Pewne własności geometryczne wektorów

Definicja 2.1 Wektorem zaczepionym (związanym) nazywamy odcinek, w którym wyróżniono początek P i koniec K. Tak określony wektor oznaczamy PK→. Z tego określenia wynikają trzy podstawowe cechy każdego wektora:

a) długość – odległość punktów P i K ( magnitude ) b) kierunek – wyznaczony przez prostą PK

c) zwrot – wynika z uporządkowania punktów P i K ( dany kierunek dopuszcza dwa możliwe zwroty ) Określony kierunek i zwrot wektora bywa nazywany skierowaniem wektora. ( direction )

Wektor, który ma określony kierunek , zwrot i długość a nie mający określonych punktów początku i końca nazywamy wektorem swobodnym. Wektor swobodny oznaczamy czcionka pogrubioną np. A, a, α, γ … Punkt (geometryczny ) możemy utożsamić z wektorem o identycznym początku i końcu

( punkty P i K pokrywają się ). Taki wektor jest nazywany wektorem zerowym.

Wektor zerowy nie ma ani kierunku, ani zwrotu.

Długość ( moduł ) wektora zazwyczaj oznaczana jest następująco : | PK→ | lub | A | ( magnitude ) Definicja 2.2 Wektor o długości jednostkowej nazywamy „wersorem” . Zatem dla wersora |a | = 1.

( unit vector )

Definicja 2.3 Dwa wektory różne od zerowych i powstające z odcinków równoległych nazywamy „wektorami równoległymi”

Wektory zerowe uważamy za równoległe do siebie.

Definicja 2.4 Wektor powstający w wyniku przesunięcia równoległego wzdłuż prostej wyznaczonej przez ten wektor nazywamy „wektorem ślizgającym się”. Wszystkie wektory powstałe w wyniku takiego przesunięcia są równoważne.

( Uwaga1 Mówiąc o przesunięciu równoległym wektorów ich równoległości, równości dwóch wektorów

zaczepionych w różnych punktach musimy zdawać sobie sprawę, że pojęcia te związane są z konkretną przestrzenią ( geometryczną ) w jakiej zadajemy te wektory. Zazwyczaj jest to przestrzeń Euklidesa.

W przestrzeni Euklidesa możemy mówi sensownie o w/w pojęciach. Istnieją jednak przestrzenie ogólniejsze w których np. nie ma sensu mówi o równości dwóch wektorów zaczepionych w dwóch różnych punktach.

Pewne kwestie związane z tym tematem poruszone są w książce : „Geometria i topologia część I - Geometria ” - Karol Sieklucki PWN 1978

Uwaga 2 Należy zdawać sobie sprawę, że nie wszystkie obiekty geometryczne mające długość , kierunek i zwrot są wektorami – przykładem obiektu który możemy scharakteryzować podając jego zwrot kierunek i długość jest obrót wokół osi ( rotation about coordinate axes ) – obiekt ten nie jest jednak wektorem ponieważ nie spełnia prawa ( w ogólności) przemienności dodawania )

Rys. 2.1b Obrót wokół osi jako przykład wielkości niewektorowej.

Definicja 2.5 Mówimy, że dwa wektory są kolinearne ( współliniowe ) (collinear ), jeśli są równoległe do jednej prostej lub jeden z nich jest wektorem zerowym. Wektory kolinearne mogą różnić się długością i zwrotem.

Przykładowo dwa wektory leżące na jednej prostej i mające zwroty przeciwne są kolinearne.

Definicja 2.6 Mówimy, że trzy wektory są komplanarne ( współpłaszczyznowe ) ( coplanar ), jeśli wszystkie są równoległe do jednej płaszczyzny lub przynajmniej jeden z nich jest wektorem zerowym. ( Dwa wektory są zawsze komplanarne )

Dla wektorów nie ma sensu ( w ogólności ) pojęcie ich równości – możemy porównywa sensownie ( oddzielnie) długości zwroty, kierunki np. możemy powiedzie , że dwa wektory są równe co do kierunku ( mają jeden kierunek ).

