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Postuerlagsort Leip
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NATURWISSENSCHAFTEN
H ER A U SG EG EBEN VON
A R N O L D B E R L I N E R
U N T E R B E S O N D E R E R M I T W I R K U N G V O N HANS SPEMANN IN F R E I B U R G I. B R . ORGAN DER GESELLSCHAFT DEUTSCHER NATURFORSCHER UND ÄRZTE
U N D
ORGAN DER KAISER WILHELM-GESELLSCHAFT ZUR FÖRDERUNG DER WISSENSCHAFTEN
V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N W g
HEFT 28 (S E IT E 569— 584) 15. JULI 1927. FÜNFZEHNTER JAHRGANG
I N H A L T : Die neue Mechanik. Von Lu d w ig Flam m, Wien.
(Mit 4 F i g u r e n ) ... 569 Die Fortschritte in der Bearbeitung des Problems
der langfristigen W itterungsvorhersage in den letzten drei Jahren. Von Franz Ba u r, Berlin 578
Bespr e ch u n g e n :
Harm s, J. W ., Körper und Keimzellen. (Ref.:
K a rl Belar, B e rlin -D ah lem )... 581 Ba u r, E ., E. Fisch er und F . Le n z, Mensch
liche Erblichkeitslehre und Rassenhygiene.
III. Auflage. Bd. I. (Ref.: J. Seiler, München) 584
A bb . 88 a: Laminare Ström ung um einen Zylinder
aus
Technische Hydrodynamik
Von
Dr. Franz Präsil
Professor an der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Zürich Z w e i t e , u m g e a r b e i t e t e u n d v e r m e h r t e A u f l a g e M it 109 Abbildungen im T ext. IX , 303 Seiten. 1926. Gebunden RM 24.—
V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N W 9
II D I E N A T U R W I S S E N S C H A F T E N . 1927. H eft 28. 15. J uli 1927.
DIE N A TU R W ISSE N SCH A FTE N
erscheinen wöchentlich und können im In- und Auslande durch jede Sortimentsbuchhandlung, jede Postanstalt oder den Unterzeichneten Verlag be
zogen werden. Preis vierteljährlich für das In- und Ausland RM 9.— . Hierzu tritt bei direkter Zustellung durch den V erlag das Porto bzw. beim Bezüge durch die Post die postalische Bestellgebühr. Einzelheft RM 1.— zuzüglich Porto.
M anuskripte, Bücher usw. an
Die Naturwissenschaften, Berlin W 9, Linkstr. 23/24, erbeten.
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Verlag sb u ch h an d lu n g J u liu s Springer, B erlin W 9, L in k str. 23/24 Fernsprecher: A m t Kurfürst 6050— 53. Telegram m adr.: Springerbuch.
V E R L A G V O N J U L I U S S P R I N G E R I N B E R L I N W 9
Fragen der
klassischen und relativistischen Mechanik
Vier Vorträge gehalten in Spanien im Januar 1921 von
T. LevisCivita
Professor in Rom
A u t o r i s i e r t e Ü b e r s e t z u n g
Mit 13 Textfiguren. VI, 110 Seiten. 1924. RM 5.40
Vorlesungen über Atommechanik
V o n
Professor Dr. Max Born
Direktor des Instituts für theoretische P h ysik der U n iversität G öttin gen
U n t e r M i t w i r k u n g von Dr. Friedrich H un d
Privatdozent an der Universität G öttin gen
I. B a n d
Mit 43 Abbildungen. IX , 358 Seiten. 1925. RM 15.— ; gebunden RM 16.50 (Bildet Band II von „Struktur der Materie in Einzeldarstellungen“)
Probleme der Atomdynamik
E r s t e r T e i l :
D ie Struktur des A to m s Z w e i t e r T e i l :
D ie Gittertheorie des festen Zustandes 30 Vorlesungen, gehalten im Wintersemester 1925/26 am Massachusetts Institute o f Technology von
Professor Dr. Max Born
Direktor des Instituts für theoretische P h ysik der U niversität G öttin gen
Mit 42 Abbildungen und 1 Tafel. V III, 184 Seiten. 1926. RM 10.50; gebunden RM 12.—
Q u an ten
Redigiert von
H. Geiger
Mit 225 Abbildungen. X , 782 Seiten. 1926. RM 57.— ; gebunden RM 59.70
(Bildet Band X X III vom „Handbuch der Physik“, herausgegeben von H. Geiger und Karl Scheel)
DIE NATURWISSENSCHAFTEN
Fün fzehnter Ja h rg a n g 1 5 . Ju li 1927 H eft 28
D ie neue M echan ik.
V o n Lu d w ig Fl a m m, W ien . D ie W e llen m ec h an ik E . Sc h r ö d in g e r s1), deren
D a rste llu n g d er Z w e c k des fo lgen d en A u fs a tze s ist, g re ift a u f V o rstellu n g en zu rü ck , m it w elch en ru nd v or h u n d ert Jah ren b ereits Ha m il t o n g ro ß e E r folge erzielte. E s w a r eine Z eit, als Ha m il t o n 'v irk te, in w elch er d ie e rst n och h errsch en d e E m is sionsth eorie des L ic h te s d u rch d ie W ellen th eo rie im m er m ehr v e rd rä n g t w u rd e. E s m u ß te d ie h e r
vorragenden G eister je n e r Z e it zu m N a ch d en k en d a rü b er vera n lassen , d a ß v ie le o p tisch e E rsc h e i
nungen, z u v o r in a u sg e ze ich n eter W eise d u rch die B ew eg u n g en v o n L ic h tk o rp u sk e ln e rk lä rt, nunm ehr sich e b en so g u t au s der W ellen th eo rie ergaben . D ie a u f diese W eise sich d a r bieten d en A n a lo g ien h a b en den A u s b a u der D y n a m ik m ä ch tig geförd ert, a b er die N a c h w e lt h a t n u r die R e s u lta te Ha m il t o n s ü b ern om m en und deren B e g rü n d u n g au f einer m eh r m a th em a tisch fo rm alen G ru n d lage
\ orgezogen. N o ch Fe l i x Kl e i n lieb te die o p tisch en B ild e r z u r B e h a n d lu n g d y n am isch e r P ro b lem e, ohne bei seinen Z eitg en ossen das gew ü n sch te V e r stän d n is zu finden.
D ie neueste E n tw ic k lu n g d ieser v o n Ha m il t o n a n g eb a h n ten R ic h tu n g fü h r t zu ein er n atü rlich en E rk lä ru n g des Q u an ten rä tsels d er A to m m od elle, d as bisw eilen schon die B e fü rc h tu n g h a tte a u f
tau ch en lassen, w ir w ü rd en unser h erg eb rach tes K a u s a litä ts g e s e tz n ic h t a u fre ch terh a lte n können.
M it H ilfe d er V o rste llu n g einer b estim m ten A r t W ellen fü h rt m an die Q u an ten m e ch a n ik ein fach a u f In terferen zersch ein u n g en zu rü ck , w elch e uns insbesondere aus d er O p tik lan ge v e r tr a u t sind.
