Maciej Piechowiak1
Piotr Zwierzykowski Politechnika Pozna´nska
Wydzia Elektroniki i Telekomunikacji
Katedra Sieci Telekomunikacyjnych i Komputerowych ul. Piotrowo 3A, 60-965 Pozna´n
{mpiech,pzwierz}@et.put.poznan.pl
BADANIE EFEKTYWNO´SCI ALGORYTMÓW ROUTINGU
ROZGA
E ´ZNEGO W DU ZYCH SIECIACH
Streszczenie: Artyku prezentuje wyniki bada´n algorytmów heurystyczych dla po acze´n rozgae´znych (multicast). Sta-nowi rozszerzenie poprzednich publikacji [1,2] poprzez za-stosowanie struktur sieciowych mozliwie wiernie odzwier-ciedlaj acych rzeczywist a topologie Internetu o duzej licz-bie wezów. W artykule wykorzystano podstawowe meto-dy generowania topologii sieci metode Waxmana i me-tode Barabasi-Alberta. Zwrócono takze uwage na zalez-no´sci potegowe wystepuj ace miedzy parametrami opisuj a-cymi globaln a sie´c. Przeprowadzono badania wydajno´sci wspomnianych algorytmów w funkcji podstawowych para-metrów sieci.
1. Wprowadzenie
Multicasting jest sposobem transmisji miedzy we-zem sieci stanowi acym ´zródo ruchu, a okre´slon a grup a odbiorców. Istnieje zatem grupa urz adze´n w rzeczywistej sieci odbieraj acych identyczne dane w tym samym czasie. Technika multicast wymaga wydajnych algorytmów ro-utingu, których zadaniem jest konstruowanie drzewa o mi-nimalnym koszcie miedzy urz adzeniem-nadawc a, a gru-p a wezów regru-prezentuj acych uzytkowników w sieci. Taki sposób komunikacji zapobiega zwielokrotnianiu pakietów w sieci wysyane dane docieraj a tylko do tych wezów (routerów), które prowadz a bezpo´srednio do zdeniowa-nych odbiorców, czonków grupy multicast.
Jezeli sie´c komunikacyjn a przedstawimy jako graf, to wynikiem dziaania takiego algorytmu routingu bedzie drzewo rozpinaj ace zakorzenione w we´zle nadawczym i obejmuj ace wszystkie wezy odbiorcze wchodz ace w skad grupy multicast. Z punktu widzenia optymalizacji struktury drzewa mozna podzieli´c na: minimalne drzewo Steinera (MST ang. Minimum Steiner Tree) oraz drzewo najkrótszych ´sciezek miedzy wezem ´zródowym, a kaz-dym z wezów odbiorczych (SPT ang. Shortest Path Tree). Znalezienie minimalnego drzewa Steinera, bed ace problemem N P-zupenym, prowadzi do struktury o mi-nimalnym koszcie cakowitym [3]. Literatura prezentuje szereg heurystyk rozwi azuj acych ten problem w czasie wielomianowym [46]. W kontek´scie transmisji danych w sieciach pakietowych najcze´sciej wymienia sie algo-rytm KMB, który pozwala uzyska´c rozwi azania zblizone
1autor jest takze pracownikiem Instytutu Mechaniki ´Srodowiska i In-formatyki Stosowanej Uniwersytetu Kazimierza Wielkiego w Bydgosz-czy
do MST [4]. Algorytm umozliwiaj acy wyznaczenie drze-wa najkrótszych ´sciezek (SPT) minimalizuje koszt kazdej ´sciezki miedzy nadawc a, a kazdym z czonków grupy mul-ticast tworz ac drzewo ze ´sciezek o najmniejszym kosz-cie. W algorytmie tym stosuje sie algorytm Dijkstry lub Bellmana-Forda, a nastepnie odcina gaezie drzewa, któ-re nie zawieraj a wezów odbiorczych [7,8]. Zastosowanie techniki multicast ma duze znaczenie w sieciach wykorzy-stuj acych multimedialne aplikacje wymagaj ace szybkiej i niezawodnej komunikacji (np. usuga triple-play). W celu zapewnienia wydajnej transmisji danych wymagane jest zdeniowanie maksymalnego opó´znienia pakietów w sie-ci miedzy wezem nadawczym, a kazdym z odbiorców i utrzymywanie go na niezmiennym poziomie. Zjawisko uktuacji opó´znienia (jitter) jest w tym wypadku równiez niepoz adane.
