Rozdział IV.
Algebra liniowa
I. Wprowadzenie.
„Algebra liniowa jest jednocześnie jedną z najstarszych gałęzi matematyki i jedną z najnowszych”
[ 1-lit dodatkowej str. 76 – zobacz cały rozdział poświęcony historycznemu rozwojowi pojęć algebry liniowej ] Pojęcie liniowości ( przestrzeni liniowej ) jest pojęciem kluczowym dla całej matematyki jak również dla jej zastosowań w fizyce. Wystarczy jedynie wspomnieć, że podstawową przestrzenią modelująca różnorodne procesy fizyczne jest przestrzeń liniowa ( wektorowa ), a jedną z podstawowych zasad fizycznych mającą bardzo szerokie zastosowanie jest zasada superpozycji, która jest właśnie konsekwencją przyjęcia modeli liniowych.
( Przykładowo przestrzeń Euklidesa jest przestrzenią liniową, jest to podstawowa przestrzeń używaną w mechanice klasycznej, przestrzeń Hilberta jest przestrzenią liniową, jest to podstawowa przestrzeń używana w mechanice kwantowej, przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią liniową, jest to podstawowa przestrzeń używana w mechanice relatywistycznej )
Można powiedzieć, że liniowość jest pojęciem, które intuicyjnie dane jest nam poprzez codzienne doświadczenie.
Rozpoczynając naukę matematyki spotykamy się wielokrotnie z takimi pojęciami jak : równanie liniowe, funkcja liniowa, kombinacja liniowa, zależność liniowa itp. Wszystkie te pojęcia wiążą się organicznie z działem matematyki zwanym
„algebrą liniową” ( który jest działem algebry ogólnej )
Elementarne pojęcia algebry liniowej były obecne już u samych historycznych początków myśli matematycznej ( bardziej lub mniej sformalizowanej ) – chociażby w arytmetyce czy geometrii wyłożonej w „Elementach” Euklidesa.
Dopiero jednak niedawno , bo w początkach XX wieku dostrzeżono jej pełną strukturę i dokonano dla niej procesu aksjomatyzacji.
Podstawowym pojęciem algebry liniowej jest pojęcie „przestrzeni liniowej”.
W praktyce fizycznej liniowość przejawia następująco. Rozpatrzmy bodziec o intensywności A oraz bodziec o intensywności B, zmierzony efekt działania bodźca A niech będzie miał wartość C, a bodźca B niech ma wartość D.
Jeżeli teraz rozważymy wspólne działanie bodźców A i B, to jeżeli mają one ( właściwie chodzi o charakter liniowy całego układu na który działają bodźce ) charakter liniowy wtedy sumaryczny efekt będzie równy C + D. Przypadek drugi - jeżeli działamy bodźcem A to w przypadku liniowym zwiększenie go krotnie powinno spowodować k-krotne zwiększenie jego efektu.
Przypadek trzeci. Jeżeli na układ działają jednocześnie bodźce kA i mB to skutek ich jednoczesnego działania w modelu liniowym będzie równy kC + mD.
Oczywiście w powyższym przykładzie jako bodziec możemy rozpatrywać np. siłę lub natężenie pola fizycznego – ogólnie wszystkich tych wielkości fizycznych które modelowane są przez wektory.
Modele liniowe mają bardzo szerokie zastosowania fizyczne. Są również najprostsze do analizy matematycznej.
Mogą one być również przedstawiane w bardzo poglądowych schematach ( wykresach ) graficznych.
W niniejszym rozdziale wprowadzimy strukturę mieszaną algebraiczo-topologiczną. Taka struktura pozwoli nam już modelować w sposób zadowalający wiele zjawisk fizycznych.
W pierwszej kolejności na zadanym zbiorze M, zdefiniujemy strukturę algebraiczną ( przestrzeń liniową ), a w drugiej kolejności zdefiniujemy ( za pomocą normy ) strukturę topologiczną. W wyniku czego będziemy mogli badać przestrzeń liniową metodami analitycznymi. Tym sposobem otrzymamy dwie najważniejsze z punktu widzenia fizyki, przestrzenie ( topologiczne ) – przestrzeń Euklidesa i przestrzeń Hilberta.