D a s ste llt a llerd in gs ein e üb errasch en d e W e n d u n g dar, w enn m an b e d en k t, d a ß die klassisch e E r k lä ru n g d er In terferen zersch ein u n g en m it der Q u an ten th eo rie als u n ve re in b a r g eh a lten w u rd e.
D ie neue W e llen m ec h a n ik v e rd a n k t ih re E n t steh u n g a b er e rst je n e r vielb esp ro ch en en K rise , in w elche die u rsp rü n g lich e Q u an ten th eo rie z u le tz t g e ra ten w a r 2).
D a s S tu d iu m der Q u an ten ersch ein u n gen h a tte insbesondere au ch zu ein er U n ge w iß h e it ü b er die A r t d er L ic h ta u sb reitu n g g e fü h r t»). Z u r E rk lä r u n g der In terferen z- und B eu gu n g sersch ein u n gen erw eisen sich die V o rstellu n g en der klassisch en W ellen th eo rie au ch h eu te n och als u n en tb eh rlich . D e r p h o to e lektrisch e E ffe k t und in sbesondere b ei den R ö n t
g en strah len d er C o m p to n e ffe k t find en hin gegen ih re ein fach e E rk lä r u n g in d er L ic h tq u a n te n h y p o - th ese. D iese grü n d et sich a u f die ä lte ste F a ssu n g d e r Q u an ten th eorie, n ach w elch er eine W ellen -
x) Abhandlungen zur Wellenmechanik. Leipzig 1927.
2) N. Bohr, Naturwissenschaften 14, 1. 1926.
3) M. Pl a n c k, Naturwissenschaften 14, 257. 1926.
S trah lu n g v o n der F req u en z v n u r in E n erg ieq u an ten IF a u ftr itt, w elch e d u rch die PLANCKSche F o rm el
W = hv (1)
gegeb en sind. D ie a u f treten d e K o n sta n te h is t u n iversell u n d h e iß t d as PLANCKsdie W irk u n g s
q u a n tu m . D ie v o n A . Ein s t e in b egrü n d ete L ic h t
q u a n te n h yp o th e se b e d e u te t a b er n ich ts anderes als eine R ü c k k e h r zu r NEWTONSchen E m issio n s
th eorie des L ic h tes, d a sie eine ko rp u sk u la re K o n zen tra tio n des d u rch F o rm e l (1) gegeben en E n erg ie q u a n tu m s a n n im m t1). So b irg t die A u sb re itu n g des L ic h te s b ereits ein seltsam es R ä ts e l in sich, fü r eine G ru p p e v o n E rsch ein u n gen als w ellen förm ig, fü r eine andere G ru p p e als k o rp u sk u la r a u fg e fa ß t w erd en zu m üssen.
D a s R ä tse l d er L ic h ta u sb re itu n g h ö rt au f, ein solches zu sein, w en n m an w ied er zu Ha m il t o n s S ta n d p u n k t z u rü c k k e h rt. E m issio n sth eorie und W ellen th eo rie des L ic h te s d ü rfen d an n n ich t m ehr als jen e sch ro ffen G eg en sätze gelten , als die sie bei d er B esp rech u n g der G esch ich te d er O p tik m eist h in g e ste llt w erd en . B e id e T h eorien kön nen n ach dem h eu te v o rlieg en d en T a ts a c h e n m a te ria l g a r n ic h t in W id ersp ru ch m itein a n d e r steh en , w en n w ir h o ffen sollen, ü b e rh a u p t zu ein em w id ersp ru ch s
freien p h y sik a lisch en W e ltb ild zu gelan gen . M an p fle g t das B rech u n g sg ese tz als eine W id e r
leg u n g der K o rp u sk u la rth eo rie des L ic h te s und eine B e stä tig u n g d er W ellen th eo rie anzuseh en.
D ie folgen d e B e h a n d lu n g dieses G esetzes n ach b e i
den T h eorien w ird n ic h t n u r erkenn en lassen, d a ß ein solch er W id e rsp ru ch a u f m od ern er G ru n d lage g a r n ic h t m eh r b esteh t, sondern a u ch aus der F o rd e ru n g d er Ü b erein stim m u n g d er R e s u lta te zu einer fu n d am en ta len B e zie h u n g führen.
N a c h der NEWTONschen E m issio n sth eorie h a t m an sich vo rzu ste llen , d a ß die L ic h tstra h le n d u rch L ic h tk o rp u sk e ln zu sta n d e kom m en , w elch e v o n den leu ch ten d en K ö rp e rn au sgesch leu d ert w erden . So w ie zw isch en A to m e n selbst, tre te n a u ch z w i
schen den K ö rp e ra to m e n u n d den L ic h tk o rp u sk e ln b ei gen ü gend er A n n ä h eru n g anzieh en d e oder a b stoß en d e K r ä fte au f. D ie b eim D u rc h g a n g des L ic h te s d u rch irgen d ein d u rch sich tiges M edium a u f jed es L ic h tk o rp u sk e l ein w irk en d e K r a ft ist die R esu ltieren d e aus den v o n den u m gebend en K ö rp e ra to m e n a u sgeü b ten K r ä fte n . In einem h om ogen en M edium is t das L ic h tk o rp u sk e l n ach allen R ich tu n g en vo n den gleich en K ö rp e ra to m e n um geben, w elch e eine im M ittel versch w in d en d e resu ltieren d e K r a ft h ervo rru fen . A u s diesem
*) Für das Lichtquantum findet sich in der neueren Literatur auch der Name „P h o to n “ .