Z powodu wysokich wymaga´n jako´sciowych trans-misji stawianych przez aplikacje multimedialne, algoryt-my routingu powinny uwzglednia´c dodatkowy parametr (metryke) sieci opó´znienie (d). Proces optymalizacyj-ny (konstruowanie drzewa multicast) powinien uwzgled-nia´c takze maksymalne opó´znienie (∆) miedzy wezem nadawczym, a kazdym z odbiorców. Parametry transmisji zapewniaj ace okre´slon a jako´s´c usug w sieciach pakieto-wych (ang. Quality-of-Service) s a aktualnie przedmiotem bada´n projektantów algorytmów i protokoów routingu. W [3, 4] udowodniono, ze znalezienie minimalnego drze-wa multicast jest problemem N P-zupenym dla jednego i wiecej parametrów QoS. Z tego wzgledu, w celu uzy-skania akceptowalnej zozono´sci obliczeniowej stosuje sie algorytmy heurystyczne zblizaj ace sie do rozwi azania do-kadnego.
Badania algorytmów routingu na poziomie symu-lacji komputerowych wymagaj a implementowania sieci (grafów) odzwierciedlaj acych rzeczywist a topologie sie-ci Internet. St ad tez potrzeba rozszerzenia bada´n na duze sieci (o kilku tysi acach wezów) pojedyncze wezy sie-ci mog a wówczas reprezentowa´c systemy autonomiczne (AS) [9].
Literatura potwierdza zalezno´sci pomiedzy metod a generowania topologii sieci, a efektywno´sci a algorytmów routingu [10]. Wielu autorów pomija ten wazny aspekt ba-da´n powielaj ac przyjety standard dotycz acy generowania topologii sieci wykorzystywanych w symulacjach [11,12]. Przytoczone uwagi wpyney na kierunek bada´n
pro-2006
Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 7 - 8 grudnia 2006
wadzonych przez autorów, których celem stao sie opra-cowanie metodologii umozliwiaj acej rzetelne porównanie istniej acych rozwi aza´n oraz propozycje wasnych algoryt-mów.
W artykule przedstawiono dziaanie oraz porównano efektywno´s´c popularnych algorytmów heurystycznych w zalezno´sci od parametrów topologii sieci oraz od modeli zastosowanych do generowania topologii. Rozdzia drugi deniuje model sieci, a rozdzia trzeci opisuje heurysty-ki uwzgledniaj ace opó´znienie: KPP (Kompella, Pasqual-le, Polyzos) [12], CSPT (ang. Constrained Shortest Path Tree) [5], BSMA i DCMA. Rozdzia czwarty przedsta-wia metody generowania struktur reprezentuj acych bada-n a topologie sieci (model Waxmabada-na i Barabasi-Alberta) i wyja´snia istnienie zalezno´sci potegowych miedzy pewny-mi parametrapewny-mi opisuj acypewny-mi sie´c Internet. Deniuje takze podstawowe parametry sieci. Rozdzia pi aty zawiera wy-niki symulacji zaimplementowanych algorytmów i ich in-terpretacje.
2. Model sieci
Zaózmy, ze sie´c komunikacyjna reprezentowana jest jako skierowany, spójny graf N = (V, E), gdzie V jest zbiorem wezów, a E - zbiorem aczy miedzy weza-mi sieci. Istnienie acza e = (u, v) weza-miedzy wezem u i v poci aga za sob a istnienie acza e0 = (v, u) dla
do-wolnych u, v ∈ V (odpowiednik aczy dwukierunko-wych w sieciach komunikacyjnych). Z kazdym aczem e ∈ E skojarzone s a dwa parametry: koszt C(e) oraz opó´znienie D(e). Koszt po aczenia reprezentuje wyko-rzystanie zasobów acza. C(e) jest zatem funkcj a wiel-ko´sci ruchu w danym aczu i pojemno´sci bufora wyma-ganej dla tego ruchu. Opó´znienie w aczu z kolei jest sum a opó´znie´n wprowadzanych przez propagacje w a-czu, kolejkowanie i prze aczanie w wezach sieci. Gru-pa multicast jest zbiorem wezów bed acych odbiorcami ruchu grupowego (identykacja odbywa sie na podsta-wie unikalnego adresu i), G = {g1, ..., gn} ⊆ V, gdzie
n = |G| ≤ |V |. Weze s ∈ V jest ´zródem dla grupy multicast G. Drzewo multicast T (s, G) ⊆ E jest drze-wem zakorzenionym w we´zle ´zródowym s i obejmuj a-cym wszystkich czonków grupy G. Cakowity koszt drze-wa T (s, G) mozna okre´sli´c jakoPt∈T (s,G)C(t).
