M ATEMATYKI P RÓBNY E GZAMIN M ATURALNYZ

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM ROZSZERZONY

28KWIETNIA2018

C

ZAS PRACY

: 180

MINUT

Z

ADANIE

1

(1PKT) Liczbap3 √3 ₁₀ −√3 2·p3 √3 100+√3 20+√3 4 jest równa A) 2 B) 8 C)√3 ₁₀ −√3 2 D)√3 ₁₀₀ −√3 4

Z

ADANIE

2

(1PKT) Liczba sin −53π₃
jest równa A)−√₂3 B) √₂3 C)−1₂ D) 1₂

Z

ADANIE

3

(1PKT)

Punkt P′ _{= (−25, 34)jest obrazem punktu P w jednokładno´sci o ´srodku w punkcie S= (−7,}

12)i skali k = −2₃. Współrz˛edne punktu P s ˛a równe

A)(11,−10) B)(22,−24) C)(20,−21) D)(15,−17)

Z

ADANIE

4

(1PKT)

Prosta y = −5x+bjest styczna do paraboli okre´slonej wzorem y = 2x2+3x−1. Liczba b jest równa

A)₋2 B) 1 C)₋9 D) 11

Z

ADANIE

5

(1PKT)

Wiadomo, ˙ze funkcja f(x) = 

ax+1+ba x+b

 

 jest funkcj ˛a rosn ˛ac ˛a w przedziałach(−∞,−2)ih−1,

+∞)oraz jest funkcj ˛a malej ˛ac ˛a w przedziale(−2,−1i. Zatem

A) a=1 B) a= −1 C) a=2 D) a = −2

Z

ADANIE

6

(2PKT)

Reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x5+ax3+x2−1 przez dwumian x2−2 jest równa 1. Oblicz warto´s´c współczynnika a.

Z

ADANIE

7

(3PKT) Oblicz granic˛e lim n→+∞  ₄ √ 5+ 8 5 + 16 5√5+ 32 25 + · · · + 22n 5n−1_·√₅ + 22n+1 5n  . 3

Okr ˛ag przechodz ˛acy przez ko ´nce przyprostok ˛atnej BC trójk ˛ata prostok ˛atnego ABC przeci-na drug ˛a przyprostok ˛atn ˛a AC oraz przeciwprostok ˛atn ˛a AB tego trójk ˛ata odpowiednio w punktach E i F. Wyka ˙z, ˙ze promie ´n okr˛egu opisanego na trójk ˛acie AFE jest równy 1₂|AE|.

A

B

C

F

E

4

Z

ADANIE

9

(3PKT)

Oblicz najwi˛eksz ˛a warto´s´c wielomianu W(x) = −x4−4x3_+8x2_+48x−35.

Wyka ˙z, ˙ze je ˙zeli a, b∈ (0, 1) ∪ (1,+∞), to

|log_ab+log_ba|>2.

Z

ADANIE

11

(3PKT)

W trójk ˛acie ostrok ˛atnym ABC dane s ˛a|∡BAC = α| i|∡ABC| = β < _α. Wyka ˙z, ˙ze tangens

k ˛ata utworzonego przez ´srodkow ˛a i wysoko´s´c opuszczone z wierzchołka C jest równy 1

2 tg β − 1 2 tg α.

Sze´sciokrotnie rzucamy kostk ˛a do gry. W´sród otrzymanych wyników s ˛a dokładnie trzy dwójki. Jakie jest prawdopodobie ´nstwo, ˙ze w pierwszym rzucie otrzymali´smy pi ˛atk˛e?

Z

ADANIE

13

(4PKT)

Czworo´scian foremny przeci˛eto płaszczyzn ˛a π styczn ˛a do kuli wpisanej w ten czworo´scian (tzn. kuli stycznej do wszystkich ´scian czworo´scianu) oraz równoległ ˛a do jednej ze ´scian czworo´scianu. Oblicz stosunek obj˛eto´sci brył, na które płaszczyzna π podzieliła czworo-´scian.

Rozwi ˛a˙z równanie sin x sin 3x = 1₂ w przedzialeh0, 2πi.

Z

ADANIE

15

(5PKT)

Wyznacz wszystkie warto´sci parametru m, dla których równanie x2_{+mx−2m=0 ma dwa}

ró ˙zne rozwi ˛azania rzeczywiste x1, x2spełniaj ˛ace warunek(x3₁−x₂3)(x2₁−x2₂) =7m2.

Z

ADANIE

16

(6PKT)

Wierzchołki czworok ˛ata ABCD maj ˛a współrz˛edne: A = −1,−5₄

, B = 8₃,−11
, C =  40 3,−3  i D =5,13₄.

a) Wyka ˙z, ˙ze czworok ˛at ABCD jest trapezem równoramiennym, w który mo ˙zna wpisa´c okr ˛ag.

b) Wyznacz współrz˛edne punktu styczno´sci okr˛egu wpisanego w czworok ˛at ABCD z prost ˛a CD.

Z

ADANIE

17

(7PKT)

W ostrosłup prawidłowy czworok ˛atny o wysoko´sci H i kraw˛edzi podstawy a wpisano wa-lec, którego podstawa zawiera si˛e w podstawie ostrosłupa, i którego o´s symetrii pokrywa si˛e z osi ˛a symetrii ostrosłupa. Jakie powinny by´c wymiary tego walca, aby jego obj˛eto´s´c była najwi˛eksza mo ˙zliwa? Oblicz t˛e najwi˛eksz ˛a obj˛eto´s´c.