Poszukując odpowiedniego matematycznego modelu dla teorii fizycznej ( opartego zazwyczaj na materiale eksperymentalnym, który zwykle formułuje się w jakiś roboczy model fenomenologiczny ) staramy się aby był to model : najprostszy, dobrze poznany tj. o znanych własnościach, o możliwych walorach reprezentacji poglądowej, oferujący silne i obszerne metody własne np. analityczne, geometryczne lub algebraiczne.
Poprzez taki pryzmat zazwyczaj w pierwszym kroku wybieramy model oparty o pewną przestrzeń liniową – rzeczywistą lub zespoloną, skończenie lub nieskończenie wymiarową, unormowaną lub nie unormowaną.
Tak jest w przypadku mechaniki analitycznej, której przestrzenią modelująca jest np. przestrzeń fazowa, jak również dla mechaniki kwantowej opartej na przestrzeni Hilberta.
Podstawowym źródłem dla niniejszego tekstu była pozycja 1 wskazanej literatury. Korzystałem również w pewnym stopniu z pozycji które zostały podkreślone.
II. Przestrzeń liniowa.
Definicja 2.1 Przestrzenią liniową, nazywamy zbiór Q ( składający się z dowolnych elementów, skończony lub nieskończony, przeliczalny lub nieprzeliczalny ) w którym zostały określone dwa następujące działania :
a) działanie „dodawania” tzn. każdym dwóm elementom q1, q2 ∈ Q przyporządkowany jest jednoznacznie jeden i tylko jeden element s ∈ Q zwany „sumą elementów q1, q2”. Sumę s możemy symbolicznie określić znakiem + lub ⊕
b) działanie „mnożenia” przez liczby ( rzeczywiste lub zespolone ) tzn. każdemu elementowi q ∈ Q i każdej liczbie λ przyporządkowany jest jednoznacznie element qλ zwany „iloczynem liczby λ i elementu q” , wprowadzony iloczyn jest działaniem wewnętrznym tj. qλ ∈ Q. Iloczyn możemy symbolicznie określić znakiem • lub ⊗.
Wymienione działania muszą spełniać następujące warunki ( są to aksjomaty przestrzeni liniowej ) : a) q1+ q2 = q2 + q1 ( przemienność dodawania )
Jak widać z powyższej definicji przestrzeń liniowa określana jest poprzez ustalenie pewnego zbioru i działań które mogą być wykonywane na elementach tego zbioru. Pojęcie przestrzeni liniowej jest bardzo blisko spokrewnione z alogicznymi pojęciami geometrycznymi ( od czasów Kartezjusza wiadomo, że istnieje ścisły związek między algebrą i geometrią ).
Elementy zbioru Q nazywamy „wektorami”, a przestrzeń liniowa bywa bardzo często nazywana przestrzenią wektorową.
( często też w prezentowanym tekście, zamiast przestrzeń liniowa będziemy mówili po prostu „przestrzeń” ) Jeżeli dla wektorów przestrzeni Q określone jest mnożenie przez liczby rzeczywiste (ogólnie mówimy o mnożeniu przez skalary tj. elementy należące do ciała liczbowego nad którym budujemy daną przestrzeń liniową ), to Q nazwiemy przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych ( analogiczne określenie wypowiemy dla ciała liczb zespolonych ). Ogólnie mówi się o przestrzeni liniowej Q nad ciałem K.
( jeśli nie będzie to wyraźnie powiedziane pod pojęciem przestrzeń będziemy rozumieli przestrzeń liniową nad ciałem liczb rzeczywistych tj. przestrzeń liniową rzeczywistą )
Podana definicja przestrzeni liniowej nie jest jedyna możliwą, można podać inne mniej lub bardziej ogólne lub abstrakcyjne. Aby podać inna definicję podam najpierw kilka definicji.