Dwa wektory zerowe uważamy za równe. Dwa wektory (swobodne ) nazywamy równymi i piszemy A = B gdy mają tą samą długość i skierowanie.

Rys 2.2. Dwa wektory o tym samym kierunku ale o różnym kierunku oraz przykład przesunięcia równoległego wektorów

Definicja 2.7 Wektorem przeciwnym do wektora A , nazywamy wektor mający ten sam kierunek i długość ale przeciwny kierunek. Wektor taki oznaczamy -A .

Dla wszystkich rodzajach wektorów możemy zdefiniować pewne działania algebraiczne , mianowicie :

mnożenie wektora przez skalar, dodawanie wektorów, odejmowanie wektorów. Dalej podam jeszcze inne działania wykonywane na wektorach - iloczyn skalarny i wektorowy. ( dzielenie dwóch wektorów nie jest działaniem jednoznacznie określonym i zazwyczaj nie bywa definiowane )

Definicja 2.8 Iloczynem niezerowego wektora A i liczby ( rzeczywistej ) α nazywamy wektor αA którego długość jest α razy większa niż długość wektora A. Wektor αA ma ten sam kierunek co wektor A i jeżeli α > 0 ma również ten sam zwrot , gdy α < 0 ma zwrot przeciwny. Gdy α = 0 to αA = 0.

Rys. 2.3 Przykłady iloczynu wektora przez skalar. (multiplication vector by a scalar ) Własności (prawa ) mnożenia wektora przez skalar są przedstawione na rysunku 7 .

Rys. 2.4 Prawa mnożenia wektora przez skalary.

Dodawanie dwóch wektorów jest działaniem określonym dla wektorów swobodnych i ślizgających się. Nie możemy dodawać wektorów zaczepionych , chyba , że maja one jednakowe punkty końcowe lub początkowe.

Nie ma jednak problemu, ponieważ każdy wektor zaczepiony ma jednoznaczną reprezentacje przez wektor swobodny. ( Interesujące omówienie tego zagadnienia jest dostępne w zeszycie 1 - Matematyki WSiP 1977 w artykule „Wektory w nauczaniu szkolnym” – Lech Dubikajtis ). W tym kontekście mówimy, że zbiór wektorów zaczepionych nie jest przestrzenia wektorową ( liniową ).

Zbiór wektorów swobodnych wraz z operacjami dodawania wektorów i mnożenia przez liczbę ( skalar ), wraz z wyróżnionym wektorem zerowym stanowi model przestrzeni wektorowej.

Rozpatrzmy dwa niezerowe wektory A, B. Sumę lub wypadkową tych wektorów otrzymujemy następująco : Wektor B przesuwamy równolegle w ten sposób aby jego początek pokrywał się z końcem wektora A, a następnie wyznaczamy wektor C , którego początek pokrywa się z początkiem wektora A , koniec pokrywa się z końcem wektora B. Wektor C jest będzie poszukiwana suma wektorów A i B. Zatem C = A + B.

Wyżej określona konstrukcja jest konstrukcją równoległoboku opartego o wektory A i B, a wektor SC jest przekątna tego równoległoboku, jest to tzw. reguła równoległoboku.

Dodawanie wektorów charakteryzuje się następującymi prawami :

Jest przemienne : A + B = B : A + B = B + A + A ( Vector addition is commutative and … Jest łączne : ( A + B ) + C = A + ( B + C ) associative )

oraz :

A + 0 = A ; A + ( - A ) = 0 ; 0 – oznacza wektor zerowy .

Działanie dodawania możemy w analogiczny sposób rozszerzyć na sumę dowolnej ilości wektorów : A + B + C + ... = N

Rys. 2.5 a) suma dwóch wektorów, b) suma wielu wektorów, c) zobrazowanie prawa przemienności dodawania wektorów.