N w . 1927 45
5 7 » Fla m m: Die neue Mechanik. [ D ie N atu r
wissenschaften
G ru n d e k a n n m an die B e w e g u n g der L ic h tk o rp u s k el in einem h om ogenen M ed iu m als k rä fte fre i an- seh en w ie im leeren R a u m , w orau s die gerad lin ige und gleich fö rm ig e A u s b re itu n g des L ic h te s m it N o tw e n d ig k e it fo lg t, w ie sie in h om ogen en M edien ebenso w ie im leeren R a u m ta ts ä c h lic h b e o b a c h te t w ird . T r it t jed o c h ein L ic h tk o rp u s k e l aus ein em h o m ogen en M ed iu m in ein anderes über, so w irk e n v o n jen seits der T re n n u n g sfläc h e andere K ö r p e r a to m e ein als v o n diesseits. In der N ä h e d er T re n n u n g sfläc h e e rg ib t sich d a ru m aus der K r a ft W irkung d er u m g eb en d en A to m e a u f d as L ic h t
k o rp u sk el ein e n ic h t m ehr v ersch w in d en d e R e s u l
tieren d e, w elch e aus S ym m e trieg rü n d e n sen k rech t zu r T re n n u n g sfläc h e o rie n tie rt ist. D a s stä rk e r an zieh en d e M edium , gegen w elch es d ie an der T re n n u n g sfläc h e a u f das L ic h tk o rp u s k e l e in w ir
k en d e K r a f t o rie n tie rt ist, b e ze ich n et m an als das o p tisch d ich tere M edium . D ie K r a f t an d er T re n n u n g sflä ch e le istet an dem L ic h tk o rp u s k e l b eim Ü b e rtr itt aus dem o p tisch d ü n n eren ins o p tisch d ich tere M ed iu m eine ga n z b estim m te , n u r v o n der N a tu r d er b eid en M edien a b h än g ig e D u rc h tritts a r b e it, w elch e fü r jed e D u rc h tr itts r ic h tu n g die gleich e ist. D ie E n erg ie U des L ic h tk o rp u s k e ls b le ib t also im e rsten h om ogen en M ed iu m k o n sta n t, n im m t b e im Ü b e r tr itt ins o p tisch d ich tere M edium u m die ch a ra k te ristisc h e D u rc h tr itts a rb e it zu und b e h ä lt d iesen ve rg rö ß e rte n W e rt b eim D u rc h g a n g d u rch d as zw e ite h om ogen e M ed iu m w ied er k o n s ta n t bei. In jed e m d er b eid en M edien b e sitzt a lso d as L ic h tk o rp u s k e l seine ga n z b estim m te E n erg ie U und d em zu fo lg e au ch seine ga n z b e
stim m te G esch w in d ig k e it v, gan z u n a b h ä n g ig vo n d er R ic h tu n g , in w elch er d as L ic h t a u f die T re n n u n gsflä ch e a u ftr ifft. D ie K r a f t an der T re n n u n gsflä ch e h a t a b er au ch im allgem ein en eine Ä n d e ru n g d er B e w e g u n g sric h tu n g des L ic h t
ko rp u sk els zu r F o lg e , w elch e als L ic h tb re c h u n g w ah rgen o m m en w ird , zu d eren B e re ch n u n g die G ru n d g esetze d er D y n a m ik h eran g ezo gen w erden m üssen.
D ie E r k lä r u n g d er L ic h tb re c h u n g n ach der K o rp u s k u la rth e o rie is t d u rch F ig . i e rläu tert.
B e im Ü b e r tr itt aus dem M edium I ins o p tisch d ic h te re M ed iu m I I e rfä h rt jed es L ic h tk o rp u s k e l eine se n k re c h t z u r T ren n u n gseb en e F F ' v o n I n ach I I o rie n tie rte K r a ft . E s ä n d e rt sich d em zu fo lg e die N o rm a lk o m p o n en te des Im p u lses
G — m v , (2)
w äh ren d die T a n g e n tia lk o m p o n e n te erhalten b leib t.
D e r Im p u ls Gx eines P a r tik e ls im ersten M edium s te h t m it d em Im p u ls 0 2 im zw e ite n M ed iu m dem
zufolge in der B e zie h u n g
G ^ s in ^ = Gz s in a 2,
w obei a1 den E in fa lls w in k e l u n d a2 den B re c h u n g s
w in k e l b e d e u te t. D ie G leich u n g lä ß t sich au ch sch reib en
sin (s1 G2 sin «2 Gt
E in e r b e stim m te n E n ergie U u n d G esch w in d ig
k e it v des L ic h tk o rp u sk e ls in jed e m M edium k o m m t au ch ein gan z b estim m te r Im p u ls G zu.
D e r Q u o tie n t der b eid en Im p u lse G2 und G1 ist also g leich fa lls gan z u n a b h ä n g ig v o n der R ic h tu n g , in w elch er das L ic h t a u f die T re n n u n g sfläc h e a u f
tr ifft.
Fig. 1. Zur Erklärung der Lichtbrechung nach der K orpuskulartheorie.
D a h e r is t G2 , ,
eine n u r v o n der A r t d er b eid en M edien a b h än g ig e K o n sta n te , der B rech u n g sex p o n en t. So e rg ib t sich d as SN ELLiussche B rech u n g sg esetz
sin a,
—--- = n , sin a 2
d. h., der Q u o tie n t aus dem Sin us des E in fa lls w in k els u n d dem S in u s des B rech u n g sw in k e ls h a t fü r je d e E in fa lls ric h tu n g den gleich en W e rt.
N a c h den V o rstellu n g en d er W ellen th eo rie sind die L ic h tstra h le n die B a h n en d er L ic h ten erg ie , w elch e d u rch die v o n den leu ch ten d en K ö rp e rn au sgesen d eten L ic h tw e lle n fo rtg e tra g e n w ird . D e r E n e rg ie tra n sp o rt fin d e t sen k rech t zu den W e llen fläch en s t a t t 1). D e m zu fo lg e steh en die L ic h t
stra h len sen k rech t a u f den W ellen fläch en . D ie W e llen g e sch w in d ig k eit u h a t in jed e m hom ogen en M ed iu m einen ga n z b e stim m te n W e rt, d er a u ch fü r alle F o rtp fla n zu n g sric h tu n g e n d er gleich e ist.
V o n zw e i ang ren zen d en M edien b ezeich n et m an das M ed iu m m it d er klein eren W e llen g e sch w in d ig k eit als das o p tisch d ich tere M edium . E in e d u rch d ie T re n n u n g sfläc h e zw e ier M edien sch ief h in d u rch tre ten d e L ic h tw e lle e rleid e t zu folg e der ve rä n d erten W e llen g e sch w in d ig k eit eine S ch w en k u n g, w o d u rch die L ic h tstra h le n b re c h u n g h erv o rg eru fen w ird .
D ie E rk lä r u n g der L ic h tb re c h u n g n ach d er W ellen th eo rie is t d u rch F ig . 2 e rlä u te rt. D ie v e r sch ieden e W e llen g e sc h w in d ig k eit u x und w2 in den b eid en M edien h a t eine S ch w e n k u n g der W e l
len eben e v o n A B in M ed iu m I n ach A 'B ' in M ed iu m I I zu folg e, w o d u rch d er a u f d er W ellen eb en e
*) Dies gilt für die hier allein betrachteten isotropen Medien.
Heft 28. 1
* 5 - 7 . 19 27J
Fl a m m: Die neue Mechanik. 5 7 1
sen krech te L ic h ts tr a h l seine R ic h tu n g v o n S B 'n ach B'*S' ä n d ert. D e m zu fo lg e b e ste h t die B e zie h u n g
A B ' = u ,
und d arau s fo lg t
s m a 2 s m « .
sin « 2 u 2
D e r Q u o tie n t d er b eid en W ellen g esch w in d ig k eiten u \ und u2 is t eine n u r v o n d er A r t d er beid en M edien a b h än g ig e K o n sta n te .
U ,
der vo n d er E in fa lls ric h tu n g u n ab h än g ig e B r e ch u n g sex p o n en t. So fo lg t w ied er das Sn e l l i u s- sche B rech u n g sg esetz
sin « !