´Sciez-ka P (s, G) ⊆ T (s, G) jest zbiorem aczy miedzy s a g ∈ G. Koszt ´sciezki P (s, G) mozna przedstawi´c jako P
p∈P (s,G)C(p), natomiast opó´znienie mierzone miedzy
pocz atkiem i ko´ncem ´sciezki:Pp∈P (s,G)D(p). St ad tez
maksymalne opó´znienie w drzewie mozna wyznaczy´c ja-ko maxg∈G[
P
p∈P (s,G)D(p)].
Drzewo Steinera jest dobr a reprezentacj a rozwi aza-nia problemu routingu multicast. Takie podej´scie nabiera szczególnego znaczenia, gdy mamy do czynienia tylko z jedn a aktywn a grup a multicast, a koszt caego drzewa ma by´c minimalny. Ze wzgledu jednak na zozono´s´c oblicze-niow a tego algorytmu (problem N P-zupeny) [3] stosuje sie algorytmy heurystyczne. Jezeli zbiór wezów minimal-nego drzewa Steinera zawiera wszystkie wezy danej sieci, wtedy problem sprowadza sie do znalezienia minimalne-go drzewa rozpinaj aceminimalne-go (rozwi azanie to mozna uzyska´c w czasie wielomianowym).
3. Reprezentatywne algorytmy heurystyczne Algorytmy z ograniczeniami (ang. constrained) s a heurystykami wyznaczaj acymi minimalne drzewa multi-cast z uzyciem dodatkowego parametru - opó´znienia (∆) naozonego na kazde acze w sieci.
Algorytm KPP [12] wyznacza w pierwszym kroku podgraf skadaj acy sie z weza ´zródowego i grupy wezów odbiorczych. Kazde acze w tym grae penym reprezen-tuje nakrótsz a ´sciezke miedzy danymi wezami w gra-e oryginalnym N. Nastepnie algorytm wyznacza drze-wo rozpinaj ace o najmniejszym koszcie z uwzglednieniem warunku naozonego na opó´znienie (∆). W ko´ncowej fa-zie KPP zastepuje krawedfa-zie wyznaczonego drzewa ´sciez-kami z grafu oryginalnego N i usuwa z grafu cykle z uzyciem algorytmu Prima. Zozono´s´c czasowa algorytmu KPP wynosi O(∆|V |2).
Algorytm CSPT (ang. Constrained Shortest Path Tree) jest heurystyk a buduj ac a drzewo o minimalnym koszcie miedzy nadawc a, a kazdym z wezów odbior-czych [5]. Je´sli opóznienie wzduz caej ´sciezki przekro-czy warto´s´c ∆, wtedy ´sciezka wyznaczana jest na no-wo z uzyciem parametru opó´znienia. Zatem w pierwszym kroku algorytmu wyznaczane jest drzewo LC o minimal-nym koszcie (ang. least-cost) dla ´sciezek speniaj acych wymagania QoS, a w drugim drzewo LD o minimal-nym opó´znieniu (ang. least-delay) dla pozostaych ´scie-zek. Ko´ncowy etap to naozenie obydwu rozwi aza´n i usuniecie ewentualnych cykli w grae. Zozono´s´c obli-czeniowa pierwszych kroków jest zblizona do zozono´sci Dijkstry wynosi O(|V |2), a zozono´s´c ostatniego kroku
wynosi O(V ) [5].
Algorytm DCMA (ang. Fast Delay-Constrained Multicast Routing Algorithm) [13] jest algorytmem heury-stycznym, który wyznacza drzewo dla po acze´n rozgae´z-nych o niskim koszcie z zachowaniem wymaga´n dotycz a-cych maksymalnego opó´znienia. W celu uproszczenia ob-licze´n, algorytm wykorzystuje informacje o topologii sieci uzyskiwane za pomoc a protokou routingu OSPF. Wyni-kiem dziaania algorytmu jest ´sciezka powstaa w wyniku dodania do siebie ´sciezki minimalnego kosztu PLC(s, v)i
´sciezki minimalnego opó´znienia PLD(v, gi). Dobór weza
po´sredniego v zapewnia zachowanie maksymalnego opó´z-nienia ∆ wzduz ´sciezki. Zozono´s´c czasowa algorytmu wynosi O(m log m + V ).
