Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład 8 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE 8.1. Pojęcia wstępne. 8.2. Własności ciągów jednostajnie zbieżnych. 8.3. Własności szeregów jednostajnie zbieżnych.

Wykłady z Matematyki stosowanej w inżynierii środowiska, II sem.

Wykład 8 8. CIĄGI I SZEREGI FUNKCYJNE

8.1. Pojęcia wstępne.

8.2. Własności ciągów jednostajnie zbieżnych.

8.3. Własności szeregów jednostajnie zbieżnych.

8.1. Pojęcia wstępne

Niech f , gdzie_n n , będą funkcjami określonymi na zbiorze D  o wartościach w . Niech A  .

8A1 Definicja (zbieżność punktowa ciągu funkcyjnego)

Mówimy, ze ciąg funkcyjny

 

fn n^_1 jest zbieżny punktowo do funkcji f na zbiorze A jeśli ciąg liczbowy



f xn^{( )}



n^_1 będzie zbieżny dla każdego x . Możemy wtedy A określić funkcję f jako

( ) lim _n( ), .

n

f x f x x A

   (1)

W tym przypadku funkcja f jest granicą lub funkcją graniczną tego ciągu, piszemy fn  (na zbiorze A). f

8A2 Definicja (zbieżność jednostajna ciągu funkcyjnego)

Mówimy, ze ciąg funkcyjny

 

fn n^_1 jest zbieżny jednostajnie do funkcji f na zbiorze A, jeżeli dla dowolnego   istnieje liczba naturalna N  taka, że dla n N0  zachodzi

( ) ( )

f xn  f x  (2) dla wszystkich x . Zapisujemy wówczas: A f_n f (na zbiorze A).

8A3 Uwaga

Z definicji zbieżności mamy

0 ( ) ( )

n n

f  f       x A  N  n N  f x  f x  oraz

0 ( ) ( )

n n

f f      N  n N   x A f x  f x .

Definicje zbieżności i zbieżności jednostajnej nie są równoważne. Jest oczywiste, że każdy ciąg zbieżny jednostajnie jest także zbieżny punktowo. Różnica miedzy zbieżnością punktową a jednostajną polega na tym, ze w pierwszym przypadku dla dowolnego   i dla dowolnego ustalonego x A0  można dobrać takie N (które zależy i od  , i od x), że dla n N będzie spełniona nierówność (2); jeżeli ciąg jest zbieżny jednostajnie, to przy każdym   można dobrać jedną wspólną dla 0 wszystkich x liczbę NA .

8A+B4 Przykłady:

4.1. Ciąg funkcyjny f_n:  , n określony wzorem ( ), _n x, ,

f x x

 n  jest zbieżny do funkcji ( ) 0f x  dla x  . Ciąg ten nie jest jednak zbieżny jednostajnie do funkcji f ponieważ przy   nie istnieje liczba N  taka, że warunek (2) będzie 1 spełniony dla wszystkich x [0,1] (na przykład nie jest spełniony dla x2n).

4.2. Ciąg f_n:  , n funkcji ciągłych określonych wzorem ,

2 2

( ) 1 ,

n 1

f x  n x

 x  , jest zbieżny do funkcji 0 dla 0, ( ) 1 dla 0, f x x

x

 

   która nie jest ciągla dla x  . Ciąg ten nie jest zbieżny jednostajnie do funkcji f.

4.3. Rozważmy ciąg f_n:  , n funkcji określonych wzorem ,

2 2

( ) ,

n 1 f x x

 n x

 x  . Mamy:

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1

( ) 0 .

1 2 1 2 1 2

n

x nx n x

f x n x n n x n n x n

     

  

Stąd wynika że istnieje liczba N  taka, że warunek (2) będzie spełniony dla

wszystkich x  , więc ciąg jest zbieżny na jednostajnie do funkcji ( )f x 0,x . Analogicznie definiujemy zbieżność szeregu funkcyjnego. Niech f_n:A  i

1 2

( ) ( ) ( ) ( ), , .

n n

S x  f x  f x   f x xA n Wówczas

 

Sn n^_1 jest ciągiem funkcyjnym. Jest to ciąg sum częściowych szeregu

1 n n

f





 ^.

