szelkie pytania i wątpliwości do tematu proszę przesyłać na adres:

Nauczyciel: Marzena Mrzygłód Przedmiot: matematyka Klasa: 3 TIB

Temat lekcji: Ciąg geometryczny i arytmetyczny w zadaniach Data lekcji: 24.04.2020 - lekcja 1 i 2

Wprowadzenie do tematu:

Przypomnienie z poprzedniej lekcji.

Zad.1. Wyrazy ciągu geometrycznego (a_n), określonego dla 𝑛 ≥ 1, spełniają układ równań:

{𝑎₃+ 𝑎₆ = −84 𝑎₄+ 𝑎₇= 168

Wyznacz liczę n początkowych wyrazów tego ciągu, których suma 𝑆_𝑛 jest równa 32 769.

{𝑎₁∙ 𝑞²+ 𝑎₁∙ 𝑞⁵= −84

𝑎₁∙ 𝑞³+ 𝑎₁∙ 𝑞⁶= 168 𝑆_𝑛 = 3 ∙¹⁻⁽⁻²⁾₁₋₍₋₂₎^𝑛

: {𝑎₁∙ 𝑞²(1 + 𝑞³) = −84

𝑎₁∙ 𝑞³(1 + 𝑞³) = 168 32769 = 3 ∙¹⁻⁽⁻²⁾₃ ^𝑛 𝑞 = −2 32769 = 1 − (−2)^𝑛 𝑎₁∙ (−2)²(1 + (−2)³) = −84 −32768 = (−2)^𝑛 𝑎1∙ 4(1 − 8) = −84 (−2)¹⁵= (−2)^𝑛 𝑎1∙ (−28) = −84 n=15

𝑎1= 3 Instrukcje do pracy własnej:

Zadania, które będziemy rozwiązywać dotyczą obu ciągów.

Zad.1/str. 228 d) 𝑆_𝑛= 2𝑛

a1=S1=2 Sn-1=2(n-1)=2n-2 an=Sn-Sn-1=2n-2n+2=2

Ciąg jest stały, jest arytmetyczny.

𝑎 ; 𝑏 ; 𝑐 ; ciąg geometryczny

𝑎1= 𝑎; 𝑎₂ = 𝑏 = 𝑎 + 𝑟 ; 𝑎₄ = 𝑐 = 𝑎 + 3𝑟 ciąg arytmetyczny 𝑎 + 𝑎 + 𝑟 + 𝑎 + 3𝑟 = 28

{ 3𝑎 + 4𝑟 = 28 (𝑎 + 𝑟)²= 𝑎(𝑎 + 3𝑟) { 4𝑟 = 28 − 3𝑎

𝑎²+ 2𝑎𝑟 + 𝑟²= 𝑎²+ 3𝑎𝑟 {

𝑟 = 7 −³

4𝑎

−𝑎 (7 −³₄𝑎) + (7 −³₄𝑎)²= 0

{ 𝑟 = 7 −³₄𝑎 (7 −³

4𝑎) (−𝑎 + 7 −³

4𝑎) = 0 7 −³

4𝑎 = 0 𝑙𝑢𝑏 − 𝑎 + 7 −³

4𝑎 = 0 − ³₄𝑎 = −7 𝑙𝑢𝑏 −⁷

4𝑎 = −7

𝑎 =²⁸₃ 𝑙𝑢𝑏 𝑎 = 4.

𝑟 = 7 −³

4∙ (²⁸

3) 𝑙𝑢𝑏 𝑟 = 7 −³

4∙ 4 𝑟 = 7 − 7 𝑙𝑢𝑏 𝑟 = 7 − 3 𝑟 = 0 𝑙𝑢𝑏 𝑟 = 4

Odp.: ²⁸₃ ; ²⁸₃ ; ²⁸₃ lub 4 ; 8 ; 16

Zad.7. /str. 229

b) −4 ; 𝑎 ; 𝑏 ciąg arytmetyczny { 𝑎 =^−4+𝑏

2

𝑏²= 𝑎 ∙ 32

𝑎 ; 𝑏 ; 32 ciąg geometryczny { 𝑎 =^−4+𝑏

2

𝑏²=^𝑏−4

2 ∙ 32 { 𝑎 =^−4+𝑏

2

𝑏² = (𝑏 − 4) ∙ 16 { 𝑎 =^−4+𝑏₂

𝑏²− 16𝑏 + 64 = 0 { 𝑎 =^−4+𝑏

2

(𝑏 − 8)²= 0 {𝑎 = 2

𝑏 = 8 Odp.: Szukane liczby to 2 i 8.

