OTW (zestaw 6 - środa 12.12.2018)
26. Geodetyki w geomerii Schwarzschilda. Równania geodezyjnej w parametryzacji afinicznej można otrzymać z zasady wariacyjnej dla lagranżjanu L = (1/2)gαβ˙xα˙xβ. Dla metryki Schwarzschilda mamy:
L = −1 2
1 − 2M r
˙t2+1 2
1 −2M r
−1
˙r2+ 1
2r2θ˙2+1
2r2sin2θ ˙φ2. Definiujemy κ = −L i dalej rozważamy 2 przypadki:
(a) geodetyki zerowe: L = −κ ≡ 0,
(b) geodetyki czasowe; w parametryzacji czasem własnym: L = −κ ≡ −1/2.
Proszę pokazać, że:
(a) Ruch cząstek odbywa się w płaszczyźnie (tzn. geodetyki leżą w płaszczyźnie). Wskazówka:
skorzystać z równania Lagrange-Eulera dla θ z warunkami początkowymi (θ, ˙θ) = (π/2, 0).
(b)
E =
1 −2M r
˙t oraz J = r2φ˙
są całkami ruchu. Wskazówka: skorzystać z równań Lagrange-Eulera dla t oraz φ.
(c) Korzystając z punktu (b) pokazać, że ˙r spełnia równanie:
1
2˙r2+ V (r) = 1
2E2, gdzie V (r) = 1 2
1 −2M r
J2 r2 + 2κ
,
a więc ruch radialny jest opisany takim samym rówaniem jak ruch dla cząstki o jednos- tkowej masie i energii E2/2 w potencjale V (r) w mechanice klasycznej.
(d) Naszkicować funkcję V (r), przedyskutować zależność od wartości κ i J .
27. Korzystając z wyników zadania 26 proszę wyliczyć kąt, o jaki zakrzywia się trajektoria fotonu w geometrii Schwarzschilda. Wskazówki:
(a) Zdefiniować parametr b = J/E i pokazać, że dla b > bc = 3√
3M trajektoria fotonu nadlatującego z daleka ma punkt zwrotny w r = r0; znaleźć związek pomiędzy b i r0. (b) Proszę pokazać, że trajektoria takiego fotonu spełnie równanie
dφ dr = J
r2
E2− J2 r2
1 − 2M r
−1/2 .
(c) Zdefiniować kąt ugięcia fotonu jako δφ = 2
Z ∞ r0
dφ
dr dr − π - uzasadnić tą definicję.
(d) W powyższej całce zamienić zmienne całkowania na x = r0/r a następnie, rozwiajając wyrażenie podcałkowe w pierwszym rzędzie w małym parametrze ε = 2M/r0, pokazać że
δφ = 4M
r0 + O 2M r0
2! .
28. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę wyliczyć ugięcie dla fotonu ślizgającego się po powierzchni Słońca.
(G/c2 = 0.74 × 10−28 cm/g, M = 2 × 1033 g).
29. Korzystając z wyników zadania 26 wyliczyć precesję peryhelim Merkurego. Wskazówki:
(a) Pokazać, że trajektoria planety obiegającej Słońce spełnia równanie dφ
dr = J r2
E2−
1 − 2M r
J2 r2 + 1
−1/2
.
(b) Całki ruchu (E i J ) wyrazić przez parametry orbity:
2¯r = (r−+ r+) oraz 1 d = 1
r−
+ 1 r+
,
gdzie r− i r+ są radialnymi współrzędnymi peryhelium i aphelium orbity. Otrzymane wyrażenia rozwinąć w małym parametrze ε = 2M/d z dokładnością O (ε3) (tzn. zanied- bać wyrazy ε3)
(c) Zdefiniować kąt precesji peryhelium planety na jeden obieg dookoła Słońca (tzn. od jednego peryhelium do drugiego) i wyliczyć precesję z dokladnością O (ε2).
(d) Wyliczyć precesję peryhelium Merkurego dla jednego obiegu dookoła Słońca. Porównać z wynikami obserwacji.
A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/