Należy zwrócić uwagę na fakt, aby dana wielkość matematyczna mogła być nazwana „wektorem” nie wystarczy aby charakteryzowała się długością i skierowaniem, musi jeszcze spełniać pewne prawa ( aksjomaty). Do takich praw należą m.in. wymienione prawa dodawania wektorów. Do wielkości, które nie są wektorami a posiadają

„cechy” wektorowe należą np. obroty ciała sztywnego wokół osi. [ 16, str. 4 ]

Działaniem przeciwnym do dodawania jest oczywiście odejmowanie wektorów. Aby odjąć wektor B od wektora A wystarczy dodać do wektora A wektor –B.

Rys. 2.6 Odejmowanie dwóch wektorów.

Zanim przejdziemy do następnej operacji zdefiniujemy pojecie „kąta między dwoma wektorami”.

Chcąc wyznaczyć kąt miedzy dwoma ( niezerowymi) wektorami A i B wykreślamy te wektory z jednego punktu. W płaszczyźnie przechodzącej przez te dwa wektory otrzymujemy dwa kąty : α i β = 2π – α. Mniejszy z tych kątów określamy jako kąt zawarty między tymi wektorami.

Prostą o wyznaczonym i jednym kierunku nazywamy „osią”. Przez kąt zawarty miedzy wektorami a osią rozumiemy kąt zawarty miedzy danym wektorem a dowolnym wektorem ( mającym kierunek zgodny z kierunkiem osi )

leżącym na osi.

Rys. 2.7 Określenie kąta zawartego między dwoma wektorami.

Kolejną operacją wykonywana na wektorach jest rzutowanie (projekcja).

Rozważmy pewien wektor A i oś o kierunku jednostkowym wyznaczonym przez wersor s. Niech prostopadłe do osi ,wykreślone z początku i końca wektora A przetną ją w punktach , odpowiednio P1 i P2.

Wektor P1P2 → , nazywamy „rzutem prostokątnym” wektora A na daną oś. Rzut ten oznaczyliśmy jako As.

Długość wektora As wynosi :

| As | = | A | cos(α )

·

Wielkość : | A | cos(α ) - nazywamy „składową” lub „współrzędną wektora A”, względem danej osi.

( Jako współrzędną możemy przyjąć również długość wektora As ) Współrzędna wektora względem osi jest oczywiście skalarem.

Twierdzenie 2.1 Rzut wektora zerowego jest wektorem zerowym. ( rzut wektora niezerowego może być wektorem zerowym )

Twierdzenie 2.2 Rzut sumy wektorów jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów : rzut( A + B ) = rzut A + rzut B

Twierdzenie 2.3 Rzut iloczynu wektora przez liczbę rzeczywistą jest równy iloczynowi rzutu wektora przez tę liczbę

rzut(αA ) = α rzut A

Ogólnie możemy mówi o rzucie prostokątnym wektora na dany kierunek.

Rys. 2.8 Definicja rzutu wektora na oś. ( projection of a vector onto an axis )

Rys. 2.9 Współrzędna as wektora a , względem kierunku s.

Wprowadzony ( jak na razie ubogi) aparat algebry wektorowej może by z powodzeniem zastosowany w statyce.

Przykładem zagadnienia mogącego być rozwiązanym z wykorzystaniem tego prostego aparatu jest np. problem równowagi sił.

Rys 2.10 Warunek równowagi sił : F1 + F2 = - F3.

W statyce ciała sztywnego dwie siły równoległe o równych modułach i przeciwnych zwrotach nazywamy „ parą sił”

ich działanie wyrażamy za pomocą odpowiedniego wektora zwanego „momentem” pary sił. Dwie pary sił są statycznie równoważne jeśli ich momenty są wektorami równymi. Punkty zaczepienia momentów nie maja znaczenia , zatem są one przykładem wektora swobodnego. W mechanice przy rozważaniu sumy wielu wektorów postaci

F1 + F2 + ... Fn = Fwyp

Zainteresowanego odsyłam do książek poruszających zagadnienia mechaniki teoretycznej np. :

„Mechanika” - Stefan Banach PWN 1956 lub „Mechanika teoretyczna” – G. K. Susłow PWN 1960.