Definicja 2.2 Działaniem dwuargumentowym wewnętrznym w zbiorze Z nazywamy każde odwzorowanie postaci : φ : Z × Z → Z
Definicja 2.3 Działanie φ : Z × Z → Z nazywamy przemiennym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek :
∀ x, y ∈ Z : φ(x, y) = φ(y, x)
Definicja 2.4 Działanie φ : Z × Z → Z nazywamy łącznym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek :
∀ x, y, z ∈ Z : φ ( φ(x, y), z ) = φ( x, φ(y, z) )
Definicja 2.5 Niech będzie dane działanie φ w zbiorze Z ≠∅. Element e ∈ Z nazywamy „elementem neutralnym”
lub jednostkowym dla wybranego działania φ wtedy gdy spełniony jest następujący warunek :
∀ x ∈ Z : φ(x, e) = φ(e, x) = x
( mnożna dowieść, że element neutralny dla działania φ jest określony jednoznacznie )
Definicja 2.6 Element x’ ∈ Z nazywamy „odwrotnym” do elementu x, jeżeli spełniony jest następujący warunek : φ( x, x’ ) = φ( x’, x ) = e
Oczywiście w szczególności jako działanie φ możemy wybrać zwykłe dodawanie liczb rzeczywistych ( oznaczane + ), wtedy elementem neutralnym będzie zero, a elementem przeciwnym będzie negacja danego elementu ( liczby rzeczywistej ).
Definicja 2.7 Niech będą dane dwa zbiory Z, Y. Działaniem dwuargumentowym zewnętrznym w zbiorze Z względem zbioru Y nazywamy odwzorowanie postaci :
γ : Z × Y → Y
Definicja 2.8 Strukturę ( Z, Y, φ, γ ), spełniającą warunki a) – h) nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem Y.
Z przyjętej aksjomatyki przestrzeni liniowej możemy wyprowadzić pewne ogólne wnioski.
Twierdzenie 2.1 W każdej przestrzeni liniowej istnieje tylko jeden wektor zerowy.
Twierdzenie 2.2 Dla dowolnego wektora w istnieje tylko jeden wektor przeciwny.
Twierdzenie 2.3 Iloczyn dowolnego wektora x przez liczbę –1 jest równy wektorowi przeciwnemu do x tj. (-1)x = - x
Twierdzenie 2.4 Iloczyn wektora zerowego przez dowolną liczbę różną od zera jest wektorem zerowym.
Twierdzenie 2.5 W przestrzeni liniowej możemy określić działanie odejmowania. Wektor c nazwiemy „różnicą”
wektora a i wektora b jeśli c + b = a tj. c = a – b
III. Przykłady przestrzeni liniowych.
Rozważmy kilka przykładów przestrzeni liniowych ( wektorowych ).
a) Zbiór wektorów swobodnych określonych w n-wymiarowej przestrzeni Euklidesa En , wraz ze zwykłymi działaniami :
dodawania wektorów, mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste, elementem neutralnym dla działania dodawania jest wektor zerowy, a dla mnożenia wektor jednostkowy.
b) Niech K będzie dowolnym ciałem, zbiór Q niech będzie zbiorem jednoelementowym Q = {q}. Wprowadzimy w Q działanie liniowe przyjmując : q + q = q oraz α • q = q , α ∈ K. Sprawdzając aksjomaty przestrzeni liniowej możemy się przekonać, że tym sposobem otrzymujemy przestrzeń liniową Q nad ciałem K. Przestrzeń ta zawiera tylko jeden wektor – wektor zerowy. Przestrzenie o takich własnościach nazywamy „przestrzeniami zerowymi”.
c) Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną , K niech będzie dowolnym ciałem. Niech Kn będzie zbiorem ciągów postaci
( a1 , ... , an ) ∈ K. Sumę dwóch ciągów a = ( a1 , ... , an ) i b = ( b1 , ... , bn ) określimy jako ciąg c o postaci : c = a + b = ( a1+ b1 , ... , an + bn ). Iloczyn αa , określimy jako następujący ciąg αa = ( αa1 , ... , αan ). Element zerowy możemy określić następująco : 0 = ( 0 , ... , 0 ). Zbiór Kn z tak określonymi działaniami oraz z
wyróżnionym elementem zerowym jest przestrzenią liniową nad ciałem K.
d) Niech K będzie ciałem liczb rzeczywistych , M niech będzie zbiorem wszystkich funkcji rzeczywistych, ciągłych na odcinku (a, b) - ∞ ≤ a < b ≤ +∞. Dodawanie wektorów ( tj. funkcji ) oraz mnożenie przez liczby określamy w zwykły sposób. Zbiór M staje się wówczas przestrzenią liniową nad ciałem K.