— = = n . s in « 2
D ie beid en T h eorien u n tersch eid en sich also b lo ß d u rch die versch ied en en F o rm eln (3) und (4), w elch e m an fü r den B rech u n g sex p o n en ten n er-
Fig. 2. Zur Erklärung der Lichtbrechung nach der Wellentheorie.
h ä lt, und die d ara u s sich ergeben d en F o lgeru n gen . D en Z eich n u n gen lie g t jed e sm al der F a ll z u grunde
«2 < «i also
n > 1 . A u s (4) fo lg t h ierfü r
^2 ^ ^1 •
In Ü b erein stim m u n g d a m it lie fe rt d as E x p e r i
m en t ta ts ä c h lic h im o p tisch d ich teren M ed iu m die klein ere L ic h tg e sc h w in d ig k e it. A u s (3) fo lg t fü r denselben F a ll
o2> g 1 .
Im Sinne d er NEWTONschen M ech anik , w elch e die M asse m m F o rm e l (2) als u n verä n d erlich b e tra c h te t m u ß te m an also m it N o tw e n d ig k e it a u f eine größere G esch w in d ig k e it d er L ic h tk o rp u sk e ln im o p tisch d ich teren M edium schließen, w as d u rch das E x p e rim e n t w id erleg t w urde.
H eu te ka n n diese S ch lu ß w eise n ic h t m ehr als s tic h h a ltig g elten , w eil a u f die rasch en L ic h tk o rp u s keln nur die re la tiv istis c h e M ech an ik E i n s t e i n s a n w en d b a r ist. N a ch d ieser b e ste h t zw isch en der M asse m und ih rer E n erg ie U die fu n d am en ta le B ezieh u n g
U = w c 2, (5)
w orin c die V a k u u m lic h tg e sch w in d ig k eit b ed eu tet.
D ie E n erg ie U des L ic h tk o rp u sk e ls n im m t nun b eim Ü b e rtr itt in das o p tisch d ich tere M edium u m die D u rc h tritts a rb e it zu, im selben V erh ä ltn is w ä c h st also au ch die M asse m. D ie G esch w in d ig k e it v des K o rp u sk els m uß n u r w en iger abnehm en als die rezip rok e M asse, dann w ird n ach F o rm el (2) d er Im p u ls G im o p tisch d ich teren M edium grö ß er sein tro tz klein erer P a rtik elg e sch w in d ig k e it v.
M an k a n n also n ich t m ehr b eh au p ten , d a ß das E x p e rim e n t im W id ersp ru ch zu r K o rp u s k u la r
th eorie stü n d e.
Ä u ß e rs t fru c h tb a r erw eist sich die Forderung n ach Ü b erein stim m u n g zw isch en K o rp u s k u la r
th eorie und W ellen th eo rie des L ic h tes. In n euester Z e it h a t L . d e Br o g l i e1) als erster diesen W e g e rfo lgreich w ied er b e treten . U n te r solchen G e sich tsp u n k ten m u ß m an die F o rm el (3) fü r den B rech u n g sex p o n en ten als ebenso r ic h tig erach ten w ie F o rm e l (4). A u s dem Z u sam m en b esteh en b ei
der G leich u n gen fo lg t die B e zie h u n g Ui = G% u2 ■
B e im Ü b e rg a n g in ein anderes M edium b le ib t also G u in v a ria n t. Im leeren R a u m ist
u = v = c
u n d m it B e rü c k sic h tig u n g v o n (2) w eiter G u = m c 2 .
D ie In v a r ia n te G u s te llt also die E n erg ie (5) des L ic h tk o rp u sk e ls im leeren R a u m e d ar. D ie G e sam ten erg ie
W = U + V ,
in w elch er F o rm e l V die p o te n tie lle E n erg ie b e
d eu tet, b le ib t g leich fa lls in v a ria n t. D a Vim leeren R a u m versch w in d en d angen om m en w ird, re d u ziert sich d o rt W gleich falls a u f U. D ie In v a ria n te n G u u n d W stim m en also überein und m an h a t fü r ein b elieb iges M edium
G u = W . (6)
D u rc h diese fu n d am en ta le B e zie h u n g m u ß der I m p u ls G m it d er W ellen g e sch w in d ig k eit u v e rk n ü p ft sein.
E s lä ß t sich zeigen, d a ß die erh alten e F o rm e l (6) b ereits eine vö llig e Ü b erein stim m u n g d er K o rp u s ku larth eo rie u n d der W ellen th eo rie des L ic h tes au ch in b elieb igen un hom ogen en M edien zu r F o lg e h a t. In einem solchen sind die L ic h tstra h le n im allg em ein en k ru m m . D ies k o m m t n ach der K o r p u sk u la rth eo rie d ad u rch zu stan d e, d aß in einem un h om ogen en M edium au ch im In n eren der S u b sta n z Im p u lsän d eru n gen d u rch ein w irken d e K r ä fte h ervo rg eru fen w erden. D ie B a h n des L ic h tp a rtik e ls b e stim m t sich n ach den d y n am isch en G ru n d gesetzen . D iese lassen sich d u rch d as P rin zip der klein sten W irk u n g form ulieren
d jG d i 0 fü r W = const.
1) Theses, Paris 1924. Ondes et Mouvements.
Paris 1926.
4 5 *
5 7 2 Fl a m m: Die neue Mechanik. [ D ie N a tu r
wissenschaften
D e m n a c h erfo lg t die B e w e g u n g zw isch en z w e i fix e n R a u m p u n k te n A u n d A ' gerad e so, d a ß d as au f- tre ten d e W irk u n g sin te g ra l fü r die d u rch lau fen e B a h n einen e x tre m e n W e r t b e s itz t g egen ü b er allen u n ter E rh a ltu n g d er G esa m ten erg ie W v a riie rte n B a h n en . M a c h t m an a u ch h ier v o n G leich u n g (6) G eb ra u ch u n d s e tz t
G = — W u
in d as V a ria tio n s p rin z ip ein, so e rg ib t sich n ach K ü r z e n d u rch d ie K o n s ta n te W die U m fo rm u n g
AJ u
D a s is t a b e r n ich ts anderes als d as Fe r m a t- sch e P rin zip , w elch es b esa g t, d a ß d as L ic h t z w i
sch en zw e i fix e n R a u m p u n k te n A u n d A ' d e n je n i
gen W e g b esch re ib t, fü r den die Z e it zu r Z u rü c k leg u n g d u rch die W e llen gegen ü b er allen b e n a c h b a rte n W e g e n ein e x tre m e r W e r t ist. D a s Fe r m a t- sch e P rin z ip b e stim m t die A u s b re itu n g des L ic h te s a u f G ru n d d er W e llen th eo rie. E s w ird also t a t säc h lich durch Gleichung (6) die K o rp u sk u la r
theorie u n d die W ellentheorie des L ic h te s ga n z a ll
gem ein i n E in k la n g gebracht.