Algorytm BSMA [14] równiez wyznacza drzewo minimalnego kosztu z zachowaniem wymaga´n dotycz a-cych maksymalnego opó´znienia ∆. Cakowity koszt drze-wa skontruodrze-wanego przez algorytm BSMA jest porówny-walny z drzewem konstruowanym przez KPP. Zozono´s´c obliczeniowa algorytmu wynosi O(kV3log V ), gdzie k
jest ´sredni aliczb a´sciezek konieczn ado zbudowania ´sciez-ki o ograniczonym opó´znieniu. Ponadto, do dziaania al-gorytmu konieczne jest, aby weze ´zródowy posiada in-formacje o caej topologii sieci, co uniemozliwia prak-tyczne implementacje.
4. Topologia sieci Internet
Internet jest zbiorem hostów po aczonych sieci a skadaj ac a sie z aczy i routerów. Takie spojrzenie na sie´c atwo przenie´s´c na graf jako strukture opisu
rzeczywi-stej sieci. Wspóczesny Internet jest zbiorem po aczonych ze sob a domen, czyli zgrupowanych wezów sieci (route-rów), które objete s a wspóln a administracj a i wspódziel a informacje o routingu. Internet skada sie z tysiecy takich domen administracyjnych, z których kazda zawiera przy-najmniej jeden system autonomiczny (AS). Mozna zatem generowa´c syntetyczne struktury odzwierciedlaj ace topo-logie rzeczywistej sieci Internet.
A. Metody generowania topologii sieci W badaniach efektywno´sci algorytmów routingu czesto stosuje sie metode generowania grafów losowych zaproponowan a przez Waxmana [15], która deniuje prawdopodobie´nstwo krawedzi miedzy wezem u i v ja-ko:
P (u, v) = αe−dβL (1)
gdzie 0 < α, β ≤ 1, d jest odlego´sci a euklidesow a dzy wezem u i v, a L jest maksymaln a odlego´sci a mie-dzy dwoma dowolnymi wezami. Zwiekszenie parame-tru α powoduje wzrost liczby krawedzi w grae, podczas gdy zwiekszenie parametru β zwieksza stosunek krawedzi dugich do krótkich.
Inne podej´scie do problemu zaproponowa Baraba-si [16]. Proponowany model sugeruje dwie przyczyny wy-stepowania zalezno´sci potegowych (power laws) w roz-kadzie liczby krawedzi wychodz acych z danego weza: stopniowy wzrost sieci oraz preferencyjne przy aczanie. Wzrost sieci wynika z przy aczania nowych wezów do istniej acej struktury co powoduje stopniowe zwiekszanie rozmiaru sieci, przy czym przy aczanie to odbywa sie w sposób preferencyjny istnieje wieksze prawdopodo-bie´nstwo, ze nowy weze po aczy sie z istniej acymi weza-mi o duzym stopniu weza (wezy popularne). Jezeli weze uprzy acza sie do sieci, prawdopodobie´nstwo, ze po aczy sie z wezem v (nalez acym juz do niej) okre´sla zalezno´s´c:
P (u, v) = Pdv
k∈V dk
(2)
gdzie dv jest stopniem weza docelowego, V jest
zbio-rem wezów przy aczonych do sieci, aPk∈V dkjest sum a
wszystkich krawedzi wychodz acych wezów juz przy a-czonych do sieci.
W celu zastosowania obu metod wykorzystano apli-kacje BRITE (Boston university Representative Internet Topology gEnerator) [17] jako narzedzie generuj ace rze-czywiste topologie sieci. Rysunek 1 pokazuje typowe to-pologie wygenerowane z wykorzystaniem metody Wa-xmana i Barabasi-Alberta (w metodzie B-A (Rys. 1b) wy-ra´znie widoczne s a wezy preferowane).
Przyjeto model sieci, której wezy rozmieszczono lo-sowo na siatce kwadratowej o rozmiarach 1000 × 1000. Dla metody Waxmana przyjeto domy´slne warto´sci para-metrów α i β (α = 0, 15, β = 0, 2). Kazde acze w sieci posiada metryke zwan a kosztem c(u, v) (wyznaczan a ja-ko odlego´s´c euklidesowa miedzy wezami zawieraj acymi to acze) oraz wynikaj ace z odlego´sci euklidesowej mie-dzy wezami - opó´znienie d(u, v). Oznacza to, ze dla ce-lów symulacji, kazde acze w sieci posiada dwa parametry (metryki): koszt i opó´znienie.
