Funkcje analityczne

Szeregi funkcyjne i pot egowe

Definicja 1.

Niech D ⊂ C zbi´or otwarty (lub obszar), fn : D → C,n ∈ N ciag funkcji. Powiemy, ˙ze ci, ag_, funkcyjny (f_n(z))^∞_n=1 jest zbie˙zny je´sli istnieje funkcja f : D → taka, ˙ze

∀z ∈ D ∀ε > 0 ∃N (ε, z) ∀n > N (ε, z) |f_n(z) − f (z)| < ε.

Ciag funkcyjny s_, n:= f1+. . .+fn, n ∈ N, nazywamy ciagiem sum cz, e´_,sciowych. Szeregiem fun- cyjnym nazywamy uporzadkowan_, a par_, e ((f_{, n})^∞_n=1, (s_n)^∞_n=1). Szereg funkcyjny P∞

n=1 nazywamy zbie˙znym je´sli jego ciag sum cz_, e´_,sciowych (s_n)^∞_n=1 jest zbie˙zny tzn. istnieje funkcja s : D → C taka˙ze

∀z ∈ D ∀ε > 0 ∃N (ε, z) ∀n > N (ε, z) |s_n(z) − s(z)| < ε.

Funkcje graniczn_, a s(z) = lim_{, n→∞}s_n(z) nazywamy suma szeregu. Taki rodzaj zbie˙zno´_, sci ciagu_, (szeregu) nazywamy zbie˙zno´scia punktow_, a._,

Definicja 2.

Niech D ⊂ C zbi´or (otwarty lub obszar), fn : D → C, n ∈ N ciag funkcji. Powiemy, ˙ze szereg_, funkcyjny P∞

n=1f_n(z) jest zbie˙zny jednostajnie do funkcji s(z) w D je´sli

∀ε > 0 ∃N (ε) ∀n > N (ε) ∀z ∈ D |sn(z) − s(z)| < ε.

Warunek jednostajnej zbie˙zno´sci szeregu P∞

n=1f_n(z) mo˙zna tak˙ze sformu lowa´c nastepuj_, aco:_,

∀ε > 0 ∃N (ε) ∀n > N (ε) ∀z ∈ D |

∞

X

n=N +1

f_n(z)| < ε.

Uwaga 1.

Niech D ⊂ C zbi´or otwarty (lub obszar), fn : D → C, n ∈ N ciag funkcji ci_, ag lych. Je˙zeli ci_, ag_, funkcyjny (f_n)^∞_n=1 (szereg funkcyjny P∞

n=1f_n(z)) jest zbie˙zny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma szeregu) jest funkcj_, a ci_, ag l_, a w D._,

Twierdzenie 1.(Weierstrassa)

Niech D ⊂ C zbi´or otwarty (lub obszar), fn : D → C, n ∈ N ciag funkcji. Je´_, sli istnieje ciag liczbowy {a_{, n}}^∞_n=1 taki, ˙ze ∀n ∈ N, |fn(z)| ≤ a_n i szereg P∞

n=1a_n jest zbie˙zny to szereg P∞

n=1f_n(z) jest zbie˙zny jednostajnie w zbiorze D ⊂ C.

1

Definicja 3.

Niech D ⊂ C, fⁿ : D → C ciag funkcji. Szereg funkcyjny, P∞

n=1fn(z) nazywamy zbie˙znym nie- mal jednostajnie w zbiorze D, je´sli jest on zbie˙zny jednostajnie na ka˙zdym zwartym podzbiorze zbioru D.

Uwaga 2.

Zbie˙zno´s´c jednostajna mo˙zna cz_, esto zast_, api´_, c zbie˙zno´scia niemal jednostajna. Granica zbie˙znego_, niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ci_, ag lych jest funkcj_, a ci_, ag l_, a._,

Definicja 4.

Szeregiem potegowym o ´_, srodku w punkcie z₀ nazywamy szereg postaci

∞

X

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ, (1)

gdzie a_n∈ C.

Definicja 5.

Promieniem zbie˙zno´sci szeregu potegowego (1) nazywamy kres g´orny zbioru tych liczb r, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny w kole {z : |z − z₀| < r}.

Wz´or Cauchy’ego-Hadamarda

Niech dany bedzie szereg pot_, egowy (1) i lim sup_{, n→∞}p|aⁿ n| = _R¹, gdzie 0 ≤ R ≤ ∞ (przyjmu- jemy, ˙ze ¹₀ = ∞,_∞¹ = 0). W´owczas szereg (1) jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie z, dla kt´orego

|z − z₀| < R, i jest rozbie˙zny w ka˙zdym punkcie z, dla kt´orego |z − z₀| > R. Ko lem zbie˙zno´sci szeregu nazywamy ko lo {z ∈ C : |z − z0| < R}, gdzie R jest liczba wyznaczon_, a ze wzoru_, Cauchy’ego-Hadamarda.

Twierdzenie 2. (Abela) Je˙zeli szereg potegowy_, P∞

n=0a_nzⁿ jest zbie˙zny w punkcie z₁ 6= 0, to jest on bezwglednie zbie˙zny_, w kole K(0, |z1|) = {z : |z| < |z1|} oraz jest zbie˙zny jednostajnie w ka˙zdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < |z₁|.

Twierdzenie 3. (o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego)_, Je˙zeli promie´n R zbie˙zno´sci szeregu potegowego_, P∞

n=0a_nzⁿjest dodatni, to f -suma tego szeregu jest funkcja holomorficzn_, a w kole K(0, R) = {z : |z| < R} i dla ka˙zdego z ∈ K(0, R)_,

f⁰(z) =

∞

X

n=1

na_nzⁿ⁻¹.

2

(Szereg potegowy wewn_, atrz ko la zbie˙zno´sci mo˙zna r´_, o˙zniczkowa´c wyraz po wyrazie).

Wniosek 1.

Szereg potegowy ma pochodn_, a dowolnego rz_, edu_,

∀k ∈ N f^(k)(z) =

∞

X

n=k

n(n − 1) . . . (n − k + 1)a_nz^n−k.

Otrzymane wnioski mo˙zna uog´olni´c na przypadek szereg´ow postaciP∞

n=0a_n(z − z₀)ⁿ. Twierdzenie 4.

Je˙zeli funkcje f mo˙zna przedstawi´_, c w kole K(z₀, r) = {z : |z − z₀| < r} w postaci sumy szeregu potegowego f (z) =_, P∞

n=0(z − z₀)ⁿ, to wsp´o lczynniki tego szeregu sa wyznaczone jednoznaczne_, i okre´slaja je wzory a_{, n}= ^f(n)_n!^(z0), n = 0, 1, 2, . . .

Funkcje analityczne

Definicja 6.

Niech D ⊂ C obszar, funkcje f : D → C nazywamy analityczn_, a w D ⇔ gdy dla ka˙zdego_, z0 ∈ D istnieje szereg potegowy postaci_, P∞

n=0an(z − z0)ⁿ zbie˙zny w kole K(z0, r) ⊂ D taki, ˙ze f (z) =P∞

n=0(z − z₀)ⁿ dla z ∈ K(z₀, r).

Ozn. A(D) oznacza zbi´or wszystkich funkcji analitycznych w D.

Z twierdzenia 3 wynikaja nast_, epuj_, ace wnioski._, Wniosek 2.

Zachodzi inkluzja A(D) ⊂ H(D).

Wniosek 3.

Je˙zeli f ∈ A(D), to f posiada pochodne dowolnego rzedu. (Por´_, owna´c z wnioskiem 1).

3