D e r B e g r iff v o n W e llen k o rp u sk eln sozu sagen b e w ä h rt sich also in d er O p tik re c h t gu t. E s w äre zu b egrü ß en , w en n die W ellen th eo rie in irgen d einer F o rm d ergleich en a u fzu w eisen h ä tte . D e r E in fa c h h e it h a lb e r p fle g t m an d a den B e tra c h tu n g e n alle rd in g s den u n b eg ren zten Z u g ein fach h a rm o n i
sch er W e llen zu gru n d e zu legen. M an m a c h t den A n s a tz
W — a sin(2 Ji<p) m it der P h ase
w o b e i s die L ä n g e des S tra h le n w eg es u n d ß eine P h a s e n k o n s ta n te b e d e u te t. D iese ein fach e F o rm e l g ilt stre n g n u r fü r k o n sta n te W e llen g e sch w in d ig k e it u. F ü r ö rtlic h ve rä n d erlich e W e llen g e sch w in d ig k e it k a n n sie m it gen ü gen d er N ä h eru n g b e i
b e h a lte n w erd en , w en n m an die z u tre ffe n d e V o r a u ssetzu n g m a ch t, d a ß in V e rg le ic h zu den rasch en O sc illa tio n e n d er W e llen lin ie die Ä n d e ru n g en v o n u n u r g a n z allm äh lich e sind. W o im m er uns ab er in d er N a tu r W e lle n e n tg e g e n treten , h a t m an es n iem als m it u n b eg ren zten , sondern im m er n u r m it b e g re n zten W e llen zü g e n zu tu n , m it sog. W ellen
gruppen. D iese sind w o h lb e k a n n t b ei den d er u n m ittelb a re n A n sc h a u u n g zu g ä n g lich e n W e llen a u f W a sserob erflä ch en . Jed erm an n g e lä u fig is t die W ellen g ru p p e, w elch e ein ins W a sser gew o rfen er S tein e rzeu g t. A u ffä llig is t a u c h die W ellen gru p p e, w elch e d u rch ein a u f dem W a sser d a h in fah ren d es S c h iff e rre g t w ird . A b e r a u ch d ie v o m W in d a u f
gew orfen en W e llen stellen k ein en reg elm äß igen W e lle n zu g dar, sondern zerfa llen d e u tlich in G ru p pen zu sam m en geh ö rig er W ellen , m it ein er h ö ch sten
W e lle in d er M itte, w elch er im m er k le in e r w erd en d e v o ra n g e h e n u n d folgen .
E s lassen sich a b er alle W e llen g ru p p e n d urch S u p erp o sitio n eines s p ek tra le n B e re ic h es v o n u n b e g re n zten W e llen zü g e n au fb au en . F ü r den w ich- tig e n S p e z ia lfa ll eines seh r sch m a len s p ek tra le n B e re ic h es v o n u n b eg ren zten Z ü g en h a rm o n isch er W e llen soll dies ein geh en d er d is k u tie rt w erd en . J ed er ein zeln e u n te r ih n en is t d u rch den o b ig en A n s a tz d a rg estellt. S ie u n tersch eid en sich u n te r
ein a n d er b lo ß d u rch eine ve rsch ied e n e S c h w in gu n g sza h l v. A u c h die P h a se n k o n sta n te ■& k a n n ste tig u n d m o n oto n m it v sich änd ern . D ie ein en engen F re q u e n zb ereich erfü llen d e M a n n ig fa ltig k e it v o n u n b eg re n zten W e llen zü g e n w ird zu irg en d ein er Z e it t0 an ein er S telle s 0 u n terein an d e r in P h ase n ü b erein stim m u n g sein. D o r t a d d ieren sich säm tlich e A m p litu d e n u n d es re su ltie rt die g r ö ß t
m ö glich e In te n s itä t. A n je d e r S telle s =f= s0 k a n n zu fo lg e d er v ersch ied en en W e llen län g e d er zu r b e tra c h te te n M a n n ig fa ltig k e it geh örigen W e lle n zü g e eine P h ase n ü b erein stim m u n g zu r selb en Z e it n ic h t m eh r b esteh en , und z w a r w erd en die P h asen u m so m ehr d ifferieren , je stä rk e r s v o n s0 a b w eich t.
In solchen D istan zen , in w elch en d ie P h a se n e in m a l in einem B e re ic h v o n v ie le n W e llen lä n g e n d iffe rieren, h a t die resu ltieren d e W e lle ein e im V e r g le ic h z u m M a xim u m b e i s0 n u r m ehr so k lein e A m p litu d e , d a ß sie p ra k tis c h n ic h t m eh r in B e tr a c h t k o m m t.
D u rc h In terferen z d er d ie M a n n ig fa ltig k e it b il
dend en W e llen zü g e re su ltie rt also nu r in der N a c h barschaft von s0 eine beträchtliche A m plitu d e, w äh ren d sich so n st die W e llen so g u t w ie v o lls tä n d ig auslösch en .
D ie V erh ä ltn isse liegen h ier a n a lo g w ie b ei d er B e u g u n g ein w ellig e n L ic h te s an ein em engen S p a lt. N u r w ird d o rt in den sch iefen B ü sch eln die P h a se n v ersc h ieb u n g d u rch W e g d ifferen zen h ervo rg eru fen , w äh ren d sie h ier d u rch v e rsc h ie dene W e llen län g e e n tsteh t. A u s d em gleich en G ru n d e w ie d o rt h a t m an a u ch h ier d as A u ftr e te n v o n In terferen zfra n sen u m d as H a u p tm a x im u m zu erw arten .
D u rc h S u p erp o sitio n der b e tr a c h te te n M a n n ig
fa ltig k e it u n b eg re n zter W e llen zü g e e n ts te h t also ein W e llen zu g m ittle re r W ellen län g e, w ie er in F ig . 3 d a rg e ste llt is t1). D ie A m p litu d e b e s itz t an einer S telle einen m a x im a le n W e rt, n im m t a b er n ach b eid en S eiten h in ra sch ab, d a b ei n o c h stets klein er w erd en d e N e b e n m a x im a a u fw eisen d . In ein iger E n tfe rn u n g v o m H a u p tm a x im u m w ird die
x) Die analytische Darstellung erhält man durch Auswertung des Integrales
*2
W = a J sin (2 ji<p)dv . n
D ie Integration ist für konstantes s und t durchzu
führen, doch ist zu beachten, daß u von v abhängen kann. Es genügt, v2 — vx als klein erster Ordnung zu betrachten und die Glieder höherer Ordnung zu ver
nachlässigen. Die Rechnung erfolgt analog L . Fl a m m.
Physikal. Zeitschr. 27, 604. 1926.
Heft 28. 1 1 5- 7. 1927]
Fl a m m: Die neue Mechanik. 5 7 3
A m p litu d e so klein, d a ß m an k ein e W e lle m ehr w ah rn eh m en w ird . D e r resu ltieren d e W e llen zu g e rfü llt also p ra k tisc h n u r einen b e gre n zten B e re ic h und ste llt eine W ellen gru p p e d ar. Je enger der S p ek tra lb e re ich d er u n b eg re n zten W e llen zü g e ge
n om m en w ird, d esto a u sg e d eh n ter is t die W e llen gruppe, je b re iter a b er d er S p e k tra lb e re ic h g e w ä h lt w ird , a u f u m so w en iger W e llen sch ru m p ft die W ellen gru p p e zu sam m en .