8A+B5 Definicja (zbieżność szeregu funkcyjnego)

Jeśli ciąg

 

Sn n^_1 jest zbieżny punktowo na zbiorze A to mówimy, ze szereg

1 n n

f





 ^jest

zbieżny punktowo na zbiorze A, zaś funkcje

( ) lim _n( ) S x n S x

 

nazywamy suma tego szeregu. Zapisujemy wówczas

1 n n

f S







 ^.

Jeśli ciąg  Sn n^_1 jest zbieżny jednostajnie na zbiorze A to mówimy, ze szereg

1 n n

f





 ^jest

zbieżny jednostajnie na zbiorze A.

8A+B6 Przykłady:

6.1. Szereg funkcyjny

0 n,

n

x





 ^{gdzie 00}  jest zbieżny na przedziale ( 1,1)^1,  do funkcji (sumy) 1

( ) .

S x 1

 x

 Szereg ten (szereg geometryczny) nie jest jednak zbieżny jednostajnie ponieważ ciąg

1 1

( ) 1

n n

S x x

x

 

  sum częściowych jest zbieżny do funkcji ( )

S x ale nie jest zbieżny do tej funkcji jednostajnie na ( 1,1) . 6.2. Szereg (szereg geomeryczny)

2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

1 2 2

0 dla 0,

... ... 1

: 1 =1 dla 0

(1 ) 1 (1 ) (1 )

1 1

n n

n

x x x x x

x x

x x x x

x x





 

          

        



jest zbieżny do funkcji ( ) ^{0 dla 0,} , 1 dla 0,

S x x x

x

 

   nie jest na zbieżny do tej funkcji jednostajnie ale jest zbieżny jednostajnie na [1, . Wskazówka: dla ) x [1, mamy: )

2 2

2 2 2

2 2 2

2

1

1 1 1

(1 ) 1 1

( ) 1 1 1 1

(1 ) (1 ) 2

1 1

n

n n n n

x x

x x x

S x x x x

x

 

  

       

 

 

.

8.2. Własności ciągów jednostajnie zbieżnych

Bezpośrednio z definicji 8A2 otrzymujemy następujące twierdzenie.

8B7 Twierdzenie Niech ( ) lim _n( )

n

f x f x

  dla x . Wówczas A

lim sup ( ) ( ) 0.

n n x A n

f f f x f x

 

 

   

8B8 Twierdzenie (warunek Cauchy’ego zbieżności jednostajnej)

na 0 , ( ) ( ) .

n n m

f f A     N m nN   x A f x  f x  8A+B9 Twierdzenie (zbieżność jednostajna i ciągłość)

Jeśli ciąg

 

fn n^_1 funkcji ciągłych na zbiorze A jest na A zbieżny jednostajnie do funkcji f , to funkcja f jest ciągła na A.

Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, ciąg funkcji ciągłych może być nijednostajnie zbieżny do funkcji ciąglej.

Stąd mamy

8A+B10 Fakt (przejście graniczne)

Przy założeniach twierdzenia 8A+B9 zachodzi własność

0 0

lim lim _n( ) lim lim _n( ), , 0 .

x x n f x n x x f x x A x A

      

8A+B11 Twierdzenie(zbieżność jednostajna a różniczkowanie)

Niech  fn n^_1 będzie ciągiem funkcji ciągle różniczkowalnych na przedziale [ , ]a b takich, że ciąg f x_n( 0)_n^_1 jest zbieżny dla pewnego punktu x₀[ , ]a b . Jeśli ciąg pochodnych

 

^fn _n^_1 jest zbieżny jednostajnie na [ , ]a b , to także ciąg

 

fn n^_1 jest na [ , ]a b zbieżny jednostajnie do pewnej funkcji f i zachodzi równość

 

lim _n( ) lim _n( ) ( ) ( ).

n f x n f x f x a x b

 

      

8A+B12 Twierdzenie(zbieżność jednostajna a całkowanie)