B. Parametry topologii sieci
W celu uzaleznienia wyników badanych algorytmów po acze´n rozgae´znych od topologii sieci, nalezy najpierw zdeniowa´c podstawowe parametry wykorzystywanych struktur:
• ´sredni stopie´n weza (ang. average node degree):
Dav =2k
n (3)
gdzie n - liczba wezów, k - liczba krawedzi,
• ´srednica (ang. diameter) - jest dugo´sci a najduzszej
spo´sród najkrótszych ´sciezek miedzy dwoma dowolny-mi wezadowolny-mi w grae; maa ´srednica odpowiada krótszym ´sciezkom w grae,
hop-diameter - jest dugo´sci a najduzszej spo´sród naj-krótszych ´sciezek miedzy dwoma dowolnymi wezami w grae, przy czym najkrótsze ´sciezki s a wyznaczane i oceniane na podstawie liczby skoków (ang. hops) czyli krawedzi wchodz acych w skad tej ´sciezki (koszt jednost-kowy),
length-diameter - jest dugo´sci a najduzszej spo´sród najkrótszych ´sciezek miedzy dwoma dowolnymi weza-mi w grae, przy czym najkrótsze ´sciezki wyznaczane s a z uzyciem dugo´sci euklidesowej jako metryki,
• wspóczynnik grupowania (ang. clustering coefcient)
γv weza v jest stosunkiem liczby aczy miedzy wezem
v, a wezami s asiednimi do liczby mozliwych aczy mie-dzy wezami s asiaduj acymi [18].
Innymi sowy, je´sli przez Γ(v) oznaczymy s asiedztwo za v (bed ace podgrafem zawieraj acym s asiaduj ace we-zy), suszna bedzie ponizsza zalezno´s´c:
γv= |E(Γ(v))|¡k
v
2
¢ = |E(Γ(v))|
kv(kv− 1) (4)
Warto´s´c ´sredni a wspóczynnika grupowania wyznacza sie nastepuj aco: γ = 1 |V | X v∈V γv (5)
Powyzsza zalezno´s´c jest speniona, gdy kv ≥ 2. Niech
V(1) ⊂ V oznacza zbiór wezów o stopniu równym 1.
Uwzgledniaj ac ten warunek [19, 20]:
ˆ γ = 1 |V | − |V(1)| X v∈V γv (6)
Innym wazny parametr, od którego uzalezniona jest efektywno´s´c badanych algorytmów, to liczba wezów multicast (czonków grupy), oznaczana jako m.
C. Zalezno´sci potegowe
W pracach [19, 20] wykazano, ze topologia wspó-czesnego Internetu wykazuje zalezno´sci (prawa) potego-we postaci y ∼ xα. Zalezno´s´c ta jest szczególnie
widocz-na widocz-na poziomie systemów autonomicznych (AS).
Wykadnik potegi α moze by´c uzyty do charaktery-zowania badanego grafu. W tym celu zaproponowano no-we metryki grafono-we. Czestotliwo´s´c fdstopnia weza d jest
liczb a wezów, które posiadaj a stopie´n weza (outdegree) o warto´sci d. Jezeli wezy w grae zostan auporz adkowane zgodnie z malej ac a warto´sci a stopnia weza, wtedy rz ad
50000 70000 90000 110000 130000 150000 170000 190000 210000 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900 2100 2300 2500 liczba węzłów sieci (n ) k os zt d rz ew a m u lt ic as t CSPT/DCMA (Waxman) CSPT/DCMA (Barabasi) KPP/BSMA (Waxman) KPP/BSMA (Barabasi) (a) 70000 120000 170000 220000 270000 320000 200 300 400 500 600 700 800 liczba węzłów w grupie (m ) k os zt d rz ew a m u lt ic as t CSPT/DCMA (Waxman) CSPT/DCMA (Barabasi) KPP/BSMA (Waxman) KPP/BSMA (Barabasi) (b)
Rys. 1. Cakowity koszt drzewa multicast w funkcji liczby wezów sieci n (a) i liczby wezów w grupie m (b) z uwzglednieniem metody generowania sieci (n=1000, m = 300, Dav=4, ∆ = 10)
(rank), oznaczany jako rv, jest indeksem weza v w tak
ustalonej sekwencji.