Przestrzeń ta zawiera m.in. następujące podprzestrzenie liniowe : - zbiór wszystkich wielomianów
- zbiór wielomianów trygonometrycznych postaci : a0 + ( a1cos x + b1sin x ) + ... + ( an cos x + bnsin x ) , an , bn ∈ R
e) Niech M będzie zbiorem macierzy o m wierszach i n kolumnach zawierających elementy z ciała K ( macierze rzeczywiste lub zespolone ). Dodawanie macierzy oraz mnożenie macierzy przez skalar określamy w zwykły sposób.
Wówczas M będzie przestrzenią liniową nad ciałem K. Zerem tej przestrzeni jest macierz zerowa.
Jak widać już choćby z tych prostych przykładów przestrzeń liniowa jest pojęciem bardzo szeroko rozpowszechnionym w matematyce.
IV. Określenie podprzestrzeni danej przestrzeni liniowej.
Definicja 4.1 Podprzestrzenią liniową Q’ przestrzeni liniowej Q nazywamy niepusty zbiór wektorów należących do Q, takich że sam tworzy on przestrzeń liniową względem wprowadzonych w Q działań ( np. dodawania i mnożenia przez liczby )
Inaczej mówiąc, zbiór Q’ ⊂ Q tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej Q, jeżeli z faktu, że x ∈ Q’ i y ∈ Q wynika, że x + y ∈ Q’ , oraz αx ∈ Q’
Z podanej definicji wynika, że przestrzeń Q i jej podprzestrzeń Q’ zbudowane są nad tym samym ciałem K.
Działania na wektorach przestrzeni Q’ są identyczne z działaniami prowadzonymi na wektorach w przestrzeni Q.
Każda przestrzeń liniowa zawiera trywialną podprzestrzeń złożoną z jednego wektora zerowego. Każda przestrzeń Q zawiera jako podprzestrzeń siebie samą, jest to podprzestrzeń niewłaściwa.
Przykład 4.1 Niech p będzie punktem przestrzeni Euklidesa E2 i niech Q będzie prostą przechodzącą przez ten punkt.
Niech Sp(Q) oznacza podzbiór przestrzeni Sp(E2 ) złożony z wektorów związanych pq→ , q ∈ Q. Zbiór Sp(Q) jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Sp(E2 ).
Przykład 4.2 Niech będzie dana przestrzeń Q, której elementami są układy n liczb :
x = ( ε1 , ... , εn ). Zbiór tych wszystkich elementów x dla których ε1= 0 jest podprzestrzenią przestrzeni Q.
Ogólniej : zbiór wektorów x = ( ε1 , ... , εn ) spełniających warunek a1ε1 + .... + an εn = 0 , an – dowolne ustalone liczby
tworzy podprzestrzeń przestrzeni Q.
V. Liniowa zależność i niezależność wektorów danej przestrzeni liniowej.
Definicja 5.1 Niech Q będzie daną przestrzenią liniową, nad ciałem K, składającą się z wektorów q1 , ... , qn . Wektory q1 , ... , qn nazywamy „wektorami liniowo niezależnymi”, jeżeli z równości :
α1q1 + … + αn qn = 0 , αi ∈ K (5.1)
wynika : α1 = α2 = ... = αn = 0
W przeciwnym razie tj. gdy istnieją skalary αi nie wszystkie równe zeru dla których spełniona jest równość (5.1) wektory q1 , ... , qn nazywamy „wektorami liniowo zależnymi”.
Wniosek. Układ wektorów liniowo niezależnych nie zawiera wektora zerowego.