Zad.9/str.229

b) 𝑎 ; 𝑏; 𝑐; 𝑑; 𝑒; 𝑓; 𝑐𝑖ą𝑔 𝑎𝑟𝑦𝑡𝑚𝑒𝑡𝑦𝑐𝑧𝑛𝑦 𝑚𝑎𝑙𝑒𝑗ą𝑐𝑦 𝑎 = −1 ; -1 ; -1+r; -1+2r : -1+3r; -1+4r ; -1+5r -1 ; -1+r ; -1+4r ciąg geometryczny

(𝑟 − 1)²= (−1)(−1 + 4𝑟) 𝑟²− 2𝑟 + 1 + 4𝑟 − 1 = 0 𝑟²+ 2𝑟 = 0

𝑟(𝑟 + 2) = 0

𝑟 = 0 𝑐𝑖𝑎𝑔 𝑚𝑎 𝑏𝑦ć 𝑚𝑎𝑙𝑒𝑗ą𝑐𝑦 𝑛. 𝑠. 𝑤. 𝑧 𝑙𝑢𝑏 𝑟 = −2 -1 ; -3; -5; -7; -9; -11 ciąg arytmetyczny malejący

S6=-36 Zad.11/str. 229

b) 𝑎𝑛 𝑐𝑖ą𝑔 𝑜 𝑤𝑦𝑟𝑎𝑧𝑎𝑐ℎ 𝑐𝑎ł𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑦𝑐ℎ 𝑏𝑛= 2^𝑎𝑛

𝑏_𝑛+1= 2^𝑎𝑛+1 𝑞 =^𝑏𝑛+1

𝑏_𝑛 =^2𝑎𝑛+1

2^𝑎𝑛 = 2^{𝑎𝑛+1−𝑎𝑛} = 2^𝑟

r – różnica ciągu arytmetycznego, która jest liczbą całkowitą, więc 2^𝑟∈ 𝐶.

Iloraz między dwoma kolejnymi wyrazami jest stały, to jest ciąg geometryczny.

Zad.13/str. 229

a – bok trójkąta największego 𝑟 =¹

3ℎ =¹

3∙^𝑎√3

2 =^𝑎√3

6 promień największego okręgu II. ℎ2 =³

2𝑟 =³

2∙^𝑎√3

6 =^𝑎√3

4

ℎ2 =^𝑎2√3

2

^𝑎√3₄ =^𝑎2√3

2

𝑎₂=¹₂𝑎 𝑟₂=

1 2𝑎√3

6 =^𝑎√3₁₂ III. ℎ₃=³

2𝑟₂=³

2∙^𝑎√3

12 =^𝑎√3

8

ℎ₃ =^𝑎3√3

2

^𝑎√3₈ =^𝑎3√3

2

𝑎3=¹

4𝑎 𝑟₃=

1 4𝑎√3

6 =^𝑎√3

24

obwody trójkątów:

𝑂₁ = 3𝑎 ; 𝑂₂=³

2𝑎 ; 𝑂₃=³

4𝑎 … 𝑂_𝑛= ³

2^𝑛−1𝑎; 𝑂_𝑛+1= ³

2^𝑛𝑎 ^𝑂_𝑂^𝑛+1

𝑛 =

3 2𝑛𝑎

3

2𝑛−1𝑎=²₂^𝑛−1_𝑛 =¹₂

Jest to ciąg geometryczny o ilorazie 𝑞 =¹₂.

Praca własna:

Wykonaj zadania 2 a lub b, 4, 6, 8 a lub b, 10, 12 str. 228 i 229 Informacja zwrotna:

Spotkanie online na platformie Discord – 24.04.2020 o godz. 12.00-13.30

Osoby, które się jeszcze nie logowały na platformie, proszę o kontakt przez komunikator na dzienniku w celu podania linku do logowania.

Rozwiązane zadania, w

szelkie pytania i wątpliwości do tematu proszę przesyłać na adres:

matmaxmm121@gmail.com do dnia 27.04.2020 r.

Opracowała: Marzena Mrzygłód