Z uzyciem powyzszych parametrów sieci mozna zdenio-wa´c nastepuj ace zalezno´sci potegowe:
• stopie´n weza v (dv) jest proporcjonalny do rzedu weza
v(rv) podniesionego do potegi R:
dv∝ rRv (7)
• czestotliwo´s´c (fd) stopnia weza d jest proporcjonalna
do stopnia weza
podniesionego do potegi O:
fd∝ dO (8)
Dla powyzszych metryk sporz adza sie charaktery-styki badanych topologii wykre´slaj ac pary (rv, dv) oraz
(d, fd) w skali logarytmicznej.
Przytoczone rozwazania prowadzone byy w oparciu o analize rzeczywistej topologii sieci Internet, któr a pro-wadzono w National Laboratory for Applied Network Re-search (USA), gromadz ac informacje z tablic routingu ro-uterów BGP przez dedykowany do tego celu serwer.
Na bazie tych danych i zdeniowanych zalezno-´sci potegowych zaproponowano heurystyczny generator topologii Inet. Badania porównawcze przeprowadzone przez autorów projektu [9] wykazay istnienie zalezno´sci potegowych takze w modelach generowanych przez apli-kacje BRITE (wykorzystuj ac metode Barabasi-Alberta), co ´swiadczy o przydatno´sci tej metody w badaniach symu-lacyjnych. Z tego wzgledu kolejne badania autorów bed a dotyczyy wykorzystania struktur otrzymanych z genera-tora Inet do bada´n efektywno´sci algorytmów rozge´znych.
5. Wyniki bada´n
Przeprowadzone badania dotycz a wpywu parame-trów topologii sieci na wydajno´s´c prezentowanych algo-rytmów heurystycznych dla po acze´n rozgae´znych.
Badania przedstawione na Rys. 1 prezentuj a porów-nanie algorytmów KPP, CSPT, BSMA i DCMA (cako-wity koszt drzewa konstruowanego przez kazdy z algoryt-mów) w zalezno´sci od liczby wezów w sieci n oraz liczby czonków grupy m (wezów odbiorczych). Koszt naozo-ny na kazde acze w sieci (metryka) jest odlego´sci aeukli-desow a miedzy danymi wezami.
Wykresy przedstawione na Rys. 1 pokazuj a, ze algo-rytmy KPP i BSMA pozwalaj akonstruowa´c drzewa multi-cast o najmniejszym koszcie przy wykorzystaniu struktur sieciowych uzyskanych metod a Waxmana. W kontek´scie zastosowanej metodologii bada´n (5 serii po 1000 pomia-rów), algorytmy CSPT i DCMA oraz KPP i BSMA zwra-cay niemal identyczne wyniki.
W przypadku metody Barabasi, efektywno´s´c algo-rytmu KPP jest gorsza od prostego algoalgo-rytmu CSPT, który wykorzystuje sieci generowane metod a Waxmana (mimo, ze implementowana sie´c posiada t a sam a liczbe wezów i aczy). Ten wazny wniosek wskazuje kierunek dalszych bada´n, które powinny uwzglednia´c takze wpyw innych parametrów sieci (np. sposób generowania parametrów a-czy) w celu opracowania rzetelnej metodologii porówny-wania istniej acych i nowych algorytmów.
W kolejnym etapie wprowadzono wspóczynnik ja-ko´sci δ okre´slaj acy procentowy wzrost kosztu drzewa w zalezno´sci od zastosowanego algorytmu i metody genera-cyjnej w stosunku do rozwi azania minimalnego (algorytm KPP wykorzystuj acy metode Waxmana):
δ = Ch− Cmin
Cmin · 100 [%] (9)
gdzie Chjest kosztem drzewa generowanego przez
bada-n a heurystyke, a Cminjest kosztem drzewa minimalnego
(KPP).
W Tabeli 1 przedstawiono wyniki oblicze´n z wyko-rzystaniem powyzszego wzoru. Warto zauwazy´c, ze dla tego samego algorytmu wyniki mog a sie rózni´c o ponad 60% (w zalezno´sci od metody generowania topologii sie-ci).
Wyniki prezentowanych algorytmów (cakowity koszt drzewa multicast) uzaleznione zostay takze od pozostaych parametrów sieci: ´srednicy (hop-diameter i length-diameter) oraz wspóczynnika grupowania (ˆγ). Ba-dania te przeprowadzono dla staej liczby wezów i stopnia grafu (n = 1000, m = 300, Dav= 4). Parametry te nie s a
przekazywane w pliku konguracyjnym aplikacji BRITE w sposób bezpo´sredni, lecz wyznaczane dla kazdej wyge-nerowanej struktury.