Is t die W e llen g e sch w in d ig k eit u v o n der F re q u enz v u n ab h än gig , so h a b en säm tlich e W e llen zü ge des b e tra c h te te n sp ek tra le n B ereich es d ie
selbe W ellen g e sch w in d ig k eit u n d rü ck en gem ein sam m it d er G esch w in d igk e it u fo rt. M it ihnen w an d ert a u ch die S telle d er P h ase n ü b erein stim m u n g säm tlich er W e llen zü g e g leich falls m it der G esch w in d ig k eit u w eiter. A n d e rs v e rh ä lt sich der F a ll v o n D ispersion , fü r w elch en die W e llen g esch w in d ig keit u m it der F re q u e n z v sich ä n d ert.
H ier w erden die gleich en P h asen der versch ied en en W ellen zü ge, w elch e zu r Z e it t0 an der S telle s0 sich
deckten , in gleich en Z e ite n u m versch ied en e S trecken fo rtw a n d ern , so d a ß sie n ich t m ehr ü b er
la g e rt bleiben, sondern a u f einen b estim m ten B e- re “ * vo n s a u sein an d ergezogen erscheinen. P h ase n ü b erein stim m u n g k a n n in dem b e tra c h te te n s p ä te ren Z e itp u n k t n u r m ehr a u ß e rh a lb dieses B ereich es sta ttfin d e n , in einem P u n k te , w elch er n u n m eh r die L a g e des M axim u m s der d urch In terferen z u m ihn h eru m in g leich er W eise z u sta n d e g e k o m m enen W ellen g ru p p e b e stim m t. Im F a lle v o n JrZ erSl0n a l s o d i e W ellengeschw indigkeit u
O ZU u n tersch eid en v o n d erjen igen G esch w in d ig k e it v, m it w elch er die G ru p p e fo rtsch reitet und d arum als Gruppengeschw indigkeit b ezeich n et w ird 1).
Im a llgem einen b e w e g t sich also die G ru p p e m it
!) Ein Maß für die Phasenverschiedenheit der un
begrenzten Wellenzüge in der betrachteten Mannig
faltigkeit zu einer Zeit tund an einer bestimmten Stelle 8 ist der Ausdruck
ö (p 6 v - t —
u dü
--- s ---.
d v dv
a n d erer G esch w in d ig k e it fo rt als d ie einzelnen W e l
len, w elch e sie u m fa ß t, so d a ß d ie W ellen d u rch die G ru p p e h in d u rch sich fo rtzu b ew eg en scheinen.
A m lä n g ste n b e k a n n t is t diese E rsch ein u n g bei d en W ellen a u f v e rh ä ltn ism ä ß ig tiefe m W asser.
F ü r sie is t die G ru p p en g esch w in d ig k eit g leich d er h alb en W ellen g esch w in d ig k eit. H ie r la u fen die W e llen in der G ru p p e n ach v o rw ä rts u n d w erd en im m er klein er und kleiner, in d em sie sich d er v o rd eren G renze nähern. Sie w erd en im m er w ied er d u rch neue W ellen e rsetzt, w elche vo n h in ten n ach v o rn e kom m en .
D ie E n erg ie v o n W e llen is t dem Q u ad ra t ih rer A m p litu d e p ro p o rtio n al. W ellen en ergie t r it t d a r
u m n u r in d er W ellen gru p p e auf, und d o rt am m ei
sten , w o die A m p litu d e n am g rö ß ten sind. M it der G ru p p e w a n d ert die E n erg ie w eiter, und n ic h t m it den W ellen . D ie G ru p p en g esch w in d ig k eit v sp ie lt also die w ich tig e R o lle der T ra n sp o rtg e s c h w in d ig k e it d er W ellen en ergie. L e tz te re ist eb en falls v o n d er W ellen g e sch w in d ig k eit u stren g au sein an d erzu h alten .
D ie au f die b esch rieben e A r t aus u n b eg ren zten W ellen zü g en erzeu g te W e llen g ru p p e zeig t den A m p litu d e n a b fa ll erst in einer ein zigen D im en sion , u n d z w a r in der R ic h tu n g der W e llen b ew eg u n g und d ieser en tgegen . D o ch sind d ie ein zeln en W e l
len der G ru p p e n och seitlich u n b eg ren zt.
D ie L ic h tw e lle n sind R a u m w ellen . E in e W el- Das Interferenzm axim um ist bestim m t durch
d cp 6 v Diese Bedingung liefert
= 0
dv / dß\
" " ( v )
für den Ort größter Am plitude. Dieser bewegt sich also m it der Geschwindigkeit
dv d (7 )
( i )
und m it ihm die ganze Wellengruppe, die ja durch Interferenz immer im gleichen Umriß um das Maximum herum resultiert. Die durch Formel (7) gegebene Ge
schwindigkeit v heißt darum die Gruppengeschwindig
keit.
Um den Zusammenhang zwischen der Gruppen
geschwindigkeit v und der Wellengeschwindigkeit u bequemer zu diskutieren, formt man die Gleichung (7) besser um in die G estalt
--- \- v u
i i )
dv
Wenn keine Dispersion vorliegt, ist u unabhängig von v, das zweite Glied rechts verschwindet und man erhält v = u . Bei Auftreten von Dispersion ist aber u von v abhängig, das zweite Glied rechts verschwindet nicht und man bekommt v u . Die Gruppengeschwindig
keit v ist ferner größer oder kleiner als die W ellen
geschwindigkeit u, je nachdem mit steigender Frequenz v die Wellengeschwindigkeit zunimmt oder abnimmt.
5 7 4 Fl a m m: Die neue Mechanik. [D ie N a tu r
wissenschaften
len g ru p p e der b e tra c h te te n A r t b e d e u te t fü r solche e rst eine E n e rg ie k o n z e n tra tio n u m eine d er W e l
len fläch en . E in W e lle n k o rp u sk e l m ü ß te ab er d ie E n e rg ie k o n z e n tra tio n n u r u m ein en P u n k t d a r
stellen . E in e M ann igfa ltig keit von W ellengruppen m it W ellen n o rm alen , w elch e in einem engen rä u m lich en W in k e lb ereic h alle m ö glich en O rien tieru n gen au fw eisen , geb en d u rch S u p erp o sitio n ein W ellen p a k e t 1). D ieses w e is t ein In te rfe re n zm a x im u m b lo ß in ein em P u n k te a u f, v o n d iesem au sgeh en d , n im m t d ie A m p litu d e n a ch allen R ic h tu n g e n b a ld zu ve rsch w in d en d e n B e trä g e n ab . E in solches W e lle n p a k e t h a t also d ie E n erg ie u m ein en P u n k t k o n ze n trie rt, u n d z w a r im m er in gleich er A r t u m d en jen ig en P u n k t, in w elch em die b e tr a c h te te M a n n ig fa ltig k e it v o n W e llen g ru p p e n in P h a s e n ü b e re in stim m u n g sich b e fin d e t. D ie G esch w in d ig k e it des W e llen p a k e tes b le ib t d ie G ru p p en ge sch w in d ig k e it v 2). E in solches W e lle n p a k e t s te llt e in ge
eignetes M o d ell eines W ellenkorpuskels dar.