Jeśli ciąg

 

fn n^_1 funkcji ciągłych na przedziale [ , ]a b jest na [ , ]a b zbieżny jednostajnie do funkcji f , to

lim ( ) lim ( ) ( ) .

b b b

n n

n n

a a a

f x dx f x dx f x dx









 



8.3. Własności szeregów jednostajnie zbieżnych 8A+B13 Twierdzenie (kryterium Weierstrassa)

Załóżmy, że istnieje ciąg liczbowy

 

an n^_1 taki, że dla dowolnego x i dla dowolnego A n zachodzi nierówność f x_n( )  . Jeśli szereg liczbowy o wyrazach dodatnich a_n

1 n n

a





 jest zbieżny, to szereg funkcyjny

1 n n

f





 jest zbieżny jednostajnie.

8A+B14 Przykłady:

14.1. Rozważmy szereg funkcyjny

1 n( ),

n

f x





 ^{gdzie f xn( )} _x^{( 1)2}_n^{n2, x  .}

Mamy: ( 1)_{2 2} 1₂ ( )

n

n n

f x a

x n n

   

 dla x  . Szereg liczbowy ₂

1

1

n n





 jest zbieżny, co na podstawie twierdzenia 8A+B13 implikuje zbieżność jednostajną szeregu _{2 2}

1

( 1) .

n

n x n









 14.2. Udowodnić, że jeżeli szereg liczbowy

1 n n

a





 jest zbieżny bezwzględnie, to szeregi funkcyjne

1 1

sin( ), cos( )

n n

n n

a nx a nx

 

 

 

są zbieżne jednostajnie.

8B15 Twierdzenie (przejście graniczne) Niech

1 n( )

n

u x





 będzie szeregiem o wyrazach u x_n( ) określonych na przedziale A oraz zbieżnych do granic właściwych a_n gdy x x₀ A (

0

lim _n( ) _n, 1,2,...

x x u x a n

   ). Niech

dalej szereg

1 n n

a





 jest zbieżny oraz szereg fynkcyjny

1 n( )

n

u x





 ^{jest na A zbieżny}

jednostajnie. Wtedy

0 1 1 0 1

lim _n( ) lim _n( ) _n.

x x x x

n n n

u x u x a

  

    

 

  

8A+B16 Twierdzenie(zbieżność jednostajna a różniczkowanie) Niech

1 n( )

n

u x





 będzie szeregiem o wyrazach u x_n( ) określonych i ciągle różniczkowalnych w przedziale [ , ]a b . Jeżeli szereg

1 n( )

n

u x





 jest zbieżny na [ , ]a b oraz szereg o pochodnych

1 n( )

n

u x







 jest na [ , ]a b zbieżny jednostajnie, to

1 1 1

( ) ( ) ( ) .

n n n

n n n

d d

u x u x u x

dx dx

  

  

   

 







 

8A+B17 Twierdzenie(zbieżność jednostajna a całkowanie) Niech

1 n( )

n

u x





 będzie szeregiem o wyrazach u x_n( ) określonych i ciąglych w przedziale [ , ]a b . Jeżeli szereg

1 n( )

n

u x





 jest zbieżny na [ , ]a b jednostajnie do funkcji ( )u x , to funkcja ( )u x jest na [ , ]a b całkowalna oraz zachodzi własność

1 1

( ) ( ) ( ) .

b b b

n n

n n

a a a

u x dx u x dx u x dx

 

 









  

8A+B18 Uwaga

Szereg funkcyjny zbieżny na przedziale A jest różniczkowany (przy zalożeniach twierdzenia 8A+B16) i całkowalny (przy założeniach twierdzenia 8A+B17) na

przedziale A (pochodną jak i całkę szeregu można otrzymać różniczkując lub całkując szereg wyraz po wyrazie).