Wyniki przedstawione na Rys. 3 jednoznacznie wskazuj a, ze koszt generowanych przez algorytmy roz-wi aza´n nie zalezy od wspóczynnika grupowania ˆγ (przy tym samym rozmiarze sieci).
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 roz k ład ś re d n ic s ie ci [ %] 4 5 6 7 średnica hop-diameter Waxman Barabasi (a) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 roz k ład ś re d n ic s ie ci [ %] 6 7 8 średnica hop-diameter Waxman Barabasi (b)
Rys. 2. Porównanie rozkadu ´srednic (hop-diameter) sieci o 40 wezach (a) i 1000 wezach (b)
90000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 160000 170000 180000 1,06 1,1 1,14 1,18 1,22 1,26 1,3 1,34 współczynnik grupowania (γ ) k os zt d rz ew a m u lt ic as t CSPT/DCMA (Waxman) CSPT/DCMA (Barabasi) KPP/BSMA (Waxman) KPP/BSMA (Barabasi)
Rys. 3. Cakowity koszt drzewa multicast w funkcji wspóczynnika grupowania ˆγ
(n = 1000, m = 300, Dav = 4)
Porównanie obydwu metod generacyjnych pozwala zauwazy´c, ze generowane metod aBarabasi-Alberta struk-tury cechuj a sie wiekszymi warto´sciami wspóczynnika grupowania (1,281,36) w stosunku do metody Waxmana (1,061,12). Ta obserwacja potwierdza wcze´sniejsze ba-dania [18] prowadz ace do wniosku, ze w Internecie rów-niez wystepuje zjawisko maego ´swiata (ang. small world phenomenon). Szczególnie dotyczy to analizy sieci na ziomie systemów autonomicznych (AS). Wniosek ten po-zwala na wskazanie modelu Barabasi-Alberta jako metody znacznie lepiej odzwierciedlaj acej topologie rzeczywistej sieci. Badanie to pozwala takze stwierdzi´c, ze ten sam al-gorytm generuje rozwi azania o mniejszym koszcie przy zastosowaniu struktur generowanych z uzyciem metody Waxmana.
metoda Waxmana metoda Barabasi n
KPP/BSMA CSPT/DCMA KPP/BSMA CSPT/DCMA
500 22% 62% 91% 1000 26% 59% 86% 1500 27% 55% 79% 2000 28% 54% 77% 2500 - 28% 52% 72%
Tabela. 1. Procentowy wzrost kosztu drzewa dla róznych algorytmów w stosunku do rozwi azania minimalnego
(n = 500 . . . 2500, m = 300, Dav = 4)
Prezentowane w Tabeli 1 wyniki odpowiadaj a kosz-tom drzew uzyskanych w wyniku dziaania badanych
al-gorytmów zarówno algorytm KPP, jak i CSPT, generuj a drzewa o mniejszych kosztach przy wykorzystaniu meto-dy Waxmana do modelowania sieci. Oznacza to, ze pro-wadz ac badania mozna uzyska´c drzewa o nizszym koszcie takze jako wynik zastosowania metody generacyjnej, któ-ra dopuszcza wieksz a róznorodno´s´c struktur sieci, a nie tylko jako wynik zastosowania bardziej wydajnego algo-rytmu routingu [2].
W czasie eksperymentów symulacyjnych uwzgled-niano 95% przedziay ufno´sci wyznaczone zgodnie z roz-kadem tStudenta dla pieciu serii (1000 struktur w kazdej serii).
6. Podsumowanie
W artykule przedstawiono i porównano reprezenta-tywne algorytmy routingu dla po acze´n rozgae´znych, ka-d ac nacisk na jako´s´c moka-delu sieci (ka-dokaka-dno´s´c oka-dzwiecie- odzwiecie-dlenia rzeczywistej topologii Internetu). Dlatego tez sko-rzystano z narzedzia jakim jest generator topologii BRITE [17].
W celu analizy efektywno´sci reprezentatywnych al-gorytmów heurystycznych zbadano ich zalezno´s´c od pa-rametrów okre´slaj acych topologie sieci.
Wyniki bada´n pozwalaj a stwierdzi´c, ze koszt kon-struowanego drzewa zalezy nie tylko od wydajno´sci sa-mego algorytmu routingu, ale równiez od zastosowanej metody generowania topologii sieci. Porównuj ac warto-´sci kosztów konstruowanych drzew multicast uzyskane dla wspomnianych metod mozna zauwazy´c, ze model Barabasi-Alberta, mimo ze wierniej odzwierciedla topo-logie sieci Internet, pozwala na konstrowanie drzew mul-ticast o wiekszym koszcie.