D a ß ein so lch er E n erg iek n o te n , w elch en ein W e lle n p a k e t d a rstellt, die B e w e g u n g sg esetze der M ech a n ik b e fo lg t, das is t h e u te a u f G ru n d des sp eziellen R e la tiv itä ts p r in z ip e s allein ein leu ch ten d , n ach w elch em a u f eine M asse n a ch der F o rm e l
[/ = m c 2 zu sch ließ en i s t 3).
D ie Q u a n ten th e o rie fo rd e rt noch, d a ß G e sa m t
en ergie W u n d F re q u e n z veines W ellen k o rp u sk els in d er d u rc h die fu n d a m en ta le PLANCKsche F o rm el (i) gegeb en en B e zie h u n g steh en . D ies m u ß ein fach a ls T a ts a c h e h in gen o m m en w erden , eine B e g rü n d u n g d a fü r k a n n n ic h t gegeb en w erd en , es s te llt a b er ein A x io m dar, w elch es m it k lassisch en G e s etzen n ic h t in W id e rsp ru ch s te h t und zu r E r k lä ru n g sä m tlic h er Q u an ten ersch ein u n g en a u s
re ich t, w ie sich zeigen w ird.
Z u fo lg e d er PLANCKschen F o rm e l (i) lä ß t sich die fu n d a m en ta le B e zie h u n g (6), w elch e die Ü b e r
e in stim m u n g zw isch en K o rp u sk u la rth e o rie u n d W ellen th eo rie ge w ä h rleistet, a u c h sch reiben
Q u — hv .
D a zw isch en W e lle n g e sc h w in d ig k e it u, F re q u e n z vu n d W e llen lä n g e ). die G leich u n g b e ste h t
U = VA ,
so e rg ib t sich n och ein fach er
ö = A y - (8)
D ie re zip ro k e W e llen län g e b e d e u te t die a u f die L ä n g e n e in h e it e n tfalle n d e A n z a h l v o n W e llen lä n gen u n d w ird k u rz W ellenzahl ge n an n t. W ie n ach (i) die G esa m ten erg ie d er S ch w in g u n g szah l, so is t n a c h (8) d er Im p u ls d er W e llen za h l p ro p o rtio
*) L. Fl a m m, Physik. Zeitschr. 27, 607. 1926.
2) Gegeben durch Form el (7).
3) Eine bemerkenswerte Bestätigung liefert auch die Geschichte der P h ysik; denn auf Grund solcher Vorstellungen wurden die HAMiLTONschen kanonischen Grundgleichungen der D ynam ik entdeckt und die
Ha m i l t o n-jACOBische Integrationsm ethode begrün
det. L. Fl a m m, Die Grundlagen der W ellenm echanik.
Physik. Zeitschr. 27, 600. 1926.
n al. D e r P r o p o r tio n a litä tsfa k to r is t in b eid en F ä lle n d er gleiche, n äm lich das PLANCKsche W ir k u n g sq u an tu m .
K orpuskulartheorie u n d Wellentheorie sin d so aufeinander zurückgeführt. E in e r b estim m ten S ch w in g u n g szah l d er W ellen k o m m t eine b e stim m te G esam ten ergie d er K o rp u s k e l zu, ein er b e stim m te n W e lle n za h l e n tsp ric h t ein b e stim m te r Im pu ls.
D ie K o rp u sk e ln b ew egen sich m it d erjen igen G e s ch w in d ig k eit, w elch e d u rch alle terrestrisch en M eth od en z u r B e stim m u n g der L ic h tg e sc h w in d ig k e it d ir e k t gem essen w ird , d er G ru p p en ge sch w in d ig
k e it 1), ihre B a h n sind die L ic h tstra h le n . Ä n d e ru n g en d er W e llen g e sch w in d ig k eit en tsp rech en K r a ftfe ld e r, w elch e a u f die K o rp u sk e ln ein w irken .
S o lassen sich alle g eo m etrisch -o p tisch en P r o blem e a u ch d u rch p u n k tm ech an isch e B e tra c h tu n g e n b eh an d eln . A ls beson ders fru ch tb rin g e n d erw ies sich a b er die U m k eh ru n g dieses G ed an ken s, w ie es schon Ha m i l t o n ta t, p u n k tm ech an isch e P ro b lem e d u rch w ellen th eo retisch e B e h a n d lu n g zu lösen. E s lie g t n ah e, die in der N a tu r au f tre ten d en M a te rie q u a n ten , E le k tro n e n u n d P ro to n e n , als W e lle n p a k e te a u fzu fassen . O hn e ü b er die N a tu r d ieser M a te rie w ellen n äh ere V o ra u ssetzu n g en m ach en zu m üssen, e rzie lt m an in d er Q u a n ten m e ch a n ik ü b errasch en de E rfo lg e , w en n m an a u ch in d iesem F a lle die G ü ltig k e it d er fu n d am en ta len B e zie h u n g e n (1), (6) u n d (8) v o ra u sse tzt.
A m a lle re in fa ch sten B eisp iele soll d ie M eth od e z u n ä c h st a u sein an d e rge setzt w e r d e n : an den k reis
fö rm ig en E lek tro n e n b a h n e n im W a ssersto ffato m . D ieses b e ste h t au s einem p o sitiv e n K e rn , dessen L a d u n g n u r die eines ein zigen E le m e n ta rq u a n tu m s ist. U m ih n k reist ein ein ziges E le k tro n . N a c h der BoH R schen T h eo rie d er S erien sp ek tren k a n n das E le k tro n n u r eine d isk rete A n z a h l v o n K r e is b a h n en u m den Z e n tra lk e rn b esch reiben , deren R a d ie n r d u rch die speziellen W e rte des Im p u ls m om entes
G r = n— (n g a n ze Z ah l) b e stim m t sind.
D a s E le k tro n b e sch re ib t seine kreisfö rm ig en B a h n en u n ter der E in w irk u n g des K r a ftfe ld e s des Z en tralk ern es. W e n n m an d as E le k tro n n u n als W e lle n p a k e t b e tra c h te t, so m üssen a u ch dessen W ellen im K re is e h eru m lau fen . D en G ru n d h ierfü r w ird m an d a rin zu su ch en h ab en , d a ß d em K r a f t feld eine U n h o m o g e n itä t d er W e llen g e sch w in d ig k e it e n tsp rich t. E s h a n d elt sich also u m eine A n a logie zu d er b e k a n n te n E rsch ein u n g, d a ß in in h o m o genen M edien die L ic h tstr a h le n g e k rü m m t sind.
D ie W ellen V o r s t e l l u n g lä ß t erkenn en, d a ß n u r b e stim m te K re isb a h n e n m ö g lich sind . B e g in n t m an n äm lich a u f irg en d ein er d er K r e is b ah n en d ie n a ch F o rm e l (8) d u rch den Im p u ls O b e stim m te W e llen län g e a u fzu tra g en , w ie dies
x) Dr u d e- Ge h r c k e, Lehrbuch der Optik, 3. A u fl., S. 114. Leipzig 1912.