VI. Kombinacja liniowa wektorów.
Definicja 6.1 Niech Q będzie przestrzenią liniową nad ciałem . Każdy wektor q ∈ Q o postaci :
q = α1q1 + … + αn qn , qi ∈ Q , αi ∈ K (6.1) nazywamy „kombinacją liniową wektorów qi o współczynnikach αi”.
( mówimy również ,że wektor q możemy zapisać jako kombinacje wektorów qi )
Definicja 6.2 Kombinacje liniową (6.1) nazywamy trywialną, jeżeli α1= … = αn = 0. Jeżeli spośród skalarów αi chociaż jeden jest różny od zera kombinacje liniową nazywamy nietrywialną.
Wnioski :
a) Każdy skończony układ wektorów jest albo liniowo zależny albo liniowo niezależny.
b) Układ składający się z jednego wektora jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor ten jest zerowy.
c) Jeżeli część układu jest liniowo zależna, to cały układ jest liniowo zależny.
d) Jeżeli cały układ jest liniowo niezależny to i każda jego część jest liniowo niezależna.
e) Jeżeli układ jest liniowo zależny to istnieje w nim co najmniej jeden wektor, który jest kombinacją liniową pozostałych wektorów tego układu.
f) Jeżeli pewien element układu jest kombinacją liniową pozostałych elementów tego układu, to układ ten jest liniowo zależny.
Wniosek f) sformułujmy w postaci twierdzenia :
Twierdzenie 6.1 [10, str. 9 ] Wektory q1, … , qn (n ≥ 2 ) są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich jest kombinacja liniową pozostałych. Układ wektorów q1, … , qn jest liniowo zależny, jeśli jakakolwiek jego część jest liniowo zależna. Inaczej mówiąc, jeśli układ wektorów jest liniowo niezależny, to każdy jego podukład jest liniowo niezależny.
Zazwyczaj przyjmuje się że elementy przestrzeni liniowej – wektory oznaczamy czcionką pogrubioną : q1, … , qn ( w geometrii analitycznej wektory oznaczamy najczęściej strzałką : q→ lub qiqj→
Wzór (6.1) możemy zapisać następująco : n
α1q1 + … + αn qn =
ΣΣΣΣ
αi qi = αi qi ( umowa sumacyjna ) i=1VII. Przedstawienie wektora jako kombinacja liniowa wektorów.
Czyli przedstawiliśmy wektor q1 jako kombinacje liniową wektorów q2 , … , qn
Wniosek. Jeśli wektory q1, … , qn są liniowo zależne, to w skrajnym przypadku co najmniej jeden z nich możemy przedstawić jako kombinacje liniową pozostałych wektorów.
Przykład 7.1 Na płaszczyźnie ( rozpiętej w przestrzeni Euklidesa ) możemy znaleźć dowolną ilość par wektorów liniowo niezależnych – są to wektory nie kolinearne tj. nie leżące na jednej prostej, jednak dowolny zbiór trzech wektorów będzie zbiorem liniowo zależnym.
Można dowieść, że zbiór wszystkich kombinacji liniowych (7.1) jest podprzestrzenią liniowej danej przestrzeni Q.
VIII. Baza i wymiar przestrzeni liniowej.
Definicja 8.1 Niech Q będzie przestrzenią liniową. Układ wektorów q1, … , qn ∈ Q nazywa się „bazą skończoną przestrzeni Q” lub krótko „bazą” , jeżeli :
a) q1, … , qn są liniowo niezależne
b) każdy układ zawierający q1, … , qn i różny od q1, … , qn jest liniowo zależny.
Innymi słowy – układ wektorów przestrzeni Q jest bazą tej przestrzeni, gdy jest to układ maksymalny, wektorów liniowo niezależnych należących do Q.
Przestrzeń zerowa nie posiada bazy, gdyż nie zawiera układu wektorów liniowo niezależnych.
Twierdzenie 8. 1( twierdzenie Steinitza ) Jeżeli wektory q1, … , qn ∈ Q tworzą bazę przestrzeni Q, a wektory p1, … , pk ∈ Q tworzą zbiór wektorów liniowo niezależnych to spełnione są warunki :
a) n ≥ k
b) istnieje n – k wektorów spośród wektorów p1, … , pk które łącznie z wektorami q1, … , qn tworzą bazę przestrzeni Q.