Badania dla sieci o kilku tysi acach wezów mode-luj a rzeczywist a sie´c Internet na poziomie systemów au-tonomicznych (AS) i stanowi a kolejny krok w badaniach autorów zmierzaj acych do zdeniowania metodologii te-stowania algorytmów heurystycznych dla po acze´n rozga-e´znych w sieciach pakietowych.
SPIS LITERATURY
[1] M. Piechowiak and P. Zwierzykowski, The Application of Ne-twork Generation Methods in the Study of Multicast Routing Algo-rithms, Fourth International Working Conference on Performance Modelling and Evaluation of Heterogeneous Networks, pp. 24/1 24/8, September 2006.
[2] , The Inuence of Network Topology on the Efciency of QoS Multicast Heuristic Algorithms, in 5th International Sympo-sium: Communication Systems Networks and Digital Signal Pro-cessing, 2006, pp. 115119.
[3] R. Karp, Reducibility among combinatorial problems, Comple-xity of Computer Computations, pp. 85104, 1972.
[4] L. Kou, G. Markowsky, and L. Berman, A fast algorithm for Ste-iner trees, Acta Informatica, no. 15, pp. 141145, 1981. [5] J. S. Crawford and A. G. Waters, Heuristics for ATM Multicast
Routing, Proceedings of 6th IFIP Workshop on Performance Mo-deling and Evaluation of ATM Networks, pp. 5/15/18, July 1998. [6] Q. Sun and H. Langendoerfer, Efcient Multicast Routing for
Delay-Sensitive Applications, in Proceedings of the 2-nd Work-shop on Protocols for Multimedia Systems (PROMS'95), October 1995, pp. 452458.
[7] E. Dijkstra, A note on two problems in connexion with graphs, Numerische Mathematik, vol. 1, pp. 269271, 1959.
[8] R. Bellman, On a routing problem, Quarterly of Applied Mathe-matics, vol. 16, no. 1, pp. 8790, 1958.
[9] Q. C. C. Jin and S. Jamin, Inet: Internet topology generator, Uni-versity of Michigan at Ann Arbor, Technical Research Report CSE-TR-433-00, 2000.
[10] E. W. Zegura, M. J. Donahoo, and K. L. Calvert, A Quantitati-ve Comparison of Graph-based Models for Internet Topology, IE-EE/ACM Transactions on Networking, 1997.
[11] M. F. Mokbel, W. A. El-Haweet, and M. N. El-Derini, A delay constrained shortest path algorithm for multicast routing in mul-timedia applications, in Proceedings of IEEE Middle East Work-shop on Networking. IEEE Computer Society, 1999.
[12] V. P. Kompella, J. Pasquale, and G. C. Polyzos, Multicasting for Multimedia Applications, in INFOCOM, 1992, pp. 20782085. [13] B. Zhang, M. Krunz, and C. Chen, A fast delay-constrained
multi-cast routing algorithm, IEEE ICC 2001 Conference, Helsinki, Fin-land, 2001.
[14] Q. Zhu, M. Parsa, and J. J. Garcia-Luna-Aceves, A source-based algorithm for delay-constrained minimum-cost multicasting, in INFOCOM '95: Proceedings of the Fourteenth Annual Joint Con-ference of the IEEE Computer and Communication Societies (Vol. 1)-Volume. IEEE Computer Society, 1995, p. 377.
[15] B. Waxmann, Routing of multipoint connections, IEEE Journal on Selected Area in Communications, vol. 6, pp. 16171622, 1988. [16] A. L. Barabasi and R. Albert, Emergence of scaling in random
networks, Science, pp. 509512, 1999.
[17] A. Medina, A. Lakhina, I. Matta, and J.Byers, BRITE: An Appro-ach to Universal Topology Generation, IEEE/ACM MASCOTS, pp. 346356, 2001.
[18] D. J. Watts and S. H. Strogatz, Collective dynamics of 'small-world' networks, Nature, vol. 12, no. 393, pp. 440442, 1998. [19] M. Faloutsos, P. Faloutsos, and C. Faloutsos, On Power-Law
Re-lationships of the Internet Topology, ACM Computer Communica-tion Review, Cambridge, MA, pp. 111122, 1999.
[20] T. Bu and D. Towsley, On distinguishing between Internet power law topology generators, in In Proceedings of INFOCOM, 2002.