8A+B19 Wniosek (szereg potęgowy) Jeżeli szereg potęgowy

1 n n n

a x





 (3) będzie zbieżny przy x R i niech

1

( ) _n ⁿ dla

n

f x a x x R









 . (4)

Wtedy szereg (3) jest zbieżny na [ R ,R jednostajnie przy dowolnej ] dodatniej liczbie   Funkcja f jest ciągła i różniczkowalna na (R. R R, ) oraz

1 1

( ) _n ⁿ dla ;

n

f x na x x R

 



 



 (5)

1

0

( ) dla

1

n n n

f x dx a x x R

n

 



 







^.

Jeżeli szereg (3) jest zbieżny na końcu przedziału zbieżnośći, powiedzmy w punkcie x to jest zbieżny na [0, ]R, R jednostajnie, funkcja f jest ciągła nie tylko na

(R R, ), lecz również (lewostronnie) w punkcie x równość (5) zachodzi i dla R; x , jeżeli dodatkowo szereg (5) jest zbieżny w punkcie R x R.

8B20 Przykład. Obliczyć sumę szeregu

( 1) 2 ( 1) ... ( 1)

( ) 1 ... ...

1 2 1 2 ...

m m m m m n n

y x mx x x

n

     

     

   

Rozwiązanie. Mamy:

( 1)( 2) ( 1)( 2) ... ( )

( ) 1 ( 1) ... ... .

1 2 1 2 ...

m m m m m n n

y x m m x x x

n

      

 

             

Korzystając z własności ( 1)( 2) ... ( ) ( 1)( 2) ... ( 1)

1 2 ... 1 2 ... ( 1)

m m m n m m m n

n n

            

      

( 1)( 2) ... ( 1)

1 2 ...

m m m m n

n

     

   , otszymamy równanie różniczkowe (1x y x) ( )  m y x( ) oraz zagadnienie początkowe y(0) 1. Stąd y x( ) (1 x) .^m

8A+B21 Przykłady:

21.1. Obliczyć sumę ( )S x szeregu potęgowego

2

... ( 1) 1 ...

2

n

x n x

x n

      dla

( 1,1].

x  

Rozwiązanie. Mamy: 1 1 ^{2 3 1 1}

1 ... ( 1) ...

1 1 ( )

n n

x x x x

x x

 

        

  

Całkujemy:



^{1 1}



^{2 1}

0 0

ln(1 ) 1 ... ( 1) ... ... ( 1) ....

1 2

x x n

n n n

dx x x

x x x dx x

x n

  

              







( ) ln(1 ), ( 1,1).

S x  x x  Szereg naprzemienny

2

... ( 1) 1 ...

2

n

x n x

x n

      przy x 1 jest zbieżny. Mamy zatem ( ) ln(1S x  x x),  ( 1,1].

21.2. Udowodnić że szereg potęgowy

3 2 1

... ( 1) 1 ...

3 2 1

n

x n x

x n

 

    

 jest zbieżny do funkcji ( )S x arctgx na przedziale [ 1,1].

Praca domowa

1. Zbadać zbieżność na przedziale A [0,1] podanych ciągów oraz wyznaczyć ich funkcji graniczne: ^a)

 

^{fn n1, b)}

 

^{fn n1, c)}

 _

^{f x dxn( )}



_n^_1^{, gdzie f xn( )}_1¹_nx^.

2. Wyjaśnić czy ciąg

 

₁^{, gdzie ( ) sin} _{2 2} ^,

2( )

n n n

f f x

x n





 

 jest jednostajnie na

zbieżny do funkcji ( ) 0f x  dla x  .

3. Znaleźć sumę oraz zbadać zbieżność (punktową, jednostajną) szeregu:

1

0 1 0

a) ( ), b) ( ), c) ( ) , gdzie ( ) .

1

n

n n n n

n n n

f x f x f x dx f x x

n

   

  

 

  



4. Obliczyć sumy 1 1 1 1 1 1 1 ¹1

a) 1 ... ( 1) ...; b) 1 ... ( 1) ...

2 8 16 2 2 3 4

n n

n n

              

5. Obliczyć

1

0

arctg x x dx



z dokładnością 10^2, wskazówka

3 5 7 9

1 1 1 1

arctg

3 5 7 9

x x x  x  x  x 