Wnioski.
a) Każda niezerowa przestrzeń liniowa posiada bazę.
b) Każdy liniowo niezależny układ wektorów przestrzeni Q można rozszerzyć do bazy.
c) Jeżeli wektory q1, … , qn ∈ Q tworzą bazę przestrzeni Q, to każda inna baza przestrzeni Q składa się ze zbioru n wektorów tj. każde dwie różne bazy przestrzeni Q składają się z tej samej liczby wektorów.
d) Jeżeli baza przestrzeni Q zawiera n wektorów, to każdy układ należący do Q, który zawiera więcej niż n wektorów jest układem zależnym.
e) Jeżeli baza przestrzeni Q zawiera n wektorów, to każdy układ należący do Q, który zawiera mniej niż n wektorów nie może być bazą przestrzeni Q.
f) liczba elementów bazy danej przestrzeni Q nie zależy od sposobu jej wyboru.
Twierdzenie 8.1 Każdy wektor q ∈ Q można przedstawić i to tylko w jeden sposób jako kombinacje liniową wektorów danej bazy Q, tzn. jeżeli wektory b1, … , bn ∈ Q stanowią bazę przestrzeni Q to wektor q, nie należący do zbioru wektorów b1, … , bn możemy wyrazić jako kombinację liniową postaci :
p = α1q1 + … + αn qn
(8.1)
Liczby αi nazywamy „składowymi (współrzędnymi)” wektora p w bazie b1, … , bn ∈ Q.
Definicja 8.2 Przestrzeń liniową Q nazywamy „przestrzenią skończenie wymiarową”, jeśli ma bazę złożoną ze skończonej liczby wektorów równej n. Liczbę wektorów bazy nazywamy „wymiarem przestrzeni Q” i oznaczamy dim Q.
Jeżeli dim Q = n, to przestrzeń liniową nazywamy „przestrzenia liniową n-wymiarową” i oznaczamy Qn.
Przestrzeń liniową Q nazywamy nieskończenie wymiarową jeżeli ma bazę złożoną z nieskończonej liczby wektorów.
W tym przypadku przyjmujemy, że wymiar przestrzeni dim Q = ∞.
Przestrzeń liniową zerową nazywamy przestrzenią zero wymiarową tj. dim Q = 0.
Przestrzenie liniowe dzielimy na przestrzeni skończenie i nieskończenie wymiarowe. Naszym głównym
zainteresowaniem obejmiemy przestrzeni liniowe skończenie wymiarowe. ( przestrzeni nieskończenie wymiarowe rozpatrywane są np. w dziale matematyki zwanym analizą funkcjonalną )
Definicja 8.3 Powłoką liniową zbioru wektorów qi ∈ Q, nazywamy zbiór wszystkich ich kombinacji liniowych.
Można pokazać, że powłoka liniowa przestrzeni Q jest jednocześnie podprzestrzenią przestrzeni Q.
Mówimy również, że podprzestrzeń ta jest rozpięta na wektorach qi , rozpinanie danej przestrzeni na danych wektorach oznaczamy span (qi ).
Warunkiem aby zbiór wektorów qi był bazą przestrzeni Q jest oczywiście : span ( qi ) = Q dla qi ∈ Q i span ( qs ) ≠ Q dla qi ∉ Q
IX. Rozkład wektora w bazie - przykłady.
a) Przestrzeń wektorów geometrycznych.
Przestrzeń rozpatrywana standardowo w kursie geometrii analitycznej jest przestrzenią Euklidesową trójwymiarową – możemy w niej wyróżnić bazę złożoną z trzech niezależnych wektorów ( zazwyczaj unormowanych do jedności trzech wektorów niekomplanarnych tj. nie leżących na jednej płaszczyźnie. Wektory te nazywamy wersorami ).