Heft 28. ] 15. 7. 1927J
Fl a m m: Die neue Mechanik. 575
in F ig . 4 a u sge fü h rt ist, so w ird in irgen d einem A u sg a n g sq u ersch n itt A B n a ch ein em U m la u f im allg em ein en der E n d p u n k t N des W ellen zu ges m it d em A n fa n g sp u n k t M sich n ich t d eck en . F ü h r t m an also die W elle a u f der K re isb a h n n u r e in m a l heru m , b eim Q u ersch n itt A B b egin n en d und w ied er endend, so t r it t d o rt im a llg em ein en eine U n stetig k eit auf, in d em die W elle m it versch ied en er P h ase b eg in n t u n d e n d ig t. M an k a n n in einem solch en F a lle den W e llen zu g g a r n ich t a u f einen U m la u f b esch rän k en , sondern m u ß ihn n och w eiter fü h ren . E s is t m öglich , d a ß n a ch einer b e stim m te n g an zen A n z a h l v o n U m lä u fe n d as E n d e des W e l
len zuges die gleich e P h ase w ie der A n fa n g b e sitz t;
d a n n kan n m an A n fa n g u n d E n d e in ein an d er
sch ließ en zu ein em ste tig e n W e llen zu g , w elch er eine endlich e A n z a h l v o n U m läu fe n u m fa ß t. M ö g
licherw eise t r it t a u ch keine P h ase n ü b erein stim m u n g des A n fa n g s u n d E n d es des W ellen zu ges fü r eine end lich e A n z a h l ga n zer U m lä u fe ein ; d an n m uß d er W e lle n zu g u n b eg re n zt fo rtg e fü h rt w erden. In b eid en F ä lle n ist in allen P u n k te n der K reisb ah n der W e lle n zu g n ic h t m eh r ein d eu tig gegeben. E s ü b erla g ern sich in jed e m P u n k te W ellen v o n solch en P h asen u n tersch ied en , d a ß d u rch In terferen z vo llk o m m en es A u slö sch en ein- tr itt, das Z u sta n d ek o m m en eines W e llen p a k e tes also ausgeschlossen ist. A n d ers v e rh ä lt sich d er au sgezeich n ete F a ll, w o W ellen län ge und K r e is b ah n län ge in ein em solchen V erh ä ltn is stehen, d a ß schon fü r einen ein zigen gan zen U m la u f das E n d e N des W ellen zu g es m it dem A n fa n g M z u sam m en fällt. N u r so e rh ä lt m an einen ein d e u tig und ste tig in sich geschlossenen W e llen zu g, der ein kreisendes W e lle n p a k e t d a rstellt. N u r u n ter diesen U m stä n d en is t also ein E le k tro n e n u m la u f m öglich .
E in d e u tig un d s te tig is t d er W e llen zu g n u r dann, w en n die W e llen lä n g e ein g a n zza h lig er B r u c h te il d er K reisb a h n lä n g e ist, also u n ter der B e d in g u n g
. 2 Jtr n A u s (8) fo lg t d a ra u s d er Im p u ls
G = h 2 jtr
D iese G leich u n g lä ß t sich a u ch sch reib en G r = n ~
2 JT
u n d s te llt gen au die o ben a n g efü h rte BoH Rsche Q u an ten b e d in g u n g fü r die statio n ä re n K reisb ah n e n d ar. D iese v o n Bo h r a x io m a tisc h a u fg e ste llte G leic h u n g w ird aus d er W e lle n p a k e tth e o rie als F o lg e ru n g erh alten .
A u c h alle and eren in sich geschlossenen E le k tro n en b ah n en , w ie die B a h n ellip sen des E le k tro n s im WTa sse rsto ffa to m , kön nen n u r d an n b esteh en w en n die n ach F o rm e l (8) d u rch den Im p u ls G b e stim m te W e lle sich län gs der B a h n ein d e u tig und s te tig in ein an d ersch ließ t. D ie G esa m tza h l d er a u f d ie B a h n län g e e n tfallen d en W ellen län gen m u ß a u ch
h ier eine gan ze Z a h l sein. N u r is t zu beach ten, d a ß bei einem längs d er B a h n ve rä n d erlich en Im pu ls G n a ch (8) au ch die W e llen län g e X v a ria b e l ist. D ie G an zza h lig k eitsfo rd eru n g fü r die längs der B a h n a u ftra g b a ren W e llen län g en fü h rt m ith in a u f eine In teg ra lb ed in g u n g
d s = n .
N a c h M u ltip lik a tio n m it h sch reib t sich d ieselbe G leich u n g zu fo lg e (8)
G d s = n h .
D a s is t die allg em e in e F o rm u lie ru n g d er Q u an ten b ed in g u n g fü r die sta tio n ä re n B ah n en , au s der sich die oben b e h a n d e lte BoH Rsche B e d in g u n g fü r K reisb a h n e n als sp e
zieller F a ll e rg ib t. W ie A . Ei n s t e i n g e ze ig t h a t 1), lassen sich die geb rä u ch lich en Som- MERFELüschen Q u a n ten b ed in g u n g en fü r die ein zeln en F re i
h e itsg ra d e u n m itte l
b a r d a ra u s h erleiten . D iese rein fo rm al a u f
g estellten G esetze b il
d e te n die G ru n d lage a ller a u f a n a ly tisch em W e g e e rzielten E rfo lg e der BoHRSchen T h e o rie d er A to m e u n d M o lek ü le. E s is t ein b e
a ch ten sw e rte r E rfo lg d er W ellen V orstellu ngen, d a ß diese Q u an ten b ed in g u n gen sich a ls n otw en d ige F o lg e ru n g e n au s ih n en ergeben.
D ie V o rste llu n g d er W e lle n p a k e te fü h rt ab er n ic h t n u r b e i den E lek tro n e n zu m E rfo lg , sondern b e w ä h rt sich au ch a n g ew en d et a u f d ie A to m e sel
ber. E s soll dies an dem B eisp iele d er Q u an telu n g des id ealen ein ato m ig en G ases g e ze ig t w erden.
Z w isch en den Z u sam m en stö ß en n im m t m an beim id ealen G as d ie B e w e g u n g d er G asm o lekü le als k rä fte fre i an, also gera d lin ig und gleich fö rm ig . U n te r diesen U m stä n d en h a t m an a u ch d ie B e w eg u n g d er M a teriew ellen eines A to m m o le k ü ls als g e ra d lin ig u n d g leich fö rm ig zu b etrach ten .
D ie W e l l e n g e s c h w i n d i g k e i t b e r e c h n e t s i c h n a c h F o rm e l (6) zu
u - Q •W
I s t keine p o ten tielle E n ergie V vo rh a n d en , so re d u ziert sich W a u f U, u n d m an e rh ä lt au f G ru n d d er F o rm eln (5) und (2) n ach K ü rze n d u rch m ein fach er
u = — .c2
V
G esch w in d igk e it v ein er M asse kan n n ach
!) Verhandl. d. Deutsch, physikal. Ges. 19, 82. 1917.
Fig. 4. Kreisendes Elektron als W ellenpaket.
