Przestrzenie z metryką nieokreśloną. Przestrzenie pseudoeuklidesowe. Przestrzeń Minkowskiego.
Do tej pory rozważaliśmy metryki, dla których odpowiadające im formy metryczne były dodatnio określone.
Rozważając jednak ogólną postać symetrycznej formy dwuliniowej zadanej wzorem ( forma kwadratowa sprowadzona do postaci diagonalnej ) :
f( x , y ) = x1y1 + ... + xs ys – xs+1 ys+1- ... - xnyn
możemy zorientować się, że długość wektora może być zarówno dodatnia jak i ujemna. Może mieć również wartość równą zeru dla wektora niezerowego ( taki wektor nazywamy izotropowym ).
Jeśli 1 ≤ s ≤ n-1 to przestrzeń liniową nazywamy „przestrzenią pseudoeuklidesową” , dla s = 1 i n = 4 przestrzeń pseudoeuklidesową nazywamy „przestrzenią Minkowskiego” ( w fizyce możemy spotkać się również z odwróconą sygnaturą formy metrycznej )
Przestrzeń Minkowskiego odgrywa kluczową rolę w STW.
XX. Przestrzenie unitarne.
Do tej pory rozpatrywaliśmy przestrzenie liniowe rzeczywiste, teraz rozpatrzymy przestrzeń liniową zespoloną.
Chcielibyśmy zdefiniować analog iloczynu skalarnego dla przestrzeni zespolonych. Jednakże standardowo określona forma dwuliniowa f (x , y ) = x1y1 + x2 y2 + …. + xn yn ∈ C nie jest odpowiednia, ponieważ odpowiadająca jej forma kwadratowa f (x , x ) miałaby nieprzyjemną własność : | ix |2 = f (ix , ix ) = i2 f (x , x ) = - | x |2 , jeśli więc x
≠ 0 i | x | > 0 to | ix |2 < 0
Definicja 20.1 Niech G będzie przestrzenią liniową zbudowaną nad ciałem liczb zespolonych C.
Odwzorowanie f : G × G → C nazywamy formą półtoraliniową jeśli :
a) f (α p + βq , r ) = αf ( p, r ) + βf ( q, r ) , dla dowolnych α, β ∈ C , q, p, r ∈ G tj. forma f jest liniowa względem pierwszego argumentu, gdy drugi jest ustalony.
b) f ( p , αq + β r ) = α- f ( p, q ) + β- f ( p, q ) , α- , β- - liczby zespolone sprzężone do α, β tj. półtoraliniowość względem drugiego argumentu, gdy pierwszy jest ustalony.
Formę półtoraliniową nazywamy hermitowską, jeśli : f ( p , q ) = f - ( q, p )
Jeśli przy tym f ( p , p ) ≥ 0 oraz f ( p , p ) = 0 ⇔ p = 0, to formę nazywamy dodatnio określoną.
Jeżeli rozpatrujemy przestrzeń rzeczywistą to α- = α i β- = β więc przy ustalonym wektorze q forma półtoraliniowa jest liniowa również względem p tj. forma hermitowska przechodzi w zwykłą formę dwuliniową.
Elementy macierzy F, odpowiadającej formie hermitowskiej spełniają warunek : fij = f
-ji tzn. F = FT – Gdzie FT – jest macierzą sprzężoną do macierzy F transponowanej.
Macierze spełniające ten warunek nazywamy macierzami hermitowskimi. Elementy diagonalne macierzy hermitowskiej są liczbami rzeczywistymi. Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest liczbą rzeczywistą.
Definicja 20.2 Przestrzeń liniową zespoloną G wyposażona w dodatnio określoną formę hermitowską nazywamy przestrzenią unitarną.
Definicja 20.3 Długością dowolnego wektora q należącego do przestrzeni unitarnej nazywamy liczbę określoną wzorem :
| q | = sqrt [ f ( q , q ) ] , f ( q , q ) – forma hermitowska.
Kąty między wektorami w przestrzeni unitarnej jak również relacje ortogonalności definiujemy analogicznie jak w przestrzeni Euklidesa.
W przestrzeni euklidesowej przejście od jednej bazy ortonormalnej do drugiej bazy odbywa się za pomocą macierzy ortogonalnych, w przestrzeni unitarnej takie przejście dokonuje się za pomocą macierzy unitarnych.