Dowolne cztery wektory są już wektorami liniowo zależnymi. Bazę taką standardowo oznacza się jako i , j , k.
b) Niech Qn będzie przestrzenią liniową, złożoną z ciągów n-wyrazowych. Wykażemy, że zbiór wektorów { q1, … , qn } takich, że : q1 = ( 1, 0, 0, … , 0 ) , q2 = ( 0, 1, 0, … , 0 ) , q3 = ( 0, 0, 1, … , 0 ) ... qn = ( 0, 0, 0,
… , 1 )
jest bazą przestrzeni Qn . ( jest to tzw. baza standardowa )
W pierwszej kolejności sprawdzamy czy zadane wektory są liniowo niezależne. W tym celu rozpatrzymy równanie : α1q1 + … + αn qn = 0
Zatem zadany zbiór wektorów jest liniowo niezależny, może zatem stanowić bazę przestrzeni Qn.
c) Niech Q będzie przestrzenią liniową ciągów n wymiarowych nad ciałem K, o bazie złożonej z wektorów o postaci q1 = ( 1, 1, 1, … , 1 ) , q2 = ( 0, 1, 1, … , 1 ) , q3 = ( 0, 0, 1, … , 1 ) ... qn = ( 0, 0, 0, … , 1 )
Niech będzie dana baza standardowa, sprawdźmy jak będą się w niej przedstawiały analogiczne współrzędne wektora q.
Mamy następujące ( alogiczne do wprowadzonego powyżej ) równanie :
( α1, … , αn ) = ε1 ( 1, 0, 0, … , 0 ) + ε2 ( 0, 1, 0, … , 0 ) + ... + εn ( 0, 0, 0, … , 1 ) α1 = ε1 ⇒ ε1 = α1
α2 = ε2 ⇒ ε2 = α2
αn = εn
Jak widać w przestrzeni Q w której każdy wektor określamy jako układ n liczb ( α1, … , αn ) liczby te można traktować jak współrzędne wektora q w bazie standardowej. W bazie dowolnej współrzędne ( ε1, … , εn ) wektora ( α1, … , αn ) są kombinacjami liniowymi współrzędnych ( α1, … , αn ).
d) Niech Q4 będzie przestrzenią liniową ciągów 4-wyrazowych . Zbadamy zależność liniową wektorów : a1 = ( 1, -1, 2, 3) , a2 = ( 1, 0, 2, 1) , a3 = ( 0, -1, 0 , 2)
Układ ten ma nieskończenie wiele rozwiązań, zatem powyższy układ wektorów jest liniowo zależny.
X. Izomorfizm przestrzeni liniowych n-wymiarowych.
Definicja 10.1 Dwie przestrzenie liniowe Q i Q*, zbudowane nad tym samym ciałem K, nazywa się izomorficznymi, gdy istnieje odwzorowanie, wzajemne jednoznaczne q* = f(q) wektorów przestrzeni Q na Q* o następujących własnościach :
a) f ( α + β ) = f (α) + f (β) b) f (aα ) = a f(α)
Sama funkcja f nazywa się izomorfizmem.
( odpowiedniość ustaloną między elementami dwóch zbiorów M i M’ nazywamy „wzajemnie jednoznaczną”, jeżeli : a) każdemu elementowi należącemu do M odpowiada jeden i tylko jeden element ze zbioru M’
b) każdy element ze zbioru M odpowiada przy tym jednemu i tylko jednemu elementowi ze zbioru M’ ) Izomorfizm odwzorowuje wektor zerowy przestrzeni Q na wektor zerowy przestrzeni Q*. Oprócz tego z definicji izomorfizmu wynika, że jeżeli q1, … , qn są wektorami należącymi do przestrzeni Q, a wektory q*1, … , q*n są odpowiadającymi im wektorami należącymi do przestrzeni Q*, to równość ε1q1+ … + εn qn = 0 jest równoważna równości ε1q*1+ … + εnq*n = 0. Zatem wektorom liniowo niezależnym z przestrzeni Q odpowiadają liniowo niezależne wektory z przestrzeni Q* i odwrotnie.
Twierdzenie 10.1 Przestrzeń liniowa Q o wymiarze n, zbudowana nad ciałem K, jest izomorficzna z przestrzenią liniowa Kn.
Wniosek. Każdą przestrzeń liniową wymiaru n zbudowaną nad ciałem K możemy badać sprowadzając ją do izomorficznej z nią przestrzeni Kn.
Twierdzenie 10.2 Dla każdego n wszystkie przestrzenie n-wymiarowe, rzeczywiste są między sobą izomorficzne.
Twierdzenie 10.3 Dla każdego n, wszystkie przestrzenie n-wymiarowe, zespolone są między sobą izomorficzne.
Wnioski. Dwie przestrzenie o różnych wymiarach nie mogą być izomorficzne. Przestrzeń nieskończenie wymiarowa nie jest izomorficzna z żadną przestrzenią skończenie wymiarową.
Izomorfizm przestrzeni liniowych jest matematycznym stwierdzeniem faktu, że przestrzenie o tych samych
wymiarach i zbudowane nad tym samym ciałem, mają podobne własności np. przestrzeń wektorów geometrycznych ma podobne własności jak przestrzeń odpowiadających im ciągów liczbowych.
XI. Przekrój i suma podprzestrzeni. Suma prosta przestrzeni liniowych.
Definicja 11.1 Niech Q1 i Q2 będą dwiema podprzestrzeniami przestrzeni Q. Przekrojem przestrzeni Q1 i Q2 nazywamy zbiór wektorów należących równocześnie do przestrzeni Q1 i Q2 , przekrój ten oznaczamy Q1 ∩ Q2 Przekrój dwóch podprzestrzeni nigdy nie jest zbiorem pustym, bowiem zawsze zawiera co najmniej element zerowy.
Definicja 11.2 Sumą przestrzeni Q1 i Q2 nazywamy zbiór wektorów postaci : q1 + q2 , gdzie q1∈ Q1, q2 ∈ Q2.
Pojęcia przekroju i sumy możemy rozszerzyć na dowolną ilość składników ( przestrzeni liniowych )
Definicja 11.3 Niech Q1 i Q2 będą dwiema podprzestrzeniami przestrzeni Q. Jeżeli każdy wektor q ∈ Q można przedstawić ( i to tylko w jeden sposób ) jako sumę dwóch wektorów : q = q1 + q2 , gdzie q1∈ Q1, q2 ∈ Q2, to mówimy, że przestrzeń Q rozkłada się na sumę prostą podprzestrzeni Q1 i Q2. Fakt ten zapisujemy :
Q = Q1 ⊕ Q2
Twierdzenie 11.1 Na to, aby przestrzeń Q rozkładała się na sumę prostą podprzestrzeni Q1 i Q2 wystarcza aby : a) podprzestrzenie Q1 i Q2 miały tylko jeden wspólny wektor zerowy tj. Q1 ∩ Q2 = ∅
b) Suma wymiarów tych podprzestrzeni była równa wymiarowi przestrzeni Q tj. dim Q1 + dim Q2 = dim Q Twierdzenie 11.2 Zachodzi następująca równość : dim Q1 + dim Q2 = dim ( Q1 + Q2 ) + dim ( Q1 ∩ Q2 )
W wielu przypadkach zachodzi konieczność zmiany danej bazy przestrzeni liniowej na inną bazę tej samej przestrzeni.
Wyprowadzimy teraz wzory według których przekształcają się współrzędne dowolnego wektora przy przejściu do nowej bazy.
Niech Q będzie n-wymairową przestrzenią liniową, e1, … , en – baza przestrzeni Q. Niech e’1, … , e‘n – będzie nową bazą przestrzeni Q. Wektory e’1, … , e‘n możemy przedstawić rozkładając je w bazie pierwotnej :
e’1 = a11 e1 + a12 e2 + … + a1n en
Niech q będzie dowolnym wektorem należącym do przestrzeni Q. Rozkład wektora q, odpowiednio w bazie pierwotnej i nowej jest następujący :
Ponieważ wektory e1, … , en są liniowo niezależne, współczynniki stojące po prawej i lewej stronie (12.3) muszą być jednakowe. Zatem :
Układ równań (12.4) przedstawia zależność między współrzędnymi wektora q w bazie pierwotnej i bazie nowej.
Układ równań (12.4) przedstawia zależność między współrzędnymi wektora q w bazie pierwotnej i bazie nowej.