych.
3
2.
Indukcja zupełna, ciągi liczbowe:
- dowodzenie twierdzeń przy pomocy indukcji zupełnej;
- ciągi ograniczone, monotoniczność ciągu, granica właściwa i niewłaściwa, arytmetyka granic ciągów, twierdzenie o trzech ciągach, twierdzenie o dwóch ciągach, liczba e.
6
3.
Funkcje – wiadomości podstawowe:
- funkcje elementarne – własności;
- funkcja okresowa, parzysta, nieparzysta, ograniczona, monotoniczna;
- funkcja złożona;
- funkcja odwrotna.
3
4.
Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej:
- kolokwium z działów 1, 2 i 3 (2 godz.)
- różniczkowanie sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia oraz funkcji odwrotnej;
- twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a;
- reguły de L’Hospitala;
- pochodne rzędów wyższych niż jeden;
- wzór Taylora;
- badanie prze biegu zmienności funkcji.
9
5.
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej:
- kolokwium z działu 4. (2 godz.) - funkcje pierwotne;
- podstawowe metody całkowania (całkowanie przez części oraz przez podstawienie);
- całka oznaczona;
- zastosowanie całek oznaczonych;
- całki niewłaściwe; kryteria zbieżności.
12
6.
Szeregi :
- kolokwium z działu 5. (2 godz.)
- kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych;
- rodzaje zbieżności szeregów o wyrazach dowolnych i kryteria zbieżności takich szeregów;
- ciągi i szeregi funkcyjne;
- szeregi potęgowe;
- szereg Taylora;
- szereg Fouriera.
6
7.
Równania różniczkowe zwyczajne - proste typy równań różniczkowych;
- równania i układy równań różniczkowych liniowych (o stałych współczynnikach);
- zależność rozwiązań od warunków początkowych.
6
Razem 45h
Metody oceny:
Ćwiczenia: Zaliczone trzy kolokwia, pozytywne odpowiedzi przy tablicy.
Egzamin: Do egzaminu można przystąpić po zaliczeniu ćwiczeń rachunkowych.
Egzamin będzie się składał z części pisemnej (3h) i ustnej.
Spis zalecanych lektur:
1. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, GiS, Wrocław 2000.
2. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Matematyczna w zadaniach, PWN, 2007.
3. M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne, GiS, Wrocław 2000.
4. L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, UMK, Toruń 2000.
5. H.J. Musielakowie, Analiza matematyczna, tom 1, UAM, Poznań 1993.
/podpis prowadzącego/ /podpis Kierownika Zakładu/
II. (B) Opis poszczególnych przedmiotów
Cele przedmiotu (wskazane jest określenie celów jako efektów kształcenia i kompetencji) (objectives of the course, preferably expressed in terms of learning outcomes and competences)
Opis zakładanych kompetencji i umiejętności jakie student nabywa w wyniku zaliczenia przedmiotu.
Treści merytoryczne przedmiotu (course contents)
Jasny i zwięzły opis treści przedmiotu pozwalający określić jego zakres tematyczny.
Podstawowy, średnio-zaawansowany, zaawansowany.
Poziom można zdefiniować przy pomocy takich czynników jak:
* Warunki wstępne (dopuszczające)
* Efekty kształcenia (learning outcomes)
* Informacje bibliograficzne Poziom przedmiotu
(level of course) II.B.4
Szczegółowe informacje na temat form zajęć/metod nauczania, w tym liczba godzin tygodniowo oraz całkowita liczba tygodni obejmujących:
* wykłady
* konsultacje (zarówno regularne, jak też organizowane w indywidualnych przypadkach)
* seminaria i warsztaty grupowe
* praca w laboratorium
* projekty i prace terenowe
* inne ćwiczenia/zajęcia praktyczne
* formy kształcenia na odległość (jeśli są stosowane)
* inne metody/formy Metody nauczania
(teaching methods) II.B.7
Zakres wiadomości/ umiejętności/ kompetencji, jakie powinien już posiadać student przed rozpoczęciem nauki przedmiotu, a także specyfikacja innych przedmiotów lub programów, które należy zaliczyć wcześniej.
Wymagania wstępne (prereguisites) II.B.10
II.B.11
II.B.12
Powinien się tu znaleźć dokładny opis metod oceny pracy studenta, w ramach danego przedmiotu, z uwzględnieniem takich elementów jak forma, czas trwania, kalendarz (okres, częstotliwość), a także terminy zapisów na egzaminy i sesji egzaminacyjnych (także terminy odbiegające od regulaminowych). Do najbardziej popularnych form pomiaru/oceny pracy studenta należą:
* egzaminy ustne lub pisemne
* eseje/ wypracowania
* dysertacje
* prace semestralne/ roczne/ dyplomowe
* projekty i ćwiczenia praktyczne
* praktyki
* ocenianie ciągłe_______________
Metody oceny (assessment methods) II.B.13
Spis zalecanych lektur (recommended reading)
Wykaz lektur i innych materiałów zalecanych studentom podejmującym naukę przedmiotu.
II.B.14