Definicja 20.4 Macierz F spełniającą warunek :
F F– T = E , E – macierz jednostkowa, F– T macierz sprzężona do macierzy F , transponowana.
nazywamy macierzą unitarną
Macierz o postaci F– T będziemy nazywali macierzą hermitowsko sprzężoną do macierzy F i będziemy ją oznaczali F*.
Macierz unitarna o wyrazach rzeczywistych jest ortogonalna.
Twierdzenie 20.1 Macierze unitarne stopnia n tworzą grupę U(n), zwaną grupą unitarną.
Grupa U(n) zawiera podgrupę O(n) – macierzy ortogonalnych. Macierze unitarne o wyznaczniku 1 tworzą grupę zwaną specjalną grupą unitarną SU(n)
[ 12. str. 114 ]
W przestrzeni unitarnej możemy wprowadzić bazę ortonormalną w której forma hermitowska będzie miała macierz diagonalną. Twierdzenie Sylvestera o bezwładności przenosi się na formy hermitowskie. Iloczyn skalarny w przestrzeni unitarnej zazwyczaj oznaczamy tak < . , . >
XXI. Przestrzenie liniowe unormowane i metryczne. Przestrzeń Banacha.
Definicja 21.1 Parę ( Q, d ), gdzie Q jest przestrzenią liniową (rzeczywistą lub zespoloną ) a w ogólności pewnym zbiorem ,
d jest odwzorowaniem d : Q × Q → R ( tj. funkcją przyjmującą wartości rzeczywiste ) , nazywamy przestrzenia metryczną jeśli dla dowolnych x , y ∈ Q spełnione są następujące warunki :
a) d( x , y ) = d( y , x ) ( symetryczność ) b) d( x , y ) = 0 ⇔ x = y
c) d( x , z ) ≤ d( x , y ) + d( y , z ) ( nierówność trójkąta )
Funkcje d spełniająca te warunki nazywamy metryką. Liczbę d( x , y ) nazywamy odległością punktów x , y.
Szczególnie ważne są przypadki, gdy metryka spełnia jeszcze dwa dodatkowe warunki : d) d( x , z ) = d( x + z , y + z ) ( niezmienniczość względem przesunięć )
e) d( λx , λz ) = | λ | d( x , y ) ( przemnożenie wektorów przez skalar zwiększa ich odległość | λ | razy ) Definicja 21.2 Jeżeli metryka d określona w przestrzeni Q spełnia warunki d), e), to liczbę d( x , 0 ) nazywamy normą wektora x ∈ Q i oznaczamy || x ||. Przestrzeń liniową wyposażoną w normę nazywamy przestrzenią unormowaną.
Przykład 21.1 Przestrzeń Euklidesa jest przestrzenią metryczną jak również unormowaną, metryka i norma określona jest przez iloczyn skalarny tj.
|| x || = | x |
jest to tzw. metryka standardowa.
W przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem metryka może być zadana następująco : a
d(f, g ) = sqrt [
∫
| f(t) – g(t) |2 dt ] bW przestrzeni metrycznej możemy wprowadzić podstawowe pojęcia topologiczne – pojęcia otoczeń ( kul ) elementu przestrzeni unormowanych.
Definicja 21.3 Mówimy, że Podzbiór A ⊂ Q jest ograniczony jeśli zawiera się w pewnej kuli.
Definicja 21.4 Mówimy, że ciąg punktów x1, x2 , ... , x n należących do przestrzeni metrycznej Q jest zbieżny do punktu
Definicja 21.5 Przestrzeń metryczną Q nazywamy zupełną, jeśli dowolny ciąg Cauchy’ego w tej przestrzeni jest zbieżny.
Definicja 21.5 Przestrzeń unormowaną zupełną nazywamy przestrzenią Banacha.
Przykład 21.2 Przestrzenie Rn , Cn o metrykach :
n n
d( x , y ) = (
ΣΣΣΣ
| xi - yi |2 )1/2 , d( x , y ) = max | xi - yi | , d( x , y ) =ΣΣΣΣ
| xi - yi | i=1 i = 1, …, n i=1są przestrzeniami zupełnymi, są nadto przestrzeniami Banacha.
XXII. Przestrzeń mechaniki kwantowej – przestrzeń Hilberta. Podstawowe definicje.
Definicja 22.1 Przestrzenią Hilberta ℵ, nazywamy unitarna przestrzeń Banacha z normą określoną przez iloczyn skalarny.
W szczególności przestrzeń Hilberta jest przestrzenia liniową ( skończenie lub nieskończenie wymiarową ) zbudowaną nad ciałem liczb zespolonych, w której określono normę za pomocą formy metrycznej.
Zespolona ( nieskończenie wymiarowa ) przestrzeń Hilberta jest „naturalnym” środowiskiem w którym formułujemy prawa mechaniki kwantowej.
Elementy przestrzeni Hilberta przejęło się nazywać wektorem stanu lub ketem ( terminologia wprowadzona przez Diraca ) Elementy przestrzeni Hilberta kety, oznaczamy symbolem | > np. | a > , | β >
W przestrzeni Hilberta tak jak w „zwykłej” przestrzeni liniowej wprowadzamy pojęcie liniowej zależności wektorów :
( oznaczenia słuszne dla skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta ) n
| V > =
ΣΣΣΣ
αi | ei > ; oczywiście kety | ei > tworzą bazę ,αi składowe keta w zadanej bazie ( najczęściej zespolone ) i=1Iloczyn skalarny w przestrzeni Hilberta określony jest przez formę hermitowską.
Wektorem dualnym do keta jest wektor bra, oznaczany < | , wektory bra należą do przestrzeni dualnej ℵ*.
Jeżeli mamy dany pewien ket V o składowych w ustalonej bazie, zapiszmy go teraz jako wektor kolumnowy : ( α1 )
( ... ) ( αn )
,to wektor do niego dualny tj. wektor bra W, będzie miał składowe ( w ustalonej bazie )( wektor wierszowy ) : ( α-1 , ... , α
-n )
( transpozycja i sprzężenie zespolone )
Iloczyn skalarny wektorów bra i ket możemy teraz zapisać w prosty i naturalny sposób :
< W | V > = ( α-1 , ... , α
-n ) ( α1 ) ( ... ) ( αn )
W przestrzeni dualna tj. przestrzeni wektorów bra, możemy wprowadzić bazę w szczególności bazę ortogonalną do bazy wektorów ket tj. jeżeli ( e1 , ... , en ) jest bazą w przestrzeni Hilberta, a ( k1 , ... , kn ) baza w przestrzeni do niej dualnej to < ki | ej > = δij
Z zapisu tego widać ekonomikę zapisu z użyciem notacji Diraca. Oczywiście nie ma sensu w takim zapisie iloczyn dwóch wektorów ket tj. iloczyn o postaci | V > | W >, oraz iloczyn skalarny dwóch wektorów bra. Można jednak pokazać, że ma sens wyrażenie : | V > < W | - jest to operator
Definicja 22.2 Jeżeli dane jest odwzorowanie F, przyporządkowujące pewnemu ketowi | V > inny ket | V’ > to mówimy, że w przestrzeni Hilberta zadano pewien operator F
F : | V > → | V’ >
Całkowicie analogicznie definiujemy operatory liniowe działające w przestrzeni dualnej tj. operatory F : < V | → < V’ |
Szczególnym przypadkiem operatora jest operator jednostkowy I : I | α > = | α >
Definicja 22.3 Operator Pψ = | ψ > < ψ | nazywamy operatorem rzutowym ( operator rzutowania ).
Operator rzutowy działając na dowolny ket | φ > daje ket proporcjonalny do | ψ > : Pψ | φ > = | ψ > < ψ | φ > = α | φ > , α – pewna liczba ( zespolona )
Innymi słowy operator Pψ działający na dowolny ket, rzutuje go na kierunek wyznaczony przez ket | ψ >.
Oczywiście Pψ Pψ = Pψ tj. ponowne rzutowanie na kierunek ψ niczego zmienia.
Definicja 22.4 Niech P, S będą operatorami działającymi w przestrzeni Hilberta. Komutatorem tych operatorów nazywamy operator zdefiniowany następująco :
[ P, S ] = PS – SP
operatory nazywamy przemiennymi jeżeli ich komutator jest równy zeru.
Każdemu ketowi α | V > = | α V > odpowiada wektor bra < V | α- ( stwierdzenie odwrotne nie jest w ogólności słuszne )
Niech P będzie pewnym operatorem Każdemu ketowi P | V > odpowiada wektor bra < V | P† , P† - operator hermitowsko sprzężony do operatora P ( macierz odpowiadająca operatorowi P† jest macierzą operatora P transponowaną i sprzężoną zespolenie ).
Definicja 22.5 Operator P nazywamy operatorem hermitowskim jeśli P = P† , antyhermitowskim jeśli P= - P† , unitarnym jeśli PP† = 1
Jeżeli P jest operatorem hermitowskim to :
< φ | P† | φ > = < φ | P